Instrukcje do ćwiczeń laboratoryjnych z Drgań Mechanicznych

ĆWICZENIE NR ...

DRGANIA UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się ze zjawiskiem drgań mechanicznych układu o
dwóch stopniach swobody.
Na postawie wykonanych pomiarów należy określić częstości rezonansowe, postacie
drgań, sporządzić wykresy rezonansowe, a następnie porównać je z wynikami
obliczeń uzyskanych dla modelu matematycznego układu.

2. Opis stanowiska

Na rysunku 1 przedstawiono schemat układu drgającego o dwóch stopniach
swobody, którego głównymi elementami są:

•

Wahadła składające się z prętów o masie m

1

i obciążników o masie m;

•

Sprężyny o współczynnikach sztywności k

1

, k

2

, k

3

, k

4

;

•

Mechanizm korbowo-wodzikowy;

•

Silnik prądu stałego;

•

Autotransformator (do płynnej regulacji prędkości obrotowej silnika);

•

Tachometr elektroniczny (do pomiaru prędkości obrotowej silnika);

•

Tablica z naniesionymi skalami kątowymi (do odczytu wychyleń kątowych obu
wahadeł).

Laboratorium Drgań Mechanicznych

Bielsko-Biała 2010

2

DRGANIA UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY

Rys.1. Schemat stanowiska pomiarowego

3. Zależności obliczeniowe

Ruch wymuszający drgania jest realizowany przez mechanizm korbowo-wodzikowy
(w przybliżeniu należy przyjąć, że jest to ruch harmoniczny określony równaniem y =
e sin ωt). Równania ruchu mają postać:

t

e

l

k

l

k

l

k

gl

m

m

l

k

k

l

k

l

k

B

ω

φ

φ

φ

sin

]

[

]

)

2

(

)

(

[

1

1

2

2

3

3

2

2

2

1

1

2

3

4

3

2

2

2

2

1

1

1

=

+

−

+

+

+

+

+

+





(1)

0

]

)

2

(

)

(

[

)

(

2

1

2

3

4

3

2

2

2

1

2

3

3

2

2

2

2

=

+

+

+

+

+

+

−

φ

φ

φ

gl

m

m

l

k

k

l

k

l

k

l

k

B 

(2)

gdzie:

3

l

m

ml

B

2

1

2

+

=

- masowy moment bezwładności; (3)

Przy obliczaniu masowego momentu bezwładności prawego wahadła pominięto
odcinek pręta o długości l

1

.

Laboratorium Drgań Mechanicznych

3

Instrukcje do ćwiczeń laboratoryjnych z Drgań Mechanicznych

Oznaczając:

gl

)

2

m

m

(

l

k

l

k

a

1

2

3

4

2

1

1

1

+

+

+

=

,

(4)

gl

)

2

m

m

(

l

k

a

1

2

3

4

2

+

+

=

,

(5)

2

3

3

2

2

2

l

k

l

k

b

+

=

,

(6)

e

l

k

q

1

1

=

,

(7)

można równania (1 i 2) zapisać w postaci (8, 9):

t

sin

q

b

)

b

a

(

B

2

1

1

1

ϖ

=

Φ

−

Φ

+

+

Φ





,

(8)

0

)

b

a

(

b

B

2

2

1

2

=

Φ

+

+

Φ

−

Φ





.

(9)

Częstość drgań własnych układu wyznacza się dla równań jednorodnych
otrzymanych z równań (8) i (9) po przyjęciu prawych stron równych zeru i założeniu
rozwiązań w postaci (10, 11):

)

t

sin(

A

1

1

δ

+

α

=

φ

,

(10)

)

t

sin(

A

2

2

δ

+

α

=

φ

.

(11)

Równanie częstości ma postać (12):

0

b

)

a

a

(

a

a

)

b

2

a

a

(

B

B

2

1

2

1

2

2

1

4

2

=

+

+

+

α

+

+

−

α

,

(12)

a jego pierwiastki można wyznaczyć z zależności (13):

B

2

b

4

)

a

a

(

)

b

2

a

a

(

2

2

2

1

2

1

2

2

,

1

+

+

±

+

+

=

α

.

(13)

Postacie drgań wynikają z rozwiązania równań jednorodnych otrzymanych z równań
(8) i (9) po podstawieniu częstości α

i

i są określone wzorami (14):

b

:

)

B

b

a

(

A

:

A

i

2

2

i

2

i

1

α

−

+

=

(14)

gdzie: i = 1,2

Całki szczególne równania (8) i (9) zakładamy w postaci (15):

t

sin

1

1

ϖ

Φ

=

φ

,

t

sin

2

2

ϖ

Φ

=

φ

(15)

Po podstawieniu rozwiązań (15) do równań (8) i (9) oraz porównaniu współczynników
przy sinωt otrzymuje się układ równań (16, 17):

Laboratorium Drgań Mechanicznych

4

DRGANIA UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY

q

b

)

B

b

a

(

2

1

2

1

=

Φ

−

Φ

ϖ

−

+

,

(16)

0

)

B

b

a

(

b

2

2

2

1

=

Φ

ϖ

−

+

+

Φ

−

.

