Zadania z matematyki dla studentów I - go roku studiów stacjonarnych

Zestaw 10

Diagonalna postać macierzy przekształcenia liniowego

1.	Wykaż, że każda macierz skośno-symetryczna stopnia trzeciego ma tylko jedną wartość własną.
2.	Znajdź wielomiany charakterystyczne macierzy: A = , B = , C = , .
3.	Znajdź wartości własne macierzy A, i dla A = .
4.	Wykaż, że jeżeli jest wartością własną macierzy A, to jest wartością własną macierzy .
5.	Znajdź wartości własne i wektory własne macierzy przekształceń liniowych: A = , B = , C = . Zapisz macierze przekształceń w postaci diagonalnej.
6.	Znajdź bazę, w której macierz przekształcenia liniowego A przyjmie postać diagonalną . Sprawdź, czy zachodzi związek . A = , .
7.	Wykaż, że wartość wyznacznika macierzy przekształcenia liniowego nie zależy od wy- boru bazy, w której zapisano to przekształcenie.
8.	Macierz A = ma n wartości własnych . Wykaż, że detA = .