1

14. Zasady zachowania dla punktu i układu

punktów materialnych:

pędu, krętu, energii, zasada d’Alemberta.

x

z

y

O

m

υ

υ

υ

υ

υ

r

r

m

p

=

pęd (ilość ruchu) punktu materialnego

F

(

)

F

dt

m

d

r

r

=

υ

pochodna względem czasu pędu
równa jest sile działającej na
dany punkt

(

)

∫

=

−

2

1

1

2

t

t

dt

F

m

r

v

v

υ

υ

przyrost pędu równy jest
impulsowi (popędowi) siły
działającej na ten punkt

Jeśli na punkt materialny nie działa żadna siła (lub działają siły
równoważące się) to jego pęd pozostaje stały.

x

z

y

O

m

υ

υ

υ

υ

r

υ

r

r

r

m

r

K

O

×

=

kręt (moment pędu) punktu materialnego

F

(

)

O

O

M

F

r

dt

m

d

r

m

dt

r

d

dt

K

d

r

r

r

r

r

r

r

r

=

×

=

×

+

×

=

υ

υ

pochodna względem czasu krętu K

O

punktu

materialnego względem nieruchomego biegu-
na O równa jest momentowi M

O

względem

tegoż bieguna siły zewnętrznej F działającej
na dany punkt

Jeżeli moment względem wybranego nieruchomego
bieguna O wypadkowej sił działających na punkt
materialny równy jest zeru, wówczas kręt punktu
wyznaczony względem tegoż bieguna jest stały

K

O

=const

2

2

2

υ

m

E

k

=

energia kinetyczna

Przyrost energii kinetycznej punktu materialnego w skończonym
przedziale czasu równy jest sumie prac, które wykonały w tym
samym czasie wszystkie siły działające na ten punkt

( )

( )

2

,

1

1

2

W

E

E

E

k

k

k

=

−

=

∆

W zachowawczym (potencjalnym) polu sił praca sił pola

równa jest różnicy energii potencjalnych

( )

( )

2

1

2

,

1

p

p

E

E

W

−

=

Gdy punkt materialny porusza się w
zachowawczym polu sił, suma jego
energii kinetycznej i potencjalnej,
zwana energią mechaniczną, jest stała.

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2

1

2

2

1

1

m

m

p

k

p

k

E

E

E

E

E

E

=

+

=

+

Jeśli na punkt działają siły niezachowawcze (niepotencjalne) to
przyrost energii mechanicznej punktu równy jest pracy tych sił

( )

( )

W

E

E

m

m

=

−

1

2

3

Układ punktów materialnych

x

z

y

O

m

1

υ

υ

υ

υ

1

F

1

m

i

F

i

υ

υ

υ

υ

i

F

n

υ

υ

υ

υ

n

m

n

i

n

i

i

m

p

υ

r

r

∑

=

=

1

pęd układu punktów materialnych

∑

=

=

n

i

i

F

dt

p

d

1

r

r

pochodna względem czasu pędu
układu punktów materialnych
równa jest sumie wszystkich sił
zewnętrznych działających na
punkty tego układu

ZASADA ZACHOWANIA PĘDU

Jeśli na układ punktów materialnych nie działają siły

zewnętrzne, to pęd układu pozostaje stały.

x

z

y

O

m

1

υ

υ

υ

υ

1

r

1

F

1

m

i

r

i

F

i

υ

υ

υ

υ

i

r

n

F

n

υ

υ

υ

υ

n

m

n

i

n

i

i

i

O

m

r

K

υ

r

r

r

∑

=

×

=

1

kręt układu punktów materialnych

∑

=

×

=

n

i

i

i

O

F

r

dt

K

d

1

r

r

r

pochodna względem czasu
krętu układu punktów
materialnych względem
dowolnego nieruchomego
bieguna równa jest sumie
momentów wszystkich sił
zewnętrznych względem
tegoż bieguna

ZASADA ZACHOWANIA KRĘTU

Jeżeli momenty wszystkich sił zewnętrznych układu punktów

materialnych względem nieruchomego bieguna są równe zeru,

to kręt układu względem tego bieguna pozostaje stały.

4

Zadanie 1/14

Człowiek o masie m siedzi na wózku o masie M

1

poruszającym się z prędkością

υ

1

. W

pewnej chwili przeskakuje na wózek o masie M

2

poruszający się z prędkością

υ

2

odbijając

się z prędkością υ względem pierwszego wózka. Obliczyć prędkości wózków po
przeskoczeniu człowieka. Opory toczenia się wózków pominąć.

