II. Funkcja produkcji o stałej elastyczności substytucji (CES lub SMAC):

lub
gdzie

dla ρ→1 CES odpowiada doskonałej substytucyjności (wykres - prosta)

dla ρ→0 CES odpowiada funkcji Cobb-Douglasa (wykres hiperboliczny)

dla ρ→-∞ CES odpowiada technologii Leontieffa (doskonała komplementarność - wykres L)

Produkcyjność krańcowa i-tego czynnika:

Elastyczność względem i-tego czynnika:

Efekt skali (suma elastyczność jak w modelu Cobb-Douglasa):

Krańcowa stopa substytucji:

Elastyczność substytucji:

dla Cobba-Douglasa stała i równa 1,

Informuje w przybliżeniu o ile procent wzrasta z_j/z_i jeśli R_ji wzrasta o 1% (mówi o ile powinno wzrosnąć techniczne uzbrojenie pracy, aby krańcowa stopa substytucji wzrosła o 1%)

Metoda Kmenty - historyczna i nienajlepsza, ale pozwalająca oszacować punkty startowe do algorytmu Gaussa-Newtona:

jeżeli oznaczymy kolejno paramtry od beta 0 do beta 3 i oszacujemy zwykłą MNK to otrzymamy punkty startowe:

III. Translogarytmiczna funkcja produkcji (Translog)

Liczba swobodnych parametrów:
Funkcja translogarytmiczna nie jest jednorodna ! (brak globalnego efektu skali)

Dwa pierwsze składniki sumy odpowiadają technologii Cobba-Douglasa

Elastyczności najlepiej liczyć z pochodnej logarytmicznej i analogicznie współczynnik efektu skali (sumy elastyczności)

Podobnie produkcyjności krańcowe i elastyczności substytucji:

Estymacja funkcji produkcji: - na podstawie danych przekrojowych lub szeregów czasowych

Do Cobba-Douglasa i Translogu wystarczy MNK i KMRL, do CES należy stosować metodę Kmenty i algorytm Gaussa-Newtona

W przypadku CES i Translogu należy jeszcze zweryfikować hipotezę, że model Cobba-Douglasa jest wystarczający:

CES)
- test t-Studenta dla regresji nieliniowej

wystarczy C-D CES

Translog)
- test F dla układu współczynników regresji

wystarczy C-D Translog

W przypadku szeregów czasowych bierze się jeszcze pod uwagę postęp techniczno-organizacyjny

gdzie  ⋅  - informuje w przybliżeniu o ile % wzrasta prdukcja z okresu na okres wyłącznie na skutek usprawnień techniczno-organizacyjnych (neutralnego postępu techniczno-organizacyjnego)

Zmienna objaśniająca losowa - stosujemy zwykłą MNK

Regresja liniowa dla danych czasowych - nie można stosować zwykłej MNK dla autokorelacji, ani dla modeli wielorównaniowych, natomiast można zwykłą MNK szacować proces autoregresyjny ze względu na zmienną objaśniającą:

Model autoregresyjny rzędu 1 (AR(1)):

Modele wielorównaniowe:

Statyczne (bez opóźnień) i dynamiczne (z opóźnieniami)

Y_t - wektor zmiennych łącznie współzależnych

X_t - wektor zmiennych ustalonych z góry (wraz z wyrazami wolnymi - kolumna 1)

U_t - wektor równoczesnych składników losowych wszystkich równań

Rodzaje modeli wielorównaniowych:

• Proste - macierz B jest macierzą jednostkową; brak bezpośrednich zależności funkcyjnych między bieżącym zmiennymi endogenicznymi

• Rekurencyjne - równoczesne składniki losowe róznych równań nie są pomiędzy sobą skorelowane i macierz B jest niejednostkową macierzą trójkątną (lub daje się sprowadzić do trójkątnej prze zamianę numeracji równań i zmiennych i tylko w ten sposób); modeluje wyłącznie jednokierunkowe zależności między bieżącymi zmiennymi endogenicznymi

• O równaniach współzależnych - nie jest ani prosty ani rekurencyjny; opisuje dwukierunkowe powiązania między bieżącymi zmiennymi endogenicznymi

Estymacja prostych i rekurencyjnych modeli - zwykła MNK (estymator jest zgodny asymptotycznie)

Postacie modeli:

• Strukturalna - układ równań

• Zredukowana
  gdzie:
  

Badanie identyfikalności modelu:

Otrzymujemy układ równań z przemnożenia:

i - nr kolumny (równania)

Elementy macierzy pi traktujemy jako parametry, parametry modelu jako zmienne

Ze względu na ilość rozwiązań tego układu równań otrzymujemy, że równanie:

• Nieidentyfikowalne (układ ma nieskończenie wiele rozwiązań - więcej zmiennych niż równań) - niemożna go estymować

• Jednoznacznie identyfikowalne (układ ma dokładnie 1 rozwiązanie - liczba zmiennych jest równa liczbie równań) - pośrednia MNK (jako szczególny przypadek 2MNK)

• Niejednoznacznie identyfikowalne (układ jest sprzeczny - więcej równań niż zmiennych) - 2MNK

Pośrednia MNK:

Szacuje się:
, a parametry równań oblicza się z powyższego układu równań (będą zależne od elementów macierzy 

Podwójna MNK:

Dla danego równania wyprowadzamy postać:

gdzie Y,X,,γ są odpowiednimi macierzami i wektorami tych X,Y,,γ które występują w równaniu, analogicznie składnik losowy; Y ma wymiar T x m_i X ma wymiar T x k_i