(17)

z którego wyznaczamy amplitudy drgań wymuszonych (18, 19):

2

2

2

2

1

2

2

1

b

)

B

b

a

)(

B

b

a

(

)

B

b

a

(

q

−

ϖ

−

+

ϖ

−

+

ϖ

−

+

=

Φ

,

(18)

2

2

2

2

1

2

b

)

B

b

a

)(

B

b

a

(

qb

−

ϖ

−

+

ϖ

−

+

=

Φ

.

(19)

Porównując wzory (14) oraz (18) i (19) łatwo zauważyć, że dla częstości wymuszeń

i

α

ω

≅

zależności pomiędzy amplitudami drgań wymuszonych odpowiadają postacią

drgań (14), czyli:

1

2

1

2

1

:

:

α

ω ≅

Φ

Φ

≅

i

i

A

A

.

(20)

Zatem obserwacja amplitud drgań wymuszonych przy częstościach bliskich
rezonansowym pozwala wnioskować o postaciach drgań swobodnych. Z wzorów

(18) i (19) wynika, że dla częstości

B

b

a

2

+

=

ϖ

amplituda Φ

1

wahadła jest równa

zeru.

Na podstawie powyższych wzorów napisano w języku DELPHI program
komputerowy „Drgania 2”. Po wprowadzeniu danych program oblicza częstości
drgań rezonansowych, wykreśla teoretyczne wykresy rezonansowe obu wahadeł
oraz postacie drgań.

4. Przebieg ćwiczenia

•

Zanotować sztywności sprężyn: k

1

, k

2

, k

3

, k

4

, a także masy: m i m

1

;

•

Zmierzyć i zanotować wymiary długościowe: l, l

1

, l

2

, l

3

;

•

Dokonać pomiaru skoku s suwaka w mechaniźmie korbowo-wodzikowym, a
następnie na jego podstawie obliczyć wielkość mimośrodu e;

•

Wykonać pomiary niezbędne do narysowania wykresów rezonansowych. O ile
prowadzący nie poleci inaczej należy ustawić za pomocą autotransformatora
prędkość obrotową silnika na 50 obr/min i zanotować bezwzględne wartości
wychyleń kątowych

φ

1

i

φ

2

wahadeł. W trakcie pomiarów zwrócić uwagę na

zgodność fazy ruchu wahadeł względem siebie. Pomiary i obserwacje zgodności
fazy ruchu wahadeł powtórzyć w zakresie od 50 do 240 obr/min co 10 obr/min;
UWAGA – jeżeli wahadła zaczną uderzać o siebie, należy natychmiast

Laboratorium Drgań Mechanicznych

5

Instrukcje do ćwiczeń laboratoryjnych z Drgań Mechanicznych

zwiększyć lub zmniejszyć obroty, nie pozwalając na utrzymywanie się stanu
rezonansowego;

•

Wyniki pomiarów zestawić w tabeli o niżej podanej postaci, wypełniając kolumny
których nagłówki wyróżniono:

Lp.

Obroty

n

(obr/min)

Kąt wychylenia

φ

1

Kąt wychylenia

φ

2

W lewo

W prawo

W lewo

W prawo

Częstość

wymuszenia

ω

{rad/s)

Amplituda

wahadła 1

Φ

1

Amplituda

wahadła 2

Φ

2

Zgodność

fazy

ruchu

wahadeł

1
2
3

...

•

Obliczyć częstości wymuszenia

ω

odpowiadające kolejnym wartością prędkości

obrotowych silnika n. Wyniki obliczeń wstawić do tabeli;

•

Obliczyć amplitudy wychyleń kątowych wahadeł (prawego

Φ

1 i lewego

Φ

2).

Otrzymane wartości umieścić w tabeli;

•

Na podstawie wyników obliczeń sporządzić wykresy rezonansowe:

Φ

1=f(

ω

) oraz

Φ

2=f(

ω

). Przy sporządzaniu wykresów rezonansowych uwzględnić wyniki

obserwacji fazy ruchu wahadeł. Odczytać z wykresów częstości rezonansowe;

•

Wprowadzić dane stanowiska do programu komputerowego „Drgania 2", a
następnie wydrukować wykresy rezonansowe i postacie drgań;

5. Zawartość sprawozdania

•

Cel ćwiczenia;

•

Przebieg ćwiczenia (w punktach);

•

Schemat stanowiska laboratoryjnego (z opisem);

•

Dane wejściowe do przeprowadzanego ćwiczenia;

•

Zestawienie wyników pomiarów;

•

Przykładowe obliczenia z podaniem wzorów oraz podstawień do wzorów;

•

Zestawienie wyników obliczeń;

•

Wykresy rezonansowe i rysunki postaci drgań otrzymane dla danych
doświadczalnych oraz przy użyciu programu „Drgania 2";

•

Porównanie wyników doświadczalnych z wynikami teoretycznymi. Szczególną
uwagę należy zwrócić na porównanie częstości rezonansowych;

•

Sporządzony w trakcie ćwiczeń protokół;

•

Wnioski, spostrzeżenia i uwagi.

Laboratorium Drgań Mechanicznych