Kolokwium wykładowe z kinematyki

1. (
) Wiedząc, że
i
oblicz wartości wyrażeń:

;

.

2. (
) Wiedząc, że
i
oblicz wartości wyrażeń:

;

.

3. Uprościć wyrażenie:
.

Odp.: Na podstawie tożsamości
wnioskujemy
.

4. Uprościć wyrażenie:
.

Odp.: Na podstawie tożsamości
wnioskujemy
.

5. Uprościć wyrażenie:
.

Odp.:
. Na podstawie antyprzemienności iloczynu mieszanego wnioskujemy, że
. Stąd wynika
.

6. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o rozkładzie przyspieszenia punktu na przyśpieszenie normalne i styczne.

Odp.:
gdzie
jest przyspieszeniem stycznym,
jest przyśpieszeniem normalnym,
jest jednostkowym wektorem stycznym,
jest krzywizną toru,
jest promieniem krzywizny toru,
jest jednostkowym wektorem normalnym.

7. Dane są równania płaskiego ruchu punktu materialnego:
gdzie
 i 
są stałymi. Wyznaczyć przyspieszenie normalne i styczne w chwili
.

Odp.:
,
.

Obliczenia: Na podstawie twierdzenia o rozkładzie przyspieszenia punktu na przyśpieszenie normalne i styczne obliczmy: a) Wektor prędkości punktu . b). Wektor przyśpieszenia . c). Długość wektora prędkości . d). Jednostkowy wektor styczny (w chwili ) . e). Jednostkowy wektor normalny

, bo w ruchu płaskim wystarczy obrócić
o -90^o aby otrzymać
.

f). Przyspieszenie styczne i normalne
;
.

8. Dane są równania płaskiego ruchu punktu materialnego:
gdzie
 i 
są stałymi. Wyznaczyć przyspieszenie normalne i styczne w chwili
.

Odp.:
;
.

Obliczenia: Na podstawie twierdzenia o rozkładzie przyspieszenia punktu na przyśpieszenie normalne i styczne obliczmy: a) Wektor prędkości punktu . b). Wektor przyśpieszenia . b). Długość wektora prędkości . c). Jednostkowy wektor styczny (w chwili ) . d). Jednostkowy wektor normalny , bo w ruchu płaskim wystarczy obrócić o -90^o aby otrzymać .

f). Przyspieszenie styczne i normalne
;
.

9. Dane są równania płaskiego ruchu punktu materialnego:
gdzie
i 
są stałymi. Wyznaczyć przyspieszenie normalne i styczne w chwili t=0.

Odp.:
;
.

Obliczenia: Na podstawie twierdzenia o rozkładzie przyspieszenia punktu na przyśpieszenie normalne i styczne obliczmy: a) Wektor prędkości punktu . b). Wektor przyśpieszenia (w chwili ) . b). Długość wektora prędkości .

c). Jednostkowy wektor styczny
.

d). Jednostkowy wektor normalny
, bo w ruchu płaskim wystarczy obrócić
o -90^o aby otrzymać
.

f). Przyspieszenie styczne i normalne
;
.

10. Dane są równania płaskiego ruchu punktu materialnego:
gdzie
i 
są stałymi. Wyznaczyć przyspieszenie normalne i styczne w chwili t=0.

Odp.:
;
.

Obliczenia: Na podstawie twierdzenia o rozkładzie przyspieszenia punktu na przyśpieszenie normalne i styczne obliczmy: a) Wektor prędkości punktu . b). Wektor przyśpieszenia (w chwili ) . b). Długość wektora prędkości . c). Jednostkowy wektor styczny .

d). Jednostkowy wektor normalny
, bo w ruchu płaskim wystarczy obrócić
o -90^o aby otrzymać
.

f). Przyspieszenie styczne i normalne
;
.

11. Koło o promieniu R toczy się ruchem płaskim po płaszczyźnie bez poślizgu. Wiadomo, że prędkość środka koła
jest stała. Wyznaczyć przyspieszenie punktu odległego o r od środka koła w swym najwyższym/najniższym/dowolnym położeniu.

Odp.:
.

Obliczenia. Z twierdzenia o prędkościach punktów bryły , bo . Zatem prędkość kątowa koła wynosi . Zatem przyśpieszenie kątowe koła wynosi . Z twierdzenia o przyśpieszeniach punktów bryły . Ale przyśpieszenie środka koła wynosi . Przyśpieszenie obrotowe również znika . Pozostaje jedynie przyśpieszenie dośrodkowe .

Uwaga! Jak to zwykle bywa w niniejszym zadaniu przyśpieszenie środka chwilowego obrotu jest niezerowe i wynosi
.

12. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o prędkościach i przyśpieszeniach punktów bryły w ruchu kulistym.

Odp.: W ruchu kulistym prędkość i przyśpieszenie punktu bryły o położeniu
względem środka ruchu wynoszą odpowiednio

,

gdzie
jest wektorem prędkości kątowej bryły, a
jest wektorem przyśpieszenia kątowego bryły?

13. Wiadomo, że bryła porusza się ruchem kulistym, a punkty A i B mają współrzędne odpowiednio [1,0,0] i [0,1,0] względem układu współrzędnych z zerem w środku ruchu kulistego. Wiadomo również, że składowe prędkości punktów A i B wynoszą odpowiednio [0,3,-2] i [-3,0,1] w tym samym układzie współrzędnych. Wyznaczyć składowe wektora prędkości kątowej bryły.

