MECHANIKA BUDOWLI

Architektura sem. II letni

Warunki równowagi: REAKCJE

dr inż. Marek BARTOSZEK

KTKB p.126 WB

[e-mail]

http://kateko.rb.polsl.pl/

22 marzec 2011

Za wszystkie uwagi odnośnie poniższych wykładów z góry dziękuję.

Jeśli ktoś chciałby wykorzystać te materiały to proszę o kontakt.

www.rb.polsl.pl

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

2

Siły działające na konstrukcję

siły czynne i bierne czyli przyczyny i skutki

●

Siły czynne

czyli

obciążenia

działające na

konstrukcję

●

Siły bierne

są to

reakcje

oraz

siły

wewnętrzne

powstające na

skutek działania obciążeń

reakcje

pojawiają się m.in. w

podporach podtrzymujących
konstrukcję

wyznacza się je metodami

mechaniki budowli

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

3

Równowaga statyczna konstrukcji

●

Statyka

budowli

–

zajmuje się konstrukcjami, na które

– zgodnie z I zasadą

dynamiki Newtona –

działają zrównoważone układy sił

(lub

nie działają żadne siły);

–

takie obiekty pozostają w spoczynku – są

statyczne

(lub

poruszają się ruchem jednostajnym prostoliniowym) .

●

Budowla

– t

o przedmiot inżynierskiej działalności człowieka

na

stale związany z podłożem

(gruntem lub nawet inną budowlą) .

●

Związanie z podłożem

unieruchamia budowlę

odróżniając ją

od

mechanizmów

(Budownictwo nie Wydział Mechaniczny) .

●

Skoro

budowla jest nieruchoma to oznacza, że siły na nią działające

są w równowadze statycznej

, tzn.:

obciążenia zewnętrzne jako siły

czynne są w równowadze z reakcjami podpór, czyli siłami biernymi.

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

4

Warunki równowagi statycznej

Rozróżniamy dwa typy warunków równowagi

statycznej sił:

●

Suma rzutów sił na jakiś kierunek, np. oś
OX

„blokująca” możliwość przesuwu ustroju

w danym kierunku. W 2D układa się sumy
rzutów na dwa (np prostopadłe) kierunki.

●

Suma momentów sił względem jakiegoś
punktu, np. punktu A

zapewniająca brak możliwości obrotu

elementu względem tego punktu.

∑

P

y

=

0

∑

M

A

=

0

A

x

y

∑

P

x

=

0

∑

P

y

=

0

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

5

Warunki równowagi statycznej

Wyznaczanie reakcje podpór

1 element – 3 niewiadome

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

6

Warunki równowagi statycznej

Wyznaczanie reakcji podpór

P ≈ 2.32 kN

L

P

r=3

H

M

V

A

B

C

Obciążony słup,

zamocowany w

fundamencie i podłożu

Schemat

statyczny z

reakcjami

St. swobody : 1x3=3 st.sw.

Więzy:

r=3

w.zewn.

Równa liczba więzów i stopni

swobody więc można ułożyć

tyle niezależnych równań
równowagi statycznej ile jest

reakcji

podpór. Taki ustrój

nazywamy

statycznie

wyznaczalnym

.

Utwierdzenie w p. A całkowicie

unieruchamia słup więc jest
on też

geometrycznie

niezmienny

.

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

7

●

Równowaga w pionie – rzuty sił na OY

(nieruchome

– statyczne w pionie)

V

=

P

●

Równowaga pozioma – rzuty sił na OX

(nieruchome

– statyczne w poziomie)

H

= 0

●

Równowaga momentów względem p. A

(

brak obrotu wokół p. A)

M

= 0

Warunki równowagi statycznej

Równoważenie geometryczne

L

P

r=3

H

M

V

A

B

C

∑

M

A

=

0

x

y

∑

P

y

=

0

∑

P

x

=

0

P

V

H

P

H

M

V

A

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

8

Warunki równowagi statycznej

Wyznaczanie reakcji podpór analitycznie

L

P

r=3

H

M

V

A

B

C

St. swobody : 1x3=3 st. swobody.

Więzy:

r=3

w. zewnętrznych.

Liczba więzów i stopni swobody zgodne!

3 nieznane reakcje więzów

zapewniają

równowagę statyczną sił co do:

●

przesuwu w poziomie – wzdłuż OX

●

przesuwu w pionie – wzdłuż OY

●

Obrotu np. względem punktu A

∑

M

A

=

0

x

y

∑

P

y

=

0

∑

P

x

=

0

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

9

Warunki równowagi statycznej

Wyznaczanie reakcji podpór

Warunek równowagi ze względu na

przesuw w poziomie:

Aby ustrój był w równowadze w poziomie

reakcja

H=0

.

Warunek równowagi ze względu na obrót

względem punktu A:

Aby ustrój nie obracał się moment

podporowy

M=0

.

∑

P

x

=

0:

∑

M

A

=

0 :

−

H =0

H∗0V ∗0M =P∗0

L

P

r=3

H

M

V

A

B

C

x

y

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

10

Warunki równowagi statycznej

Wyznaczanie reakcji podpór

Warunek równowagi ze względu na

przesuw w pionie:

Aby ustrój był w równowadze w pionie

reakcja

V=P

.

