4.06.2012 (WYKŁAD 7)

MODELOWANIE ZMIENNYCH JAKOŚCIOWYCH

Wybrane zagadnienia przy modelowaniu których stosowane są zmienne jakościowe:

1) Determinanty zatrudnienia bezrobotnych

2) modelowanie wyboru zawodu

3) czynniki determinujące decyzje konsumentów

4) kondycja finansowa przedsiębiorstw

5) identyfikacja zmiany trendu określonej zmiennej

Zmienne jakościowe w modelu mogą pełnić rolę zmiennych endogenicznych oraz zmiennych objaśniających.

W modelowaniu ekonometrycznym zmiennych jakościowych można wyróżnić dwa podstawowe podejścia:

Podejście 1:

Metody polegające na wyznaczaniu prawdopodobieństwa wystąpienia danej kategorii zmiennej jakościowej w zależności od określonych istotnych czynników.

Podejście 2:

Metody polegające na określeniu reguł postępowania mającego na celu przyporządkowanie obiektów do populacji odpowiadającej danej kategorii cechy/zmiennej.

Jakościowa zmienna endogeniczna reprezentowana jest przez sztuczną zmienną, która może:

- przyjmować przypisane jej wartości (zgodnie z przyjętą skalą pomiaru)

- stanowić zmienną o charakterze dychotomicznym czyli tzw. Zmienną zero - jedynkową

Do podstawowych modeli regresji, które wykorzystują zmienne zero - jedynkowe w roli zmiennych endogenicznych zalicza się:

- liniowy model prawdopodobieństwa, mający ścisły związek z funkcją dyskryminacyjną

Przykład zmiennej jakościowej przyjmującej różne wartości:

Przykład zmiennej dychotomicznej:

W przypadku, gdy zmienną endogeniczną modelu ekonometrycznego jest zmienna tzw. ukryta, czyli:

Zmienna ukryta - to taka zmienna, której wartości nie można bezpośrednio obserwować.

To stanowi podstawę do formułowania:

- modeli: logitowego

- oraz probitowego

UWAGA!!!

W ramach wykładu zostaną przedstawione modele, w których zmienna endogeniczna jest zmienną dychotomiczną.

MODELE Z DYCHOTOMICZNĄ ZMIENNĄ ENDOGENICZNĄ - WPROWADZENIE

Przypomnijmy, że Y oznacza zero - jedynkową zmienną losową:

O następującym rozkładzie prawdopodobieństwa:

gdzie:

Zakładając, że zmienna Y przyjmuje wartość 1 (wariant występuje) lub wartość 0 (wariant nie występuje) można zbudować model opisujący oczekiwane wartości zmiennej Y.

Wartość oczekiwaną zmiennej Y można zapisać jako:

Model przyjmuje następującą postać:

Poszczególne elementy modelu stanowią:

W modelu danym jako:

UWAGA !!!

Wartość oczekiwana zmiennej endogenicznej z definicji jest prawdopodobieństwem realizacji danego wariantu.

Wielkość prawdopodobieństwa p zależy od realizacji zmiennych objaśniających.

Model o postaci:

Teoretyczne wartości prawdopodobieństw po oszacowaniu modelu:

UWAGA !!!

W zależności od typu funkcji F można wyróżnić kilka rodzajów modeli.

LINIOWY MODEL PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Procedura szacowania parametrów modelu z wykorzystaniem MNK:

Krok 1:

Metoda MNK szacowana jest regresją dana jako:

Krok 2:

Obliczane są wagi dane jako:

Krok 3:

Szacowane jest MNK równanie regresji dane jako:

Wady modelu:

Wada 1:

Wartości wag danych formułą:

Mogą okazać się ujemne

Wada 2:

Składniki losowe nie mają rozkładu normalnego (danego w sposób oczywisty) pojawia się problem ze stosowaniem testów klasycznych istotności parametrów

Wada 3:

W wielu przypadkach wartość warunkowa:

Może się znaleźć poza przedziałem <0;1>

Liniowy model prawdopodobieństwa - wykres:

MODEL PROBITOWY

W modelu probitowym funkcja F jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego N(0;1).