Odp.:
.

Obliczenia: Z twierdzenia o prędkościach punktów bryły w ruchu kulistym zastosowanego dla punktów A i B wynika

,

.

Stąd wnioskujemy, że
,
,
jest rozwiązaniem otrzymanego układu równań.

14. Wiadomo, że bryła porusza się ruchem kulistym, a punkty A i B mają współrzędne odpowiednio [1,0,0] i [0,1,0] względem układu współrzędnych z zerem w środku ruchu kulistego. Wiadomo również, że składowe prędkości punktów A i B wynoszą odpowiednio [0,1,-2] i [-1,0,3] w tym samym układzie współrzędnych. Wyznaczyć składowe wektora prędkości kątowej bryły.

Odp.:
.

Obliczenia: Z twierdzenia o prędkościach punktów bryły w ruchu kulistym zastosowanego dla punktów A i B wynika

,

.

Stąd wnioskujemy, że
,
,
jest rozwiązaniem otrzymanego układu równań.

15. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o prędkościach i przyśpieszeniach punktów bryły.

Odp.: Prędkość i przyśpieszenie punktu bryły o położeniu
względem innego punktu A bryły wynoszą odpowiednio

,

gdzie
jest wektorem prędkości kątowej bryły, a
jest wektorem przyśpieszenia kątowego bryły.

16. Wiadomo, że A, B i C o współrzędnych odpowiednio [0,0,0], [1,1,1] i [1,-1,-1] mają prędkości [1,0,0], [1,1,-1] i [1,1,-1] . Wyznaczyć składowe wektora prędkości kątowej bryły.

Odp.:
.

Obliczenia: Z twierdzenia o prędkościach punktów bryły wynika

;

.

Stąd wnioskujemy
.

17. Wiadomo, że A, B i C o współrzędnych odpowiednio [0,0,0], [1,1,1] i [1,-1,-1] mają prędkości [1,0,0], [2,-1,0] i [0,1,-2] . Wyznaczyć składowe wektora prędkości kątowej bryły.

Odp.:
.

Obliczenia: Z twierdzenia o prędkościach punktów bryły wynika

;

.

Stąd wnioskujemy
.

18. Wiadomo, że bryła porusza się ruchem obrotowym ze stałą prędkością kątową
. Obliczyć składowe wektorów prędkości i przyśpieszenia punktu bryły o współrzędnych
względem układu współrzędnych z zerem na osi obrotu.

Odp.:
,
.

Z twierdzenia o prędkościach punktów bryły w ruchu kulistym wynika, że prędkość rozpatrywanego punktu wynosi

Z twierdzenia o przyśpieszeniach punktów bryły w ruchu kulistym wynika, że przyśpieszenie rozpatrywanego punktu wynosi

bo
.

19. Wiadomo, że bryła porusza się ruchem obrotowym ze stałą prędkością kątową
. Obliczyć składowe wektorów prędkości i przyśpieszenia punktu bryły o współrzędnych
względem układu współrzędnych z zerem na osi obrotu.

Odp.:
,
.

Z twierdzenia o prędkościach punktów bryły w ruchu kulistym wynika, że prędkość rozpatrywanego punktu wynosi

Z twierdzenia o przyśpieszeniach punktów bryły w ruchu kulistym wynika, że przyśpieszenie rozpatrywanego punktu wynosi

bo
.

20. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o prędkościach w ruchu złożonym punktu.

Odp.: Jeżeli równania ruchu punktu materialnego przedstawić w postaci

gdzie
są współrzędnymi rozpatrywanego punktu względem zaczepionego w punkcie
ruchomego układu współrzędnych o wersorach

to prędkość bezwzględna punktu wynosi
gdzie

jest prędkością względną, a

jest prędkością unoszenia, natomiast
jest wektorem prędkości kątowej ruchomego układu współrzędnych.

21. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o przyśpieszeniach w ruchu złożonym punktu.

Odp.: Jeżeli równania ruchu punktu materialnego przedstawić w postaci

gdzie
są współrzędnymi rozpatrywanego punktu względem zaczepionego w punkcie
ruchomego układu współrzędnych o wersorach

to przyspieszenie bezwzględne punktu wynosi
gdzie

jest przyśpieszeniem względnym,

jest przyśpieszeniem unoszenia, a

jest przyspieszeniem Coriolisa natomiast
i
są wektorami prędkości i przyspieszenia kątowego ruchomego układu współrzędnych.

22. Rzeka płynie w kierunku północno wschodnim (azymut
) ze stałą co do wartości bezwzględnej prędkością względną
. Wyznaczyć prędkości i przyśpieszenia punktów rzeki o współrzędnych geograficznych
.

W obliczeniach uwzględnić ruch wirowy Ziemi ze stałą prędkością kątową
.

Odp.:
;
;
;

;
.

Obliczenia: a) Geograficzne składowe wektora prędkości względnej ; . b) Wektor prędkości względnej . c) Wektor położenia punktu . d) Wektor prędkości kątowej wirowania ziemi . e) Prędkość unoszenia . f) Obliczamy przyśpieszenie względne traktując wektor prędkości względnej jako funkcję złożoną . Wtedy gdzie oraz . Składową jako pochodną prędkości względnej odpowiadającą wirowaniu z prędkością kątową obliczamy ze wzoru Składową możemy obliczyć bezpośrednio, bo wiemy, że ; . g) Przyśpieszenie unoszenia . h) Przyśpieszenie Coriolisa .