Wyprowdzamy teoretyczne Y:
tworzymy macierz z:

Wektor parametrów przy X i Y:
i szacujemy go:

Błędy średnie szacunku z macierzy:
a wariancja:

Przy czym teorytyczny składnik losowy jest liczony z równania oryginalnego:

Można to zapisać gotowymi wzorami:

Analiza mnożnikowa

Uogólniony model regresji liniowej (UMRL)

Copyright SGP

Ekonometria

Rachunek macierzowy:

• Mnożenie macierzy (schemat Falka)

• Macierz symetryczna (iloczyn transponowany jest zawsze symetryczny)

• Macierz diagonalna (na przekątnej liczby, poza nią zera)

• Macierz jednostkowa (jw. na przekątnej jedynki)

• Macierz trójkątna (pod lub nad przekątną same zera)

• Macierz nieosobliwa (gdy wyznacznik macierzy jest różny od zera)

• Macierz ortogonalna (gdy iloczyn transponowany równy jest macierzy jednostkowej)

• Macierz idenpotentna (gdy kwadrat macierz jest jej równy)

• Macierz określona dodatnio (gdy wszystkie minory główne są dodatnie

• Trace (ślad) macierzy (suma elementów na przekątnej

• Rząd macierzy

Klasyczny model regresji linowej (KMRL):

Założenia normalnie zapisane	Założenia w rachunku macierzowym
Wartości są znanymi wartościami nielosowymi	X jest znaną macierzą nielosową
Między nie ma dokładnej zależności liniowej	r (X) = k (gdzie )
Składniki losowe są zmiennymi losowymi o zerowych wartościach oczekiwanych
I. Rozproszenie mierzone odchylenie standardowym (S) jest takie samo dla wszystkich = wariancje (S^2) składników losowych poszczególnych obserwacji są skończone i jednakowe: Składniki losowe poszczególnych obserwacji są między sobą nieskorelowane:

Szacowanie wartości w KMRL:

- znane nam

- nieznane

Macierze X,Y dla specyficznych modeli:

Model wielomianowy (może być wyższa potęga niż 2):

Y - bez zmian

Model hiperboliczny:

Y - bez zmian

Modele potęgowe i wykładnicze należy zlogarytmować obustronnie i podastawić - dalej regresja liniowa.

Twierdzenie Gaussa i Markowa (estymacja metodą MNK):

_{^ ^}

z macierzą kowariancji

_{^ ^ ^ ^ ^ ^ ^}

_^

przyjmuje się, że:
błędy ocen parametrów:

korelacja:
- wartości z macierzy V()

współczynnik zbieżności:
współczynnik determinacji R²=1-²

Klasyczny model normalnej regresji liniowej: (KMNRL):

KMRL + założenie 6: ε ma wielowymiarowy rozkład normalny (Gaussa)

Budowa przedziałów ufności dla parametrów regresji:

_{^ ^ ^ ^}

gdzie t to rozkład t-studenta o T-k stopniach swobody (
)

Uzyskany przedział liczbowy jest realizacją najkrótszego przedziału o końcach losowych w którym z zadanym prawdopodobieństwem (1-) zawiera się nieznany parametr

Testowanie istotności parametrów regresji:

(najczęściej testuje się dla _i^* = 0 - testowanie istotności wpływu zmiennej objaśniajacej na objaśnianą)

sprawdzian testu:
- jeżeli moduł sprawdzianu testu (statystyki) jest większy od wartości krytycznej (t_) to odrzucamy H₀ na korzyść H₁, jeżeli statystyka jest mniejsza od wartości krytycznej to brak podstaw do odrzucenia H₀ (zdarzenie wysoce prawdopodobne przy H₀); uwaga: dotyczy: testu dwustronnego

Testowanie istotności układu współczynników regresji:

Macierz X dzielimy na dwie części: X=[X₁, X₂] o wymiarach k₁ i k₂ (k₁+k₂=k), analogicznie macierz  na ⁽¹⁾ i ⁽²⁾

Model ma wówczas postać:

- w H₁ zakładamy, że przynajmniej jedna zmienna objaśniająca z X₂ ma wpływ na zmienna objaśnianą (Y)

sprawdzian testu:
- SSE_i - suma kwadratów reszt dla H_i, reszta analogicznie

Przypadek szczególny: - model regresji z wyrazem wolnym (macierz X ma kolumnę jedynek)

Testujemy wszystkie parametry regresji z wyjątkiem wyrazy wolnego (k₂=k-1) - H₀, H₁ - jw.

sprawdzian testu:

Testowanie stałości wariancji:

Obserwacje, w których spodziewamy się mniejszej S² grupujemy w Y⁽¹⁾ (wymiary T₁ x 1) i odpowiadające im X₁ (T₁ x k)

Obserwacje, w których spodziewamy się większej S² grupujemy w Y⁽²⁾ (wymiary T₂ x 1) i odpowiadające im X₂ (T₂ x k)

Jeżeli T>T₁+T₂ to pozostałe obserwacje tworzą zbiór środkowy, jeżeli są sobie równe - brak zbioru środkowego

Budujemy dwa modele regresji i szacujemy ich parametry zwykłą MNK oraz liczymy S² dla obu grup obserwacji.

sprawdzian testu:

Regresja nieliniowa - algorytm Gaussa - Newtona:

