Naprężenia wycinkowe

1. Podstawowa teoria de Saint-Venanta skręcania prętów cienkościennych.

W konstrukcjach metalowych a także w konstrukcjach żelbetowych występują elementy o ściankach o małej grubości. Do konstrukcji takich nie może być stosowana teoria oparta na założeniu płaskich przekrojów. Przekroje prętów cienkościennych ulegają na ogół, nie tylko przy występowaniu momentów skręcających, spaczeniu (deplanacji) i to niejednokrotnie na całej długości pręta, co powoduje dodatkowe naprężenia. Naprężenia te w prętach o przekroju otwartym osiągają znaczne wartości w porównaniu z naprężeniami obliczanymi na podstawie założenia płaskich przekrojów. W prętach o przekroju zamkniętym wpływ tych dodatkowych naprężeń jest niewielki.

Do prętów cienkościennych nie może być stosowana zasada de Saint-Venanta, zgodnie z którą obciążenie przyłożone do końca pręta może być zastąpione przez statycznie równoważne. W prętach cienkościennych wpływ tego rodzaju zmiany obciążenia nie ogranicza się do bezpośredniego sąsiedztwa przekroju obciążonego, lecz może obejmować nawet całą długość pręta.

Teoria prętów cienkościennych o przekroju otwartym oparta jest na dwóch założeniach:

1. Przekroje poprzeczne nie ulegają odkształceniu w swoich płaszczyznach, tj. zachowują się tak jakby każdy przekrój miał przeponę nieodkształcalną w swojej płaszczyźnie, ale wiotką w kierunku tworzących, czyli nie hamującej deplanacji przekroju.

2. Pomija się odkształcenie postaciowe powierzchni środkowej, którego miarą jest zmiana kąta prostego między liniami współrzędnych x=constans i s=constans krzywoliniowego układu współrzędnych.

Gdzie:

x - przyjmuje tylko równoległą do tworzących środkowej powierzchni, albo w układzie krzywoliniowym, określa położenie przekroju;

s - oznacza odległość przesuwów k linii środkowej od pewnego punktu O_s

Układ krzywoliniowy S , X

Warunkiem dopuszczalności pierwszego założenia jest dostateczna grubość ścianek w pręcie, albo gęste rozmieszczenie przepon lub innych stężeń.

Założenie drugie jest w rzeczywistości spełnione tylko przy skręcaniu swobodnym, gdyż wówczas na linii środkowej naprężenia styczne są równe zero.

B. Równanie różniczkowe kąta obrotu przekroju

Biorąc pod uwagę, że moment czystego skręcania Mv można przedstawić z teorii skręcania swobodnego wzorem:

Na podstawie:

Gdzie M_v - moment czystego skręcania

M_w - moment giętno-skrętny

Oraz

Otrzymujemy

Różniczkując względem x :

Są to różniczkowe równania kąta obrotu przekroju przy nieswobodnym skręcaniu.

Moment M_k może zmieniać się w sposób dowolny wzdłuż pręta, (natomiast) M_k i jego pochodne wyznacza się z obciążeń zewnętrznych działających na pręt. Jeżeli rozpatrzymy przypadek, w którym pręt jest obciążony w sposób ciągły zewnętrznymi momentami reprezentującymi pary sił leżące w płaszczyźnie prostopadłych do osi pręta i oznaczymy przez m natężenie tych momentów. Z warunków równowagi otrzymamy:

Lub po uproszczeniu

Podstawiając do równań kąt obrotu

gdzie

k - nazywamy giętno-skrętnym współczynnikiem pręta cienkościennego

Całka ogólna równania ma postać:

Stałe całkowania można wyznaczyć z warunków dla skrajnych przekrojów pręta w rozpatrywanym przedziale. W przypadku gdy sztywność przy czystym skręcaniu pręta cienkościennego o przekroju otwartym jest bardzo mała, równanie można uprościć pomijając drugi wyraz

(k=0,bo GI=0)

3. Górne wycinkowe momenty bezwładności dla ceownika

Wycinkowy moment bezwładności Jw. Wyznacza się ze wzoru:

gdzie

S_c - długość całkowita przekroju mierzona wzdłuż linii środkowej ścianki

Obliczając ostatnią całkę dla ceownika otrzymujemy:

Biorąc pod uwagę wartość a₂ = bezwzględną wartość prawej strony równania:

Otrzymujemy

Wycinkowy moment statyczny S_W⁰ oblicza się ze wzoru:

Opracowanie wyników

1. Rysunek i wymiary badanej próbki

Obliczanie naprężeń normalnych, gdy:

I - siła przechodzi przez środek sił poprzecznych

II - siła nie przechodzi przez środek sił poprzecznych

III - naprężenia wycinkowe

Obliczamy ze wzoru

gdzie :

K_m - stała mostka tensometrycznego

K_t - stała użytych tensometrów

E - moduł Younga belki

E = 2,09 x 10⁵ MPa

A_i^P - odczyt z mostka dla i - tego obciążenia

A_o^P - odczyt z mostka przy zerowym obciążeniu

Schemat przyłożenia obciążeń:

Przyjmujemy:

K_m = 2,50

K_t = 2,55

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
I	5,123	4,303	3,278	3,483	1,639	-0,410	-2,664	-4,713	-4,713	-5,123	-5,942
II	-12,909	-0,205	12,089	13,728	6,352	-1,025	-8,401	-15,982	-12,909	-2,664	11,88
III	18,031	4,508	-8,811	-10,26	-4,713	0,615	5,737	11,270	8,196	-2,459	-17,83

Rysunek rozkładowy naprężeń dla stanu „I”:

Rysunek rozkładowy naprężeń dla stanu „II”:

Rysunek rozkładowy naprężeń dla stanu „III”:

Wyznaczanie przybliżonego miejsca przyłożenia siły:

Dla przypadku maksymalnego, naprężenia normalne od zginania są równe maksymalnym wycinkowym naprężeniom normalnym.

Ostatecznie współrzędne wynoszą:

x' = 17 - 11 = 6mm

x' - miejsce przyłożenia dla przypadku gdy naprężenia normalne od zginania są równe maksymalnym naprężeniom normalnym.

---