Przykład - wahadło

Typowym przykładem ruchu harmonicznego jest ruch wahadła, kiedy odchylenia od położenia równowagi są niewielkie. W naszych rozważaniach będziemy uważać za wahadło ciało sztywne zawieszone tak, że pod wpływem siły ciężkości przyjmuje określone położenie równowagi mając możliwość obrotu wokół osi przechodzącej przez punkt zawieszenia, który na rysunku obok oznaczony jest literą O . Przyjmujemy następujące oznaczenia: l - odległość punktu zawieszenia O od środka masy ciała C ,  - kąt odchylenia ciała od pionu,  - przyspieszenie kątowe ciała, I - moment bezwładności ciała względem punktu zawieszenia, m - masa ciała, g - przyspieszenie ziemskie.

Siłę ciężkości mg możemy rozłożyć na składowe: wzdłuż i w poprzek kierunku OC. Pierwsza będzie jedynie działać w kierunku rozciągnięcia  naszego  ciała sztywnego, druga wywoła ruch ciała w kierunku położenia równowagi.  Odpowiadający jej moment siły wyniesie.

(6.46)

Podobnie jak w przypadku  sprężyny znak minus oznacza, że kierunek siły jest przeciwny do kierunku odchylenia. W ruchu bryły sztywnej wokół nieruchomej osi obrotu moment siły jest iloczynem momentu bezwładności I i przyspieszenia kątowego , czyli mamy 

(6.47)

Pamiętamy, że przyspieszenie kątowe, to druga pochodna położenia kątowego po czasie, co dla naszego przypadku zapiszemy jako

(6.48)

otrzymując równanie

lub

(6.49)

Jeżeli kąt odchylenia jest niewielki, to możemy zastąpić wartość sinusa przez wartość kąta, wyrażoną oczywiście w mierze łukowej. Otrzymujemy wtedy równanie

(6.50)

gdzie

(6.51)

Równanie to ma taką samą postać, jak znane nam już równanie ruchu harmonicznego (2). Okres drgań wyrazi się więc formułą analogiczną do wzoru (7)

(6.52)

Jeżeli cała masa ciała znajduje się w jednym punkcie odległym o l^' od punktu zawieszenia, to podstawiając wyrażenie na moment bezwładności dla tego przypadku uzyskujemy znany z kursu szkolnego wzór na okres drgań wahadła matematycznego.

(6.53)

Taką długość wahadła matematycznego, przy której okres jego drgań równy jest okresowi drgań wahadła fizycznego nazywamy długością zredukowaną wahadła fizycznego. Wyznaczyć ją można z warunku.

czyli

czyli

(6.54)

Punkt P odległy o wartość długości zredukowanej od osi obrotu nosi nazwę środka wahań, bowiem okres drgań w przypadku zawieszenia ciała w tym punkcie będzie taki sam, jak w przypadku zawieszenia w punkcie O .