1. Punkty startowe dobieramy arbitralnie (w praktyce korzystając z jakiegoś przybliżenia)

2. W kolejnych krokach obliczamy kolejne przybliżenia parametrów:
   

gdzie:
- macierz pochodnych cząstkowych,

a
- wektor reszt, przy czym
- wektor funkcji rzeczywistych

3. Sprawdzamy za każdym razem kryterium stopu:

δ - przyjęte kryterium stopu (ustalona mała liczba)

- bo nie ma różnicy j czy j+1 jeżeli zatrzymaliśmy się na kryterium stopu - statystycznie nierozróżnialne

_{^ ^ ^ ^ ^ ^}

i
, gdzie c_ii = V(); testowanie jak KMRL

I funkcja Törquista (krzywa Engla dla dobra podstawowego):

po przekształceniach:
_, _ > 0

dobór punktu startowego:
lub

elastyczność:
mówi o ile procent zmieni się D_t przy gdy M_t wzrośnie o 1%

w tym przypadku:
- interpretacja ₂; interpretacja ₁ - poziom nasycenia

II funkcja Törquista (krzywa Engla dla dobra wyższego rzędu):

 - poziom nasycenia, γ - poziom od którego można nabyć dane dobro

III funkcja Törquista (krzywa Engla dla dobra luksusowego):

γ - poziom od którego można nabyć dane dobro, asymptoty ukośne

Ekonometryczne funkcje produkcji:

Definicje charakterystyczne dla procesu produkcji:

1. Produkcyjność krańcowa i-tego czynnika produkcji

- informuje nas o ile jednostek wzrasta produkcja (Q), gdy nakład i-tego czynnika (z_i) wzrasta o jednostkę przy ustalonych nakładach pozostałych czynników

Powinna spełniać dwa postulaty:

2. Elastyczność produkcji względem nakładu i-tego czynnika

- informuje nas w przybliżeniu o ile procent wzrośnie produkcja (%), jeżeli nakład i-tego czynnika produkcji wzrośnie o 1% przy ustalonych nakładach pozostałych czynników

3. Lokalny współczynnik efektu skali

- informuje nas o ile w przybliżeniu wzrośnie produkcja (%), jeżeli nakłady wszystkich czynników produkcji wzrosną naraz o 1%

dla funkcji jednorodnych stopnia  lokalny współczynnik efektu skali jest równy globalnemu:

4. Izokwanty (krzywe / powierzchnie jednakowego produktu) - wszystkie te kombinacje czynników produkcji, które dają w efekcie tę samą produkcję

5. Krańcowa (techniczna stopa substytucji)

- informuje w przybliżeniu ile dodatkowych jednostek nakładu czynnika j należy zaangażować, aby wycofać jednostkę czynnika i nie zmieniając produkcji (przy ustalonych nakładach pozostałych czynników) - w książce jest odwrotnie R _{i / j}

Funkcje produkcji:

1. Funkcja Cobba i Douglasa

lub

Elastyczność:
Produkcyjność krańcowa:

Efekty skali (globalny równy lokalnemu):
- efekt skali i elastyczności są niezmienne

>1 - rosnący 1 - stały 1 - malejący efekt skali

Izokwanta:
Krańcowa stopa substytucji:

Postać jawna izokwanty dla pracy i kapitału:

2. Funkcja o stałej elastyczności substytucji (CES / SMAC)

lub

gdzie _j>0, η>0, ρ<1 (ρ nie może być zerem) lub

dla ρ=1 - doskonała substytucyjność (prosta)

dla ρ→  funkcja Cobba i Douglasa (
, krzywa)

dla ρ→−∞ - technologia Leontieffa (doskonała komplementarność, wykres - L)

K

L

Zależności w analizie przepływów międzygałęziowych dla gospodarki zamkniętej

• popyt pośredni (zużycie pośrednie)

• popyt końcowy (równanie podziału)

• koszt materiałowy

• koszt materialny

• całkowity koszt produkcji

• zysk

• wartość dodana

• równanie kosztów

• równanie równowagi ogólnej

Tablica PM dla gospodarki zamkniętej

i	Xi	1	2	...	n	Yi
1	X1	x11	x12	...	x1n	Y1
2	X2	x21	x22	...	x2n	Y2
...	...	...	...		...	...
n	Xn	xn1	xn2	...	xnn	Yn
	amortyzacja	xn+2,1	xn+2,2	...	xn+2,n
	xoj	x01	x02	...	x0n
	Zj	Z1	Z2	...	Zn
	Xj	X1	X2	...	Xn

Przykładowa tablica PM

i	Xi	1	2	3	Yi
1	500	50	195	0	255
2	300	100	0	90	110
3	150	80	45	15	10
	amortyzacja	15	30	10
	x0j	200	30	15
	Zj	55	0	20
	Xj	500	300	150

Tablica PM dla gospodarki otwartej

i	Xi	1	2	...	n	Yi^(1)	Yi^(2)	Yi^(3)	Yi^(4)
1	X1	x11	x12	...	x1n	Y1^(1)	Y1^(2)	Y1^(3)	Y1^(4)
2	X2	x21	x22	...	x2n	Y2^(1)	Y2^(2)	Y2^(3)	Y2^(4)
...	...	...	...		...	...	...	...	...
n	Xn	xn1	xn2	...	xnn	Yn^(1)	Yn^(2)	Yn^(3)	Yn^(4)
n + 1	import	xn+1,1	xn+1,2	...	xn+1,n	xn+1^(1)	xn+1^(2)	xn+1^(3)	xn+1^(4)
n + 2	amort.	xn+2,1	xn+2,2	...	xn+2,n
	x0j	x01	x02	...	x0n
	Zj	Z1	Z2	...	Zn
	Xj	X1	X2	...	Xn