υ

1

υ

2

M

1

M

2

m

Zadanie 2/14

Klocek o masie m ustawiono na równi
nachylonej pod kątem α i pchnięto z
wysokości h z prędkością υ

0

. Jaką

odległość l przebędzie klocek po
poziomym odcinku toru do chwili
zatrzymania się, jeśli współczynnik
tarcia o podłoże wynosi µ?.

m

h

l

α

Zadanie 3/14

W górę równi nachylonej pod kątem α pchnięto klocek z prędkością początkową υ

0

. Jaką

drogę przebędzie on do chwili zatrzymania się i z jaką prędkością powróci do miejsca, z
którego został wypchnięty, jeśli współczynnik tarcia o równię wynosi µ? Przeprowadzić
dyskusję rozwiązania.

Zadanie 4/14

Klocek o masie m zsuwa się bez prędkości
początkowej wzdłuż równi nachylonej pod
kątem α przebywając drogę l do chwili
uderzenia w sprężynę o sztywności k. Jaką
drogę l

1

przebędzie klocek po odbiciu się

od sprężyny, jeśli współczynnik tarcia o
równię wynosi µ? Masę sprężyny pominąć.
Przeprowadzić dyskusję wyniku.

m

l

l

1

k

α

5

Zadanie 5/14

Z wierzchołka gładkiej półkuli o promieniu r zsuwa
się z pomijalnie małą prędkością początkową punkt
materialny o masie m. Znaleźć kąt

α

0

określający

położenie punktu, w którym oderwie się on od
powierzchni półkuli.

r

m

α

0

A

Zadanie 6/14

Ciężar o masie m może ślizgać się po pionowym pręcie AB, którego
sztywność na rozciąganie równa jest k

1

.Koniec B pręta opiera się o

ś

rubową sprężynę o sztywności k

2

. Obliczyć największe wydłużenie

pręta h przy spadku ciężaru z wysokości H bez prędkości
początkowej. Masę pręta i sprężyny pominąć.

A

B

m

H

k

1

k

2

Zadanie 7/14

Na końcu nie odkształconej nici o sztywności c, która może przenieść
maksymalną siłę Q, zaczepiono ciężar o masie m i puszczono bez
prędkości początkowej. Jaka jest minimalna wartość m, przy której
nić zerwie się i jaka będzie prędkość ciężaru w chwili zerwania nici?

Zadanie 8/14

Skoczek o masie m odbija się od ławki z
prędkością υ

0

i zjeżdża ze skoczni o

wysokości h. Obliczyć reakcję podłoża na
narty w punkcie A jeśli promień krzywizny
toru w tym miejscu wynosi ρ. Tarcie i opór
powietrza pominąć.

h

A

υ

0

ρ

Zadanie 9/14

W celu pomiaru prędkości υ pocisku
karabinowego o masie m oddano strzał w
tzw. wahadło balistyczne, które odchyliło
się od pionu o kąt α Obliczyć prędkość
pocisku, jeśli wiadomo, że masa wahadła
równa jest M, zaś jego długość wynosi l.

α

l

M

m

υ

6

Zadanie 10/14

Sprężynę o sztywności k i długości swobodnej
l

zamocowano w punkcie A i połączono z

tuleją B mogącą ślizgać się bez tarcia po
poziomej prowadnicy. Tuleję wychylono do
punktu C i puszczono bez prędkości
początkowej. Jaka będzie jej prędkość υ

D

przy

przejściu przez punkt D? Dany jest wymiar a
oraz masa tulei równa m.

l

a

B

m

C

D

A

k

Zadanie 11/14

Z jakiej wysokości h należy puścić bez

prędkości początkowej punkt materialny,
aby:

a)

nie oderwał się od toru w najwyższym
punkcie pętli o promieniu r,

b)

oderwał się od pętli i przeszedł dokładnie
przez jej środek O.

Opory ruchu pominąć.

r

h

O

Zadanie 12/14

Punkt materialny o masie m

1

przywiązany do

nierozciągliwej, nieważkiej nici porusza się po
okręgu w płaszczyźnie poziomej. W pewnej
chwili punkt ten zderza się i skleja z punktem
o masie m

2

, który przed zderzeniem był

nieruchomy. Obliczyć, w jakim stosunku
zmieniło się napięcie nici.

m

1

m

1

m

2

S

1

S

2

υ

1

υ

2

r

Zadanie 13/14

Kulka o masie m przywiązana do
nierozciągliwej nici porusza się po
gładkiej, poziomej płaszczyźnie. Drugi
koniec nici wciągany jest do otworu w
płaszczyźnie ze stałą prędkością u.
Wyznaczyć równanie ruchu kulki ϕ(t)
jeżeli w chwili początkowej odległość
kulki od otworu równa była R, zaś rzut jej
prędkości na kierunek transwersalny υ

0

.

R

υ

0

u

u

ϕ(t)

m

x

y