Model dany jest jako:

Stąd wartości prawdopodobieństwa p są wartościami dystrybuanty
w punktach:

Normitem nazywamy wartość funkcji odwrotnej do
, czyli

W praktyce przyjęto wartość tę nazywać profitem wartość daną jako:

Nazwa profit pochodzi od angielskiego określenia Probabilisty Unit = PROBIT

Zatem profitem nazywać będziemy wielkość daną jako:

Dokonywanie przekształcenia probitowego umożliwia badanie zależności między wartościami profitu (Pr) - zmiennej endogenicznej a zmiennymi objaśniającymi.

Najczęściej wykorzystywana jest zależność liniowa dana w postaci modelu ekonometrycznego jako:

Po oszacowaniu parametrów modelu oraz zbadaniu dopasowania można przystąpić do budowy prognoz profitów.

Miary dopasowania zostaną omówione w dalszej części wykładu.

Szacowanie parametrów modelu probitowego:

- uogólniona metoda najmniejszych kwadratów [UMNK]

- metoda największej wiarygodności - przypadku małej liczby obserwacji

W celu estymacji parametrów prawdopodobieństwa p zastępujemy częstościami względnymi uzyskanymi na postawie próby.

W modelu logitowym zakłada się, że funkcja prawdopodobieństwa jest funkcją rozkładu logistycznego.

Model logitowym można zapisać następująco:

Logitem, czyli funkcją odwrotną do funkcji F nazywać będziemy wyrażenie o następującej postaci:

Przekształcenie L sprawdza zależność prawdopodobieństwa (zmiennej endogenicznej) p od zmiennych objaśniających do postaci liniowej.

Szacowanie parametrów modelu logitowego:

- uogólniona metoda najmniejszych kwadratów [UMNK]

- metoda największej wiarygodności - przypadku małej liczby obserwacji

W celu estymacji parametrów prawdopodobieństwa p zastępujemy częstościami względnymi uzyskanymi na postawie próby.

[to samo tylko `probitowy']

Wektor ocen parametrów strukturalnych dla modelu probitowego uzyskany UMNK dany jest jako:

gdzie:

- wektor ocen parametrów strukturalnych modelu

UMNK

Model probitowy

- macierz realizacji zmiennych objaśniających

- wektor zaobserwowanych wartości zmiennej endogenicznej

Wektor zaobserwowanych wartości zmiennej endogenicznej składa się z zaobserwowanych profitów równych:

p_i - jest częstością względną i-tej grupy

i = 1, ..., r, czyli

m_i - liczba obserwacji w i-tej grupie, dla których zmienna endogeniczna przyjmuje wartość 1, czyli Y = 1

n_i - liczba obserwacji w i-tej grupie

Macierz wagowa dana jest jako:

- macierz jest macierzą diagonalną, w której na głównej przekątnej znajdują się oszacowane wartości składników losowych, czyli:

dla i = 1, ..., r

gdzie:

- funkcja gęstości standaryzowanego rozkładu normalnego

Metody nieliniowe:

- metoda Raphsona - Newtona

- metoda Gaussa - Newtona

- metoda Marquandta

Przykład:

Su² = 1,3 Su = 1,14

Wartości teoretyczne probitów:

Wartości teoretyczne prawdopodobieństw:

R² = 0,95

Miary dopasowania:

Miara 1:

R² - współczynnik korelacji między realizacjami empirycznymi zmiennej endogenicznej i realizacjami teoretycznymi zmiennej endogenicznej

Miara 2:

R² Efrona bazuje na (...)

- resztowa suma kwadratów

Dla zero - jedynkowe zmiennej endogenicznej mamy:

stąd:

n - liczba wszystkich realizacji zmiennej endogenicznej y

m - liczba realizacji zmiennych endogenicznych przyjmujących wartości (...)

Miara 3:

Miary oparte na ilorazie wiarygodności

Pseudo R² R² McFaddena

Pseudo R^{2 =}

gdzie:

L_UR - maksimum funkcji wiarygodności

L_R - maksimum funkcji wiarygodności przy maksymalizacji z warunkiem
, wówczas:

Miara pseudo R² przyjmuje wartości z przedziału [0;1]

R² McFaddena dana jest:

R² McFaddena

Miara R² McFaddena przyjmuje wartości z przedziału [0,1].

Miara 4:

R² - rozważane jako proporcja trafnych i nietrafnych prognoz.

Zakładamy, że:

---