Oznaczenia:

• x_n+j,j - koszt materiałów importowanych zużytych w j-tej gałęzi,

• Y_i⁽¹⁾ - wartość spożycia produktów i-tej gałęzi,

• Y_i⁽²⁾ - wartość produktów i-tej gałęzi przeznaczonych na inwestycje,

• Y_i⁽³⁾ - wartość produktów i-tej gałęzi przeznaczonych na zapasy,

• Y_i⁽⁴⁾ - wartość eksportu produktów i-tej gałęzi,

• x_n+1⁽¹⁾ - wartość spożycia produktów z importu,

• x_n+1⁽²⁾ - wartość produktów z importu przeznaczonych na inwestycje,

• x_n+1⁽³⁾ - wartość produktów z importu przeznaczonych na zapasy,

• x_n+1⁽⁴⁾ - a co to oznacza?

Zależności w analizie przepływów międzygałęziowych dla gospodarki otwartej

• koszt materiałowy

• koszt materialny

• całkowity koszt produkcji

• zysk

• wartość dodana

• równanie kosztów

• równanie podziału

• równanie równowagi ogólnej

Rachunek dochodu narodowego

• amortyzacja

• saldo handlu zagranicznego

• dochód narodowy wytworzony brutto

• dochód narodowy wytworzony netto

• dochód narodowy podzielony brutto

• dochód narodowy podzielony netto

Wskaźniki efektywności gospodarki

Oznaczenia:

L_j - liczba pracowników zatrudnionych w j-tej gałęzi,

ST_j - wartość produkcyjnych środków trwałych w gałęzi j-tej.

• materiałochłonność

• materiałochłonność gospodarki

• importochłonność

• rentowność

• pracochłonność produkcji

• wydajność pracy

• majątkochłonność produkcji

• produktywność majątku trwałego

• techniczne uzbrojenie pracy

Model Leontiewa

• współczynniki kosztów

• macierz struktury kosztów

• macierz Leontiewa

• model Leontiewa

• prognoza I rodzaju lub

• prognoza II rodzaju lub

1. Wprowadzenie do ekonometrii.

2. Model ekonomiczny i ekonometryczny.

3. Klasyfikacja modeli ekonometrycznych.

4. Klasyfikacja ekonometrycznych modeli wielorównaniowych.

1. Czym jest ekonometria?

Ekonometria - zastosowanie metod statystycznych i matematycznych do analizy danych empirycznych, w celu dostarczenia teoriom ekonomicznym materiału empirycznego oraz weryfikacji lub obalenia tych teorii.

2. Prawo popytu

• Teoria ekonomiczna: krzywa popytu jest nachylona ujemnie.

• Formalizacja teorii ekonomicznej:

q = a + bp, b < 0 lub

q = apb, b < 0, gdzie

q - wielkość popytu, p - cena.

• Plaga bogactwa form!

3. Modelowanie

Model - uproszczone przedstawienie rzeczywistych procesów.

Jak szczegółowy powinien być model?

prosty,

złożony.

W praktyce: uwzględniamy w modelu wszystkie czynniki, które uważamy za ważne dla naszego problemu, a pomijamy wszystkie pozostałe.

4. Model ekonomiczny i ekonometryczny

Model ekonomiczny - zbiór założeń, które w przybliżeniu opisują zachowanie się gospodarki.

Model ekonometryczny - formalny opis stochastycznej zależności wyróżnionego zjawiska ekonomicznego (wyróżnionych zjawisk) od czynników, które je kształtują, a wyrażony w formie pojedynczego równania bądź układu równań.

• zbiór równań opisujących zachowanie zjawiska ekonomicznego wyprowadzonych z modelu ekonomicznego,

• stwierdzenie, czy występują błędy w obserwacjach,

• specyfikacja rozkładu prawdopodobieństwa „zakłóceń” oraz ewentualnych błędów w obserwacjach.

5. Prawo popytu

• Równanie opisujące zachowanie popytu:

• q = a + bp + e,

• gdzie e jest czynnikiem zakłócającym.

• Specyfikacja rozkładu prawdopodobieństwa e, np. stwierdzenie, że ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną 0 i stałą wariancją.

6. Cele ekonometrii

• Formułowanie modeli ekonometrycznych, czyli formułowanie modeli ekonomicznych w formie pozwalającej je empirycznie testować.

• Estymowanie i testowanie modeli ekonometrycznych na danych obserwacjach.

• Wykorzystanie modeli do celów prognostycznych oraz w kreowaniu polityki gospodarczej.

7. Analiza ekonometryczna

7. Analiza regresji jest narzędziem do opisu i oszacowania ilościowego związku między daną zmienną objaśnianą (zależną), a jedną lub więcej zmiennymi objaśniającymi (niezależnymi).

• zmienne objaśniające: x1, x2, ..., xk.

• zmienna objaśniana: y

• Jeśli k = 1: regresja prosta.

• Jeśli k > 1: regresja złożona.

8. Cele stosowania analizy regresji

• Analiza efektów zmian wartości pojedynczych zmiennych objaśniających (x'ów).

• Prognoza wartości zmiennej objaśnianej (y) dla danego zestawu wartości zmiennych objaśniających (x'ów).

• Badanie, czy jakakolwiek zmienna objaśniająca ma istotny wpływ na zmienną objaśnianą.

9. Typy zależności

• Funkcyjna zależność y od x:

y = f(x),

gdzie f jest funkcją x.

