Do wykładu 4.

Dodatkowe uzupełnienie matematyczne oraz wnioski

Koniecznie przeanalizuj wnioski

Układy nieinercjalne- wyprowadzenie związków dla sił pozornych.

Opis ruchu w układzie nieinercjalnym - Przyspieszenie w układzie nieinercjalnym, siły pozorne - przypadek układu obracającego się oraz poruszającego z przyspieszeniem względem układu inercjalnego.

UWAGA:

Jest to dosyć szczegółowe obliczenie, w którym otrzymujemy w wyniku odpowiedź na pytanie co to są siły pozorne i z czego wynika ich powstawanie. Proszę w związku z tym o uważne zapoznanie się z wnioskami płynącymi z tych obliczeń, aby zrozumieć wyniki obliczeń i ich skutki.

Proszę nie uczyć się wyprowadzenia na pamięć !!

Rysunek przedstawia położenie cząstki m w pewnej wybranej chwili t. Opis położenia cząstki w układzie inercjalnym XOY jest możliwy za pomocą wektora r (patrz oznaczenia poniżej) lub w układzie nieinercjalnym X'O'Y', który może poruszać się z przyspieszeniem liniowym i wirować za pomocą wektora r^' (patrz oznaczenia poniżej). Dla uproszczenia rachunków przyjęliśmy, że ruch jest płaski, a więc obrót układu X'O'Y' odbywa się w płaszczyźnie XOY.

Przyjęte oznaczenia:

r - wektor wodzący cząstki opisujący jej położenie w układzie inercjalnym (zewnętrznym), XOY

r^'- wektor wodzący cząstki opisujący jej położenie w układzie nieinercjalnym

r₀ - wektor łączący początki obu układów od punktu O w układzie inercjalnym XOY do punktu O' w układzie nieinercjalnym X'O'Y', który może poruszać się z przyspieszeniem liniowym i wirować

W każdym momencie, a więc i w chwili t zachodzi związek wektorowy:

r = r^' + r_o

Zgodnie z definicją wektora prędkości v cząstki m w układzie XOY:

Grupując odpowiednio wyrażenia otrzymamy:

• w pierwszym nawiasie - prędkość cząstki mierzoną w układzie X'O'Y' czyli v ^/

• w drugim nawisie - efekt obrotu układu X'O'Y'

• 
  
  pochodna wektora r₀ jest prędkość liniową początku układu X'O'Y' względem punktu O

Ponieważ układ X'O'Y' wiruje to pochodna wersora osi 'O'X '

i ^' nie znika i musimy ją obliczyć.

Na rysunku obok naszkicowane jest położenie wersora i ^' układu wirującego w chwili t oraz bardzo blisko po niej następującej chwili t+dt. Po obrocie w czasie dt o granicznie mały kąt d długość łuku, który zakreślił wersor jest równa d , ponieważ długość tego wersora wynosi 1. W przypadku dowolnie małego czasu dt długość łuku i cięciwy są sobie równe, mamy stąd wielkość przemieszczenia wersora i^' układu wirującego oraz długość wektora


(patrz na podpisy pod rysunkiem). Potrzeba nam jeszcze informacji o jego kierunku.

W tym celu pokażę, że wektor równy pochodnej po czasie obracającego się dowolnego wektora A o stałej długości, czyli
jest do wektora A prostopadłe.

Obliczmy iloczyn skalarny:
= A². Jest to pewna stała w czasie wartość. Wynika stąd, że jej pochodna po czasie musi być zerem. Z drugiej strony można formalnie policzyć pochodną iloczynu dwóch funkcji czasu A oraz A:

Ponieważ wektor A miał stałą długość, to:

.

Porównując prawe strony tych przekształceń otrzymamy w wyniku:

Ponieważ wektor A nie był wektorem zerowym (miał różną od zera długość), oraz jego pochodna
to te wektory są do siebie prostopadłe. Ta sama zależność ma miejsce dla wektorów o długości jednostkowej - wersorów. Stąd wynika zależność:

czyli pochodna (wersora osi 'O'X ' ) i ^' ma kierunek wersora osi O'Y', czyli kierunek j' .

Podobne rozumowanie dla wersora osi O'Y' prowadzi do wyniku:

W oparciu o analizę ruchu obrotowego wersorów (patrz ruch obrotowy - omówienie na wykładzie związku: v=

, gdzie r jest wektorem obracającym się o stałej długości) możemy znaleźć następujące zależności:

(ponieważ wersory te są to to też wektory obracające się o stałej długości).

