1

9. Ruch złożony punktu

O

x

z

y

Oxyz

– nieruchomy

układ współrzędnych

O’

x’

z’

y’

O’x’y’z’

– ruchomy

układ współrzędnych

υ

O’

a

O’

ω

ε

A

υ

w

a

w

ρ

υ

O’

a

O’

– prędkość i przyspieszenie środka układu ruchomego

ω

ε

– prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe układu ruchomego

υ

w

a

w

– względna prędkość i względne przyspieszenie punktu A

(zmierzone względem układu ruchomego)

ρ

– wektor określający położenie punktu A w układzie ruchomym

DANE

DANE

SZUKANE

SZUKANE

bezwzględna prędkość i bezwzględne przyspieszenie
punktu A (zmierzone względem układu nieruchomego)

sylwetka śmigłowca pochodzi z: Parker S.: Statki powietrzne,
Polska Oficyna Wydawnicza „BGW”, Warszawa 1992

2

O

x

z

y

Oxyz

– nieruchomy

układ współrzędnych

O’

x’

z’

y’

O’x’y’z’

– ruchomy

układ współrzędnych

υ

O’

a

O’

ω

ε

A

υ

w

a

w

ρ

w

O

υ

ρ

ω

υ

υ

r

r

r

r

r

+

×

+

=

'

w układzie nieruchomym

u

υ

r

prędkość unoszenia

(

)

w

w

O

a

a

a

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

+

×

+

×

+

×

×

+

=

υ

ω

ρ

ε

ρ

ω

ω

2

'

u

a

r

przyspieszenie unoszenia

C

a

r

przyspieszenie Coriolisa

Zadanie 1/9
Tarcza o środku O i promieniu r obraca się z prędkością kątową
ω i przyspieszeniem kątowym ε wokół osi przechodzącej przez
punkt A, prostopadłej do jej płaszczy. Wzdłuż krawędzi tarczy
porusza się punkt B ze stałą prędkością względem tarczy wyno-
szącą υ

w

.

Wyznaczyć bezwzględną prędkość υ i bezwzględne przyspiesze-
nie a punktu B.

B

υ

w

O

r

A

ω

ε

x

y

z

0

0

2

2

2

2

=

=

−

−

=

−

=

+

−

−

=

−

=

z

z

y

w

y

w

w

x

x

a

r

r

a

r

r

r

r

a

r

υ

ε

ω

ω

υ

υ

υ

ωυ

ε

ω

ω

υ

Odp.:

3

Zadanie 2/9
Tarcza obraca się ze stałą prędkością kątową ω wokół prosto-
padłej osi przechodzącej przez jej środek. Wzdłuż cięciwy,
odległej o b od osi obrotu, porusza się punkt ze stałą prędkością
względną w.

Wyznaczyć bezwzględną prędkość i
bezwzględne przyspieszenie punktu
w funkcji kąta α.

α

w

ω

b

0

0

2

2

2

=

=

−

=

−

=

−

=

=

z

z

y

y

x

x

a

btg

a

b

w

b

w

a

btg

υ

α

ω

ω

υ

ω

ω

α

ω

υ

Odp.:

x

y

Zadanie 3/9
Tarcza o promieniu r obraca się wokół średnicy ze stałą prędkoś-
cią kątową ω. Wzdłuż krawędzi porusza się punkt ze stałą
prędkością względną w.

Wyznaczyć bezwzględną prędkość
υ i bezwzględne przyspieszenie a
punktu w funkcji kąta α.

α

w

ω

r

α

ω

α

ω

υ

α

α

ω

α

υ

α

α

υ

cos

2

sin

sin

sin

cos

cos

sin

2

2

2

w

a

r

r

w

r

a

w

r

w

a

w

z

z

y

y

x

x

=

=

−

−

=

=

−

=

−

=

Odp.:

x

y

4

Zadanie 4/9
Obliczyć bezwzględną prędkość i bezwzględne przyspieszenie
punktu poruszającego się po powierzchni Ziemi na północ ze stałą
prędkością względną w=100km/godz.

Punkt znajduje się na α=51.5

°

szerokości geograficznej pół-
nocnej. Ruch Ziemi dookoła
Słońca zaniedbać. Promień
Ziemi r=6370km.

r

S

N

w

ω

α

x

z

y

2

2

6

2

2

3

2

2

2

3

/

021

.

0

/

1043

/

7

.

289

/

10

8

.

94

sin

/

29

.

17

cos

/

10

05

.

21

cos

cos

/

74

.

21

sin

/

10

16

.

3

sin

2

/

37

.

288

cos

s

m

a

h

km

s

m

s

m

r

w

a

s

m

w

s

m

r

w

r

a

s

m

w

s

m

w

a

s

m

r

z

z

y

y

x

x

=

=

=

⋅

−

=

−

=

=

=

⋅

−

=

−

−

=

−

=

−

=

⋅

−

=

−

=

−

=

−

=

−

−

−

υ

α

α

υ

α

α

ω

α

υ

α

ω

α

ω

υ

Odp.:

Zadanie 5/9
Rurka AB o długości l=0.5m obraca się ze stałą prędkością obroto-
wą n=2obr/s wokół osi tworzącej z osią rurki kąt α=60°. Wewnątrz
rurki znajduje się kulka M, której położenie określa współrzędna
s

=10t

3

[m], gdy t[s].

Obliczyć

bezwzględną

prędkość i bezwzględne
przyspieszenie kulki w
chwili wylotu z rurki.

s

l

α

A

B

M

s

m

s

m

nl

s

m

l

s

m

l

z

y

x

/

796

.

6

/

441

.

5

sin

2

/

036

.

2

cos

10

30

/

526

.

3

sin

10

30

3

2

3

2

≅

−

≅

−

=

≅













=

≅













=

υ

α

π

υ

α

υ

α

υ

Odp.:

x

y

2

2

3

2

2

3

2

3

2

2

/

102

/

62

.

88

sin

10

30

4

/

05

.

11

cos

10

60

/

24

.

49

sin

10

60

sin

4

s

m

a

s

m

l

n

a

s

m

l

a

s

m

l

l

n

a

z

y

x

≅

−

≅













−

=

≅

=

−

≅

+

−

=

α

π

α

α

α

π