• Zależność

deterministyczna,

stochastyczna.

• Zależność liniowa, tj. f(x) jest funkcją liniową:

f(x) = a + bx.

• Zależność stochastyczna:

f(x) = a + bx + e,

gdzie e jest „składnikiem losowym” o znanym rozkładzie prawdopodobieństwa.

• Dla wielu zmiennych objaśniających:

y = a + a1x1 + a2x2 + ... + akxk + e, gdzie

czynnik deterministyczny: a + a1x1 + a2x2 + ... + akxk,

czynnik stochastyczny: e,

parametry strukturalne: a, a1, a2, ... , ak.

10.Dlaczego uwzględniamy składnik losowy?

• Postępowanie podmiotów ekonomicznych cechuje indeterminizm. Oznacza to, że np. ten sam konsument, postawiony wobec takiego samego wyboru w takich samych warunkach, może podjąć każdorazowo nieco inną decyzję.

• Pomiar zjawisk jest niedoskonały i niedokładny. Składnik losowy zawiera w sobie różnice wynikające z błędów obserwacji.

• Sam model może być wadliwie skonstruowany i w jego specyfikacji brakować może ważnych zmiennych objaśniających lub/i postać funkcyjna może być niepoprawna.

11. Dane do modelu

• Podstawowe źródła danych:

• publikacje GUS (Roczniki i Biuletyny Statystyczne),

• publikacje NBP,

• dane finansowe przedsiębiorstw, giełdowe, ...

• Szereg czasowy - zestaw liczb odpowiadających wartościom, jakie przybrało rejestrowane zjawisko w kolejnych, jednakowo odległych, momentach czasu (np. latach, kwartałach, miesiącach).

• Szereg przekrojowy - dane wyrażające stan zjawiska w ustalonym okresie czasu, ale w odniesieniu do różnych obiektów.

• Model ekonometryczny (zapis dla obserwacji):

• yt = a + a1tx1 + a2tx2 + ... + aktxk + et, t = 1,...,n

12. Inflacja - szereg czasowy

13. Mieszkania - dane przekrojowe

14. Klasyfikacja zmiennych

• Podział na:

• A - zmienne endogeniczne: bieżące i opóźnione (wyjaśniane przez model),

• B - zmienne egzogeniczne: bieżące i opóźnione (nie wyjaśniane przez model).

• Ze względu na rolę pełnioną w modelu:

• C - zmienne objaśniane,

• D - zmienne objaśniające.

15.Klasyfikacja zmiennych- przykład

Model wielorównaniowy:

PKBt = a0 + a1Zt + a2It-1 + a3It-2 + et1

It = b0 + b1PKBt + et2

Klasyfikacja zmiennych:

A = {PKB, I} B = {Z}

C = {PKBt, It} C = {Zt, It-1, It-2, PKBt}

16.Klasyfikacja modeli ekonometrycznych

KRYTERIUM 1. Liczba równań w modelu:

• modele jednorównaniowe,

• modele wielorównaniowe.

KRYTERIUM 2. Postać analityczna modelu:

• modele liniowe,

• modele nieliniowe.

KRYTERIUM 3. Czynnik czasu w modelu:

• modele statyczne,

• modele dynamiczne.

KRYTERIUM 4. Ogólnopoznawacze cechy modelu:

• modele przyczynowo-opisowe,

• modele symptomatyczne.

KRYTERIUM 5. Powiązania w modelach wielorównaniowych:

• modele proste,

• modele rekurencyjne,

• modele o równaniach łącznie współzależnych.

17. Dobór zmiennych objaśniających do modelu ekonometrycznego

Y - zmienna objaśniana,

X = {X1, X2, ..., Xm} - zbiór „kandydatek” na zmienne objaśniające,

rij - współczynnik korelacji liniowej Pearsona między „kandydatkami” na zmienne objaśniające,

rj - współczynnik korelacji liniowej Pearsona między zmiennymi Xj i Y,

s = 1, 2, ..., 2m-1 - numer niepustych kombinacji zmiennych ze zbioru X,

Cs - zbiór numerów zmiennych tworzących s-tą kombinację.

18. Metoda Hellwiga

indywidualna pojemność informacyjna nośnika Xj w s-tej kombinacji:

integralna pojemność informacyjna s-tej kombinacji:

reguła decyzyjna:

1. Metoda Najmniejszych Kwadratów (MNK)

2. Współczynnik determinacji

3. Koincydencja

4. Kataliza

5. Współliniowość zmiennych

1. Jednorównaniowy model ekonometryczny

Y = a0 + a1X1 + a2X2 + ... + akXk + e

yt = a0 + a1x1t + a2x2t + ... + akxkt + et, t = 1,...,n

y = Xa + e

2. Estymatory MNK

• wartości teoretyczne:

• reszta:

• układ równań normalnych:

• XTXa = XTy

• estymatory MNK:

a = (XTX)-1XTy

3. Założenia MNK

• zmienne objaśniające Xi są nielosowe i nieskorelowane ze składnikiem losowym,

• rz(X) = k + 1 £ n,

• E(e) = 0,

• D2(e) = E(eeT) = s2I, s2 < ¥,

• et: N(0,s2), t = 1,2,...,n,

• informacje zawarte w próbie są jedynymi, na podstawie których estymuje się parametry strukturalne modelu.

4. Własności estymatorów MNK

• Tw. Gaussa - Markowa:

• Estymator a wektora parametrów a modelu ekonometrycznego wyznaczony MNK jest estymatorem: liniowym, zgodnym, nieobciążonym i najefektywniejszym w klasie liniowych i nieobciążonych estymatorów.