Powracając do wzoru:

otrzymamy po zastosowaniu związków dla pochodnych wersorów:

Oznaczmy przez:
,

gdzie symbolem
oznaczona jest prędkość cząstki m w układzie X'O'Y'.

Zauważmy również, że: r' = x' i' + y' j'. Możemy napisać więc następujący związek dla prędkości v.

Przypomnijmy, że na początku tego rozumowania obliczaliśmy:

Widać więc, że otrzymaliśmy związek pochodnej wektora r' obliczanej w układzie XOY, czyli
z pochodną tego wektora liczoną w układzie X'O'Y' oznaczoną jako
.

Zależność tę można zapisać teraz tak:

Przedstawiona w ramce zależność jest słuszna dla dowolnej wielkości wektorowej, ponieważ nie wykorzystaliśmy nigdzie w powyższym rozumowaniu faktu, że jest to właśnie transformacja położenia. Formalnie można więc zastąpić we wzorze w ramce wektor położenia wektorem prędkości v':

Otrzymaliśmy związek, który pokazuje jak transformuje się pochodna wektora przy przejściu z układu XOY do układu X'O'Y'.

Możemy teraz podać związek prędkości punktu m w obu układach:

Napiszmy ten związek jeszcze raz:

Ponownie należy podkreślić, że jest to związek słuszny w dowolnej chwili t, a więc zawsze.

Można wprowadzić pojęcie prędkości unoszenia układu:

, wtedy

.

Obliczenie przyspieszenia:

W układzie XOY mamy związek:

. Korzystając ze związku na transformację wektora prędkości:
i obliczając pochodną iloczynu wektorowego
otrzymamy:

Ponieważ wiemy, że:

to

.

Uwzględniając:

związek dla przyspieszenia cząstki m widzianego przez obserwatora w układzie X'O'Y':

Przyspieszenie układu X'O'Y' względem układu XOY:

Przyspieszenie kątowe układu wirującego X'O'Y':

Zależność podwójnego iloczynu wektorowego (bez dowodu):

Otrzymamy:

Chcemy znaleźć przyspieszenie w układzie X'O'Y', tak więc przekształcamy nasz wynik:

Mnożąc wyrażenie przez masę cząstki uzyskujemy wyrażenie na siły działającą na cząstkę w obu układach odniesienia:

Widać, że obok zwykłej siły równej ma znanej z układu inercjalnego otrzymaliśmy cztery nowe siły zwane pozornymi, bo wynikają one z wyboru układu współrzędnych, nie zaś z fundamentalnych oddziaływań w przyrodzie (patrz wykład 4 wstęp o czterech podstawowych oddziaływaniach w przyrodzie).

WNIOSKI wynikające z przedstawionych wyprowadzeń.

To właśnie proszę uważnie przeczytać, a przykłady będą przedstawione na kolejnym wykładzie

Cztery siły pozorne, które pojawiają się w ostatnim równaniu to:

• siła bezwładności ruchu postępowego: F_b = m(-a₀) . Występuje ona zawsze gdy układ odniesienia porusza się ruchem postępowym z przyspieszeniem a₀ względem inercjalnego układu odniesienia

• siła odśrodkowa bezwładności: F_od = m² r. Do jej pojawienia się konieczny jest układ odniesienia, który obraca się względem inercjalnego układu odniesienia z prędkością kątową 

• siła bezwładności ruchu obrotowego: F_{b obr} = m (-
  ). Tu niezbędne jest aby układ odniesienia obracał się względem inercjalnego układu odniesienia ze zmienną w czasie prędkością kątową  Wtedy przyspieszenie kątowe  jest niezerowe i występuje pozorna siła styczna do toru w ruchu obrotowym.

• siła Coriolisa: F_C =
  . Aby można ją było zaobserwować cząstka musi poruszać się z niezerową prędkością w nieinercjalnym układzie odniesienia, który obraca się względem inercjalnego układu odniesienia z prędkością kątową  a ponadto wektor prędkości cząstki nie jest równoległy do osi obrotu układu odniesienia

Na wykładzie przedstawię przykłady obserwacji ruchu cząstki z dwóch punktów widzenia - ruch jej względem obserwatora (układu) inercjalnego i ruch z punktu widzenia obserwatora (układu) nieinercjalnego.