∑

P

y

=

0 :

V − P=0

H i M zerują się więc mamy

równowagę

dwóch sił

P i V, która zachodzi gdy

zgodnie z II. zasadą statyki dwie siły

:

•

leżą na jednej linii,

•

są równe co do wartości,

•

są przeciwnie skierowane.

L

P

r=3

H

M

V

A

B

C

x

y

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

11

Warunki równowagi statycznej

Wyznaczanie reakcji podpór

L

P

r=3

H

M

V

A

B

C

Można użyć innych 3 war. równ.

W 2D dla

całego ustroju niezależne są tylko 3

, np.:

●

sumy rzutów sił tylko na 2 dowolne

kierunki

oraz sumę momentów :

lub 2 sumy momentów oraz sumę rzutów

sił na jakiś jeden kierunek

lub 3

warunki sumy momentów

względem

dowolnych

trzech punktów

ale nie

leżących na jednej prostej

.

O wyborze decyduje prostota rozwiązania.

∑

P



=

0 ∑ P



=

0 ∑ M

C

=

0

∑

M

A

=

0 ∑ M

C

=

0 ∑ P

y

=

0

x

y

∑

M

A

=

0 ∑ M

B

=

0 ∑ M

C

=

0

ξ

η

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

12

Warunki równowagi statycznej

Wyznaczanie reakcje podpór

2 elementy – 4 niewiadome

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

13

Warunki równowagi statycznej

Wyznaczanie reakcji podpór

Schemat statyczny ramy

statycznie

wyznaczalnej

i

geom. niezmiennej

W=3*e-(

2*p

+

r

)=3*2-(

2*1

+

4

)=0

Warunek konieczny

statycznej

wyznaczalności

spełniony:

zgodna liczba więzów i stopni swobody

.

Słup AB

jest

sztywno

zamocowany

w podporze

A

więc jest

geom. niezmienny

.

Element BCD

jest oparty na

nieruchomym słupie
(

przegub B -

2 więzy

) a

możliwość obrotu wokół

p. B

blokuje trzeci więz

w

podporze przesuwnej

D

=>

element

geom. niezmienny

.

L

P

r=3

H

A

M

V

A

B

C

D

H

D

r=1

p=1

L/2

L/2

e2

e1

α

x

y

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

14

Warunki równowagi statycznej

Wyznaczanie reakcji podpór

Schemat statyczny ramy

statycznie

wyznaczalnej

i

geom. niezmiennej

Ustrój ma

4 nieznane reakcje

więzów zewn., które można

wyznaczyć

z

war

unków

rów

nowagi

statycznej

.

Dla

całej konstrukcji są zawsze

tylko 3 niezależne warunki

równowagi.

Skąd czwarty?

Przegub

umożliwia obrót

jednego elementu względem
drugiego. Jeśli ustrój ma być
w równowadze statycznej, to

nie może dojść do obrotu!

Stąd

dodatkowy warunek sumy

momentów dla części ustroju
względem

przegubu B

.

L

P

r=3

H

A

M

V

A

B

C

D

H

D

r=1

p=1

L/2

L/2

e2

e1

α

x

y

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

15

Warunki równowagi statycznej

Wyznaczanie reakcji podpór

Schemat statyczny ramy

statycznie

wyznaczalnej

i

geom. niezmiennej

Jak ułożyć

warunek sumy

momentów dla części ustroju

względem

przegubu B

?

Przegub musi dzielić ustrój na

dwie, oddzielne części.

Zapisujemy warunek sumy

momentów względem punktu
B ale

bierzemy pod uwagę

tylko siły po jednej ze stron
od przegubu

- np.:

●

(od strony A)

(od strony C)

L

P

r=3

H

A

M

V

A

B

C

D

H

D

r=1

p=1

r

α

L/2

L/2

e2

e1

4 reakcje
nieznane

x

y

∑

M

B



A

=

0 :

H

A

∗

L−V ∗0−M =0

∑

M

B



C

=

0 :

H

D

∗

L−P∗r=0

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

16

Warunki równowagi statycznej

Wyznaczanie reakcji podpór

Schemat statyczny ramy

statycznie

wyznaczalnej

i

geom. niezmiennej

Mamy do wyboru dwa warunki:

wybierzmy drugi, w którym

mamy tylko 1 nieznaną
reakcję

H

D

.

Pierwszy warunek można

później będzie użyć np. do
wyznaczenia

M

, ale wtedy

nie będzie można już użyć
3-go war-ku sumy

momentów

dla całej ramy

wzgl.

p. B

!