5. Estymator MNK - przykład

Oszacowanie modelel:

Y - roczna pensja (tysiące $)

X1 - lata nauki po zakończeniu szkoły średniej

X2 - staż pracy w przedsiębiorstwie

6. Własność koincydencji

• Model jest koincydentny, jeśli dla każdej zmiennej objaśniającej modelu spełniony jest warunek:

sgn ri = sgn ai

• Para korelacyjna:

para (R,R0)

• Regularna para korelacyjna: para (R,R0), gdy współczynniki korelacji spełniają warunek:

0 < r1 £ r2 £ ... £ rk

7. Zapis korelacyjny modelu ekonometrycznego

• X, Y - dane wystandaryzowane,

• R = (1/n)*XTX,

• R0 = (1/n)*XTY,

• zapis korelacyjny: R0 = Ra + Re,

• estymatory: a = R-1R0,

• współczynnik determinacji: R2 = R0TR-1R0.

8. Koincydencja - przykład

współczynnik korelacji X1 i X2: r12 = 0,949

model nie jest koincydentny, gdyż

sgn a1 ¹ sgn r1

9.Miary jakości modelu

Współczynnik determinacji:

Skorygowany współczynnik determinacji

Niescentrowany współczynnik determinacji (model bez wyrazu wolnego)

10.Interpretacja R2

• Część zmienności zmiennej objaśnianej, która jest wyjaśniana przez model.

• Warunki poprawnej interpretacji:

• zależność między zmienną objaśnianą, a zmiennymi objaśniającymi jest liniowa,

• parametry modelu oszacowane zostały MNK,

• model zawiera wyraz wolny.

11.Efekt katalizy

• Efekt katalizy - możliwość otrzymania wysokiej wartości współczynnika determinacji mimo, że charakter i siła powiązań zmiennych objaśniających i zmiennej objaśnianej nie uzasadniają takiego wyniku.

• Efekt katalizy może mieć miejsce, gdy występuje zmienna - katalizator:

dla regularnej pary korelacyjnej, zmienna Xi z pary (Xi,Xj) jest katalizatorem, jeżeli

rij < 0 lub rij > ri/rj

12.Pomiar zjawiska katalizy

• Natężenie zjawiska katalizy:

h = R2 - H,

gdzie H jest integralną pojemnością informacyjną zestawu zmiennych objaśniających.

• Względne natężenie efektu katalizy:

Wh = h / R2 x 100%

13. Współliniowość zmiennych

• Współliniowość jest wadą próby statystycznej, polegającą na tym, że szeregi reprezentujące zmienne objaśniające są nadmiernie skorelowane.

• Konsekwencje występowania współliniowości:

• niemożliwy staje się pomiar oddziaływania poszczególnych zmiennych objaśniających,

• oceny wariancji estymatorów MNK, związanych ze skorelowanymi zmiennymi, są bardzo duże,

• oszacowania parametrów są bardzo wrażliwe na dodanie lub usunięcie z próby niewielkiej liczby obserwacji.

• Ale estymatory MNK są BLUE!!!

14. Dokładna współliniowość

• Dokładna współliniowość - podzbiór zmiennych objaśniających jest związany zależnością liniową.

• rz(X) < k + 1 Þ macierz XTX jest osobliwa i nie istnieją estymatory MNK!

• W praktyce: przybliżona współliniowość.

15. Przybliżona współliniowość - co robić?

• nie robić nic,

• zmienić zakres próby statystycznej,

• rozszerzyć model o dodatkowe równania,

• nałożyć dodatkowe warunki na parametry,

• usunąć zmienną lub zmienne,

• wykorzystać wyniki innych badań,

• dokonać transformacji zmiennych,

• zastosować metodę estymacji grzbietowej,

• zastosować metodę głównych składowych.

1. Weryfikacja statystyczna modelu ekonometrycznego

• błędy szacunku parametrów,

• istotność zmiennych objaśniających,

• autokorelacja,

• heteroskedastyczność.

Zmienne zero-jedynkowe

1. Weryfikacja statystyczna modelu

• Badanie liniowości modelu

• Badanie normalności rozkładu składnika losowego

• Badanie autokorelacji składnika losowego

• Badanie homoskedastyczności składnika losowego

• Badanie istotności zmiennych objaśniających

2. Błędy szacunku parametrów

Macierz kowariancji estymatora a:

D²(a) = s²(XTX)^-1

Estymator wariancji s2 składnika losowego:

Estymator macierzy kowariancji estymatora a:

Średni błąd szacunku parametru aj:

Średni względny błąd szacunku parametru aj:

3. Przykład

Oszacowany model:

Oszacowanie wariancji składnika losowego:

S2 = 0.75 S = 0.87

Średnie błędy szacunku dla zmiennej

X1: 0.68

X2: 0.87

Oszacowany model:

Średnie względne błędy szacunku dla zmiennej

X1: 272%

X2: 16%

4. Przykład

5. Istotność zmiennych objaśniających

• Badanie, czy dana zmienna objaśniająca lub zbiór zmiennych objaśniających mają istotny wpływ na zmienną objaśnianą.

• Istotność pojedynczej zmiennej - test t-Studenta:

Para hipotez:

H0: aj = 0,

H1: aj ¹ 0.

Statystyka testowa

: ma rozkład t-Studenta z n = n - (k + 1) stopniami swobody.

Wnioskowanie:

• jeśli |t| > ta,n Þ odrzucamy H0 Þ zmienna Xj jest istotna,

• jeśli |t| £ ta,n Þ nie ma podstaw do odrzucenia H0 Þ zmienna Xj jest nieistotna

6. Przykład

Oszacowany model:

Liczba stopni swobody: n = 2.

Poziom istotności: a = 0,05.

Wartość krytyczna: t0.05;n = 4,3027.

Wartości testowe:

X1: -0,37,

X2: 6,35.

Zmienne istotne: tylko X2.

7. Istotność zmiennych objaśniających

Istotność zmiennych - test F:

Para hipotez:

H0: a1 = a2 = ... = ak = 0,

H1: a1 ¹ 0 lub a2 ¹ 0 lub ... lub ak ¹ 0.

Statystyka testowa:

ma rozkład F-Snedecora z r1 = k i r2 = n - (k + 1) stopniami swobody.

Wnioskowanie:

jeśli F > Fa,r1,r2 Þ odrzucamy H0 Þ przynajmniej jedna zmienna objaśniająca

jest istotna,

jeśli F £ Fa,r1,r2 Þ nie ma podstaw do odrzucenia H0 Þ żadna zmienna

objaśniająca nie jest istotna.

8. Przykład

• Liczba stopni swobody licznika: r1 = 2.

• Liczba stopni swobody mianownika: r2 = 2.

• Wartość krytyczna: F0,05;2;2 = 19,00

• Statystyka testowa: F* = 180,33.

• Wniosek: R2 jest istotne.

9. Autokorelacja składników losowych

• model standardowy, ale D2(e) = F = s2W.

• Autokorelacja składników losowych - sytuacja, gdy składniki losowe dotyczące różnych obserwacji są skorelowane, a więc gdy macierz W nie jest diagonalna.

• Przyczyny autokorelacji:

• natura niektórych procesów gospodarczych,

• psychologia podejmowania decyzji,

• niepoprawna postać funkcyjna modelu,

• wadliwa struktura dynamiczna modelu,

• pominięcie w specyfikacji modelu ważnej zmiennej,

• zabiegi na szeregach czasowych

10. Schemat autoregresyjny pierwszego rzędu: AR(1)

Założenia:

• stacjonarny proces stochastyczny,

• homoskedastyczność.

Macierz kowariancji składników losowych

11. Schemat autoregresyjny pierwszego rzędu: AR(1)

Założenie:

et = ret-1 + ht, gdzie

r - współczynnik autokorelacji,

h - składnik losowy spełniający: E(h) =0, D2(h) = sh2I.

Wariancja składnika losowego:

D2(et) = s2 = sh2/(1 - r2)

Macierz kowariancji składników losowych:

12. Skutki autokorelacji

• Estymator MNK jest nieefektywny, ale jest nieobciążony.

• Estymator wariancji estymatorów MNK jest obciążony.

• Średnie błędy szacunku są niedoszacowane.

• Wartości statystyk t są przeszacowane.

• Przeszacowany jest współczynnik determinacji.

13. Uogólniona MNK

Założenie: D2(e) = s2W i wszystkie parametry są znane.

Estymator UMNK (estymator Aitkena) jest BLUE:

a = (X^TW^-1X)^-1X^TW^-1y

W przypadku procesu AR(1):

14. Estymatory współczynnika autokorelacji

współczynnik korelacji reszt

skorygowany współczynnik korelacji reszt:

estymator nieobciążony

15. Testowanie zjawiska autokorelacji

Test Durbina-Watsona

• Para hipotez:

• H0: r = 0,

• H1: r > 0 (jeśli est. r > 0) lub r < 0 (jeśli est. r < 0).

• Statystyka testowa:

16. Przykład

Statystyka testowa: DW = 2,083.

0

dL = 0,946

dU = 1,543

4 - dU = 2,457

4 - dL = 3,054

4

Wniosek: brak autokorelacji.

17. Heteroskedastyczność

• Heteroskedastyczność - zjawisko polegające na niejednorodności wariancji składników losowych w obrębie próby. Elementy leżące na głównej przekątnej macierzy F = D2(e) nie są jednakowe.

• Skutki heteroskedastyczności:

• estymatory MNK są nieefektywne, ale nieobciążone i zgodne,

• obciążone są estymatory wariancji estymatorów parametrów strukturalnych.

18. Testowanie heteroskedastyczności

Test Goldfelda - Quandta

• Para hipotez:

H0: s12 = s22,

H1: s12 ¹ s12.

• Statystyka testowa:

19. Przykład

• Pierwsza podpróba: obserwacje 1 - 15 i 35 - 50.

• Druga podpróba: obserwacje 16 - 34.

• Ocena wariancji I: 277100,40.

• Ocena wariancji II: 1739,40.

• Statystyka testowa: 159,31.

• Wartość krytyczna: 2,15.

• Wniosek: wariancje w podpróbach są istotnie różne, zatem występuje heteroskedastyczność.

20. Zmienne zero - jedynkowe

Zmienna zero -jedynkowa - zmienna, która przyjmuje tylko dwie wartości jeden lub zero.

Wykorzystywane są do:

zastępowania zmiennych niemierzalnych,

wyróżniania pewnych okresów,

...

UWAGA: Możliwa dokładna współliniowość!

1. Prognozowanie na podstawie jednorównaniowego modelu ekonometrycznego

2. prognoza punktowa,

3. prognoza przedziałowa.