L

P

r=3

H

A

M

V

A

B

C

D

H

D

r=1

p=1

r

α

L/2

L/2

e2

e1

4 reakcje
nieznane

x

y

∑

M

B



A

=

0 :

H

A

∗

L−V ∗0−M =0

∑

M

B



C

=

0 :

H

D

∗

L−P∗r=0

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

17

Warunki równowagi statycznej

Wyznaczanie reakcji podpór

Schemat statyczny ramy

statycznie

wyznaczalnej

i

geom. niezmiennej

W wybranym warunku sumy M

występuje odległość punktu

B

od siły

P

– promień r

:

Możemy obliczyć „r” albo

rozłożyć siłę P na

składowe

P

x

i P

y

korzystając z

I zasady

statyki (zas.równoległoboku):

Dowolne dwie siły

przechodzące przez jeden

punkt są składowymi ich

wypadkowej

działającej na

ten sam punkt, będącej

sumą

ich wektorów

(wektorową)

.

L

P

r=3

H

A

M

V

A

B

C

D

H

D

P

y

P

x

r=1

p=1

r

L/2

L/2

e2

e1

α

4 reakcje
nieznane

x

y

∑

M

B



C

=

0 :

H

D

∗

L−P∗

r

=

0

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

18

Warunki równowagi statycznej

Wyznaczanie reakcji podpór

Schemat statyczny ramy

statycznie

wyznaczalnej

i

geom. niezmiennej

Równanie

można więc zapisać w

alternatywnej postaci :

Podstawiając

P

y

lub r otrzymamy

to samo równanie:

Teraz należy ułożyć brakujące

trzy równania, aby oprócz

H

D

wyznaczyć także pozostałe

niewiadome:

H

A

, M, V

.

L

P

r=3

H

A

M

V

A

B

C

D

H

D

P

y

P

x

r=1

p=1

r

L/2

L/2

e2

e1

α

4 reakcje
nieznane

x

y

∑

M

B



C

=

0 :

H

D

∗

L−P∗

r

=

0

H

D

∗

L−P

x

∗

0−P

y

∗

L

2

=

0

H

D

∗

L−P∗sin ∗

L

2

=

0

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

19

Warunki równowagi statycznej

Wyznaczanie reakcji podpór

Schemat statyczny ramy

statycznie

wyznaczalnej

i

geom. niezmiennej

Unikając układu 4 równań z 4

niewiadomymi szukamy

prostych równań z jedną
niewiadomą :

(

M

i

H

A

)

(

M

i

H

A

,

H

D

, P)

(

M

, P)

(

!

)

(

H

A

i

H

D

, P

x

)

(

?

)

(

V

, P

y

)

(

!

)

L

P

r=3

H

A

M

V

A

B

C

D

H

D

P

y

P

x

r=1

p=1

L/2

L/2

e2

e1

α

4 reakcje
nieznane

x

y

∑

M

B



A

=

0 :

∑

M

B

=

0 :

∑

M

A

=

0 :

∑

P

x

=

0:

∑

P

y

=

0 :

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

20

Warunki równowagi statycznej

Wyznaczanie reakcji podpór

Schemat statyczny ramy

statycznie

wyznaczalnej

i

geom. niezmiennej

Równania z jedną niewiadomą

i/lub najprostsze:

oraz wybrana suma momentów

dla części ustroju:

L

P

r=3

H

A

M

V

A

B

C

D

H

D

P

y

P

x

r=1

p=1

L/2

L/2

e2

e1

α

4 reakcje
nieznane

x

y

V −P

y

=

0 ⇒ V =P

y

∑

M

A

=

0 :

∑

P

x

=

0:

∑

P

y

=

0 :

P

x

∗

LP

y

∗

L

2



M =0

H

D



H

A

−

P

x

=

0

∑

M

B



C

=

0 :

H

D

∗

L−P∗sin ∗

L

2

=

0

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

21

Warunki równowagi statycznej

Wyznaczanie reakcji podpór

Schemat statyczny ramy

statycznie

wyznaczalnej

i

geom. niezmiennej

Wyznaczmy reakcje:

L

P

r=3

H

A

M

V

A

B

C

D

H

D

P

y

P

x

r=1

p=1

L/2

L/2

e2

e1

α

x

y

V −P

y

=

0 ⇒ V =P

y

P

x

∗

LP

y

∗

L

2



M =0

P∗cos∗LP∗sin ∗

L

2



M =0

M =−P∗L∗[cos

1
2

∗

sin ]

H

D



H

A

−

P

x

=

0 ⇒

H

A

=

P

x

−

H

D

V −P

y

=

0 ⇒ V =P

y

H

D

∗

L−P∗sin ∗

L

2

=

0 ⇒

⇒

H

D

=

P∗

1

2

∗

sin 

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

22

Warunki równowagi statycznej

Wyznaczanie reakcji podpór

Schemat statyczny ramy

statycznie

wyznaczalnej

i

geom. niezmiennej

Sprawdzenie równaniami nie

wykorzystanymi – np. :

Są one zależne od poprzed-ich.

Można też podstawić wyliczone

reakcje do równań, z których
je otrzymaliśmy. Jednak w

ten sposób nie sprawdzimy
poprawności ułożonych

równań tylko dalsze ich
przekształcenia.

L

P

r=3

H

A

M

V

A

B

C

D

H

D

P

y

P

x

r=1

p=1

L/2

L/2

e2

e1

α

x

y

∑

M

B



A

=

0 :

H

A

∗

L−M V ∗0=0

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

23

DZIEKUJĘ ZA UWAGĘ

KONIEC wykładu