4. Modele nieliniowe.

5. Funkcja produkcji.

1. Klasyfikacja prognoz

Prognozowanie ekonometryczne - wnioskowanie o przyszłych wartościach zmiennej endogenicznej na podstawie modelu wyjaśniającego kształtowanie się tej zmiennej.

2. Prognoza punktowa

• Oszacowany model ekonometryczny

• Okres prognozy: t > n.

• Wektor wartości zmiennych objaśniających dla okresu prognozy:

• Prognoza punktowa:

• Średni błąd predykcji ex ante:

• Względny średni błąd predykcji ex ante:

3. Przykład

• Oszacowany model:

• Okres prognozy: t = 6.

• Wartości zmiennych objaśniających:

x16 = 5,

x26 = 12.

• Prognoza punktowa:

• Średni błąd predykcji ex ante:

• Względny średni błąd predykcji ex ante: v6 = 2,24%

4. Prognoza przedziałowa

• Przedział ufności:

• Prognoza punktowa w przypadku autokorelacji

(t = n + s):

5. Przykład

• Poziom istotności: a = 0,05.

• Liczba stopni swobody: u = 2.

• Wartość krytyczna: t0,005;2 = 4,303.

• Prognoza przedziałowa: (37,04 ; 44,96)

6. Dokładność prognoz ex post

średni absolutny błąd predykcji:

współczynnik Theila:

7. Modele liniowe

• mają prostą interpretację,

• często stanowią dobrą aproksymację relacji nieliniowych,

• są łatwe w estymacji oraz weryfikacji statystycznej,

• są postacią modeli nieliniowych po ich linearyzacji.

8. Nieliniowości modeli

• Modele nieliniowe względem zmiennych:

np. Y = a₀ + a₁X + a₂X² + e,

proste, bo podstawiamy Z = X² i Y = a₀ + a₁X + a₂Z + e.

• Modele nieliniowe względem parametrów

np. Y = a₀ + a₁²X + a₂Z + e,

trudne metody estymacji,

czasami pomaga linearyzacja modelu,

sprawdzian: jeśli każda pochodna cząstkowa zmiennej Y względem parametrów modelu jest niezależna od wszystkich parametrów modelu, to taki model jest liniowy względem parametrów.

9. Typowe modele nieliniowe

Model wielomianowy:

Y = a₀ + a₁X + a₂X² + ... + a_kX^k + e.

Model logarytmiczny: Y = a₀ + a₁lnX + a₂lnZ + e.

Model hiperboliczny: Y = a₀ + a₁/X + a₂Z + e.

Model z interakcjami:

Y = a₀ + a₁X + a₂Z + a₃XZ + e.

Model potęgowy:

Model wykładniczy:

Model S-krzywej:

10. Funkcja produkcji

Funkcja produkcji - zależność między nakładami czynników produkcyjnych w pewnym procesie, a wielkością wytworzonego produktu.

Ekonometryczna funkcja produkcji - model jednorównaniowy, w którym zmienną objaśnianą jest produkcja Y, a zmiennymi objaśniającymi są nakłady J czynników produkcji Xj:

Y = f(X₁,X₂,...,X_J)

Nakłady:

kapitału:K,

pracy: L.

11. Założenia o funkcji produkcji

• Funkcja produkcji: Y = f(K,L).

• Założenia:

Y > 0, K > 0, L > 0,

izokwanty produkcji (linie stałego produktu), tj. linie którym odpowiada ta sama wartość produkcji, czyli Y₀ = f(K,L), są wypukłe,

funkcja produkcji jest ciągła i dwukrotnie różniczkowalna.

12. Własności funkcji produkcji

• Produkcyjność krańcowa czynnika produkcji jest dodatnia:

f_K > 0, f_L > 0.

• Produkcyjność krańcowa czynnika jest malejąca:

f_KK < 0, f_LL < 0.

• Krańcowa produkcyjność jednego czynnika wzrasta w miarę zwiększania nakładów drugiego czynnika:

f_KL > 0, f_LK > 0.

12. Własności funkcji produkcji

• Funkcja f jest jednorodna:

f(lK,lL) = l^rf(K,L),

r = 1 - stałe korzyści skali,

r > 1 - rosnące korzyści skali,

r < 1 - malejące korzyści skali.

• Czynniki produkcji są wzajemnie zastępowalne:

KSS = dK/dL = - f_L/f_K - substytucja pracy przez kapitał.

13. Funkcja Cobba - Douglasa

• Wieloczynnikowa funkcja produkcji Cobba - Douglasa:

• Dwuczynnikowa funkcja produkcji Cobba - Douglasa:

Y = aK^bL^ce, a > 0, b > 0, c >0,

• produkcyjności krańcowe są dodatnie:

f_K = abK^{b - 1}L > 0, f_L = acK^bL^{c -1} > 0,

• produkcyjności krańcowe są malejące:

f_KK = ab(b - 1)K^{b -2}L^c < 0, f_LL = ac(c -1)K^bL^{c - 2} < 0,

• produkcyjność jednego czynnika rośnie przy zwiększaniu nakładów drugiego: f_KL = f_LK = abcK ^{b - 1} L ^{c - 1} > 0,

14. Dwuczynnikowa funkcja produkcji Cobba - Douglasa

• funkcja jest jednorodna stopnia b + c:

f(lK,lL) = l ^{b + c} f(K,L), 1 - alfa

• krańcowa stopa substytucji:

KSS = - c/b * K/L,

• efektywność produkcji względem nakładów czynników produkcji są stałe:

E_KY = b, E_LY = c.

---