Zmienne losowe

Dla określenia zmiennej losowej potrzebna jest znajomość tzw. trójki probabilistycznej. Załóżmy, że dana jest przestrzeń probabilistyczna (E, S, P).

Zmienną losową X nazywamy funkcję rzeczywistą określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych E i mierzalną względem ciała zdarzeń S:

,

która każdemu zdarzeniu elementarnemu e∈E przyporządkowuje liczbę rzeczywistą X(e)∈R

Jest zmienną, która w wyniku doświadczenia (losowego) przyjmuje jedną i tylko jedną wartość ze zbioru wszystkich wartości, jakie zmienna ta może przyjąć.

Jest to wielkość, która na skutek przeprowadzonego doświadczenia przyjmuje określoną wartość, znaną dopiero po wykonaniu tego doświadczenia (oznaczenie: X, Y, wartości, jakie przyjmuje: x, y).

Wzajemne przyporządkowanie zmiennych losowych i zdarzeń jest jednoznaczne,

Rodzaje zmiennych losowych:

• skokowa (dyskretna) - jest to zmienna, która posiada skończony lub policzalny zbiór wartości, najczęściej są to liczby naturalne (np. liczba oczek wyrzucona za pomocą kostki do gry),

• ciągła - jest to zmienna, która może przybierać dowolne wartości liczbowe (rzeczywiste) z pewnego przedziału, nieskończonego i niepoliczalnego (np. stężenie procentowe roztworu).

Zmienna losowa skokowa

Dla zmiennej losowej skokowej X, która przybiera wartości: x₁, x₂, ..., x_n i odpowiadającym i prawdopodobieństwom p₁, p₂, ..., p_n, definiuje się funkcję rozkładu prawdopodobieństwa jako:

Dystrybuantą zmienne losowej X nazywany funkcję F(x) zmiennej rzeczywistej x, która wyznacza prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa X przyjmie w uporządkowanym zbiorze x₁ ≤ x₂ ... ≤ x_i ≤ ...x_n-1≤ x_n wartość mniejszą od x:

Dla zmiennej losowej skokowej:

Własności dystrybuanty:

• przyjmuje wartości z przedziału 0 ≤ F(x) ≤ 1 dla x ∈ (-∞;+∞);

• jest funkcją niemalejącą, tzn. dla x₁ < x₂ zawsze F(x₁) ≤ F(x₂);

• jest funkcją lewostronnie ciągłą;

• 
  oraz
  .

Przykład 1

Rzucamy trzykrotnie monetą. Zmienną losową oznaczamy liczbę uzyskanych orłów. Przestrzeń zdarzeń elementarnych E = {(RRR), (ROR), (RRO), (ORR), (OOO), (ROO), (OOR), (ORO)}

i	Wartość zmiennej losowej xi	P(X = xi)	Prawdopodobieństwo pi
1	0	P(X = 0)	1/8
2	1	P(X = 1)	3/8
3	2	P(X = 2)	3/8
4	3	P(X = 3)	1/8

Dystrybuanta zmiennej losowej:

P(X = 2) = 3/8 P(X > 2) = P(X > 3) - P(X ≤ 3) = 1 - 7/8 = 1/8

P(X ≤ 2) = 4/8 P(X ≥ 2) = P(X > 3) - P(X ≤ 2) = 1 - 4/8 = 6/8

P(X < 2) = 1/8

Parametry zmiennej losowej lub parametry rozkładu zmiennej losowej są to liczby charakteryzujące wartości, jakie może przybierać zmienna losowa.

Wartość oczekiwana (przeciętna) E(x) - jest to wartość, wokół której skupiają się realizacje zmiennej losowej uzyskiwane w wyniku wielokrotnego powtarzania eksperymentu.

Wartość oczekiwana zmiennej losowej skokowej:

- gdy zmienna X przyjmuje n wartości,

- gdy zmienna X przyjmuje przeliczalnie wiele wartości.

Właściwości:

• wartość oczekiwana stałej równa się tej stałej:

E(C) = C;

• wartość oczekiwana dwóch zmiennych losowych X i Y równa się sumie wartości oczekiwanych tych zmiennych:

E(X+Y) = E(X) + E(Y);

• jeżeli dwie zmienne X i Y są niezależne, to wartość oczekiwana iloczynu zmiennych jest równa iloczynowi wartości oczekiwanych tych zmiennych:

E(XY) = E(X)⋅E(Y)

• wynika stąd również zależność:

E(CX) = E(C)⋅E(X) = CE(X)

• Wariancja zmienne losowej V(X) - miara rozproszenia wartości zmiennej wokół średniej, jest to wartość oczekiwana kwadratu różnicy tej zmiennej i wartości oczekiwanej E(X):

Wariancja zmiennej losowej skokowej:

Własności wariancji:

• wariancja stałej równa się zeru:

V(C) = 0;

• wariancja iloczynu stałej i zmiennej losowej:

V(CX) = C²V(X);

• jeżeli dwie zmienne X i Y są niezależne, to wariancja sumy (różnicy) tych zmiennych jest równa:

V(X ± Y) = V(X) + V(Y).

Odchylenie standardowe ၳ zmiennej losowej:

Współczynnik zmienności v_ၳ:

Współczynnik skośności A_ၳ:

Medianą Me zmiennej losowej X - nazywamy wartość x, która spełnia układ równań:

Modalną Mo zmiennej losowej X - nazywamy wartość x, której odpowiada największe prawdopodobieństwo realizacji.

Przykład 2

Rzucamy trzykrotnie monetą. Zmienną losową oznaczamy liczbę uzyskanych orłów. Przestrzeń zdarzeń elementarnych E = {(RRR), (ROR), (RRO), (ORR), (OOO), (ROO), (OOR), (ORO)}. Rozkład prawdopodobieństwa:

xi	0	1	2	3
pi	1/8	3/8	3/8	1/8

E(X) = 0⋅1/8 + 1⋅3/8 + 2⋅3/8 + 3⋅1/8 = 12/8 = 1,5

V(X) = (0 - 1,5)²⋅1/8 + (1 - 1,5)²⋅3/8 + (2 - 1,5)²⋅3/8 + (3 - 1,5)²⋅1/8 = 0,75

Zmienna losowa ciągła

Dla zmiennej losowej ciągłej nie jest możliwe przypisanie wszystkim jej wartościom dodatnich prawdopodobieństw sumujących się do jedności. Można jednak przyporządkować prawdopodobieństwa przedziałom liczbowym:

P(x < X < x+Δx)

gdzie Δx jest długością przedziału o początku w x.

Jeżeli Δx → 0 oraz istnieje granica funkcji f(x) w postaci:

to granicę tę nazywamy funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.

Prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa przyjmuje wartość z przedziału (a, b) - skończonego lub nieskończonego - jest całką funkcji gęstości prawdopodobieństwa w tym przedziale:

Jeżeli zmienna losowa X przybiera wartości z przedziału skończonego (a, b) lub nieskończonego (-∞, +∞) to funkcja f(x) musi spełniać warunek:

Prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa ciągła X przyjmie dokładnie wartość a (gdzie a jest dowolną stałą) jest równe zeru:

Nie oznacza to, że zdarzenie x = a jest niemożliwe, jest tylko bardzo mało prawdopodobne, ponadto, prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa X przyjmie wartość inną niż x = a jest równe jedności, co nie świadczy o tym, że jest ono pewne, jest tylko wysoce prawdopodobne.

Dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej F(x)=P(X<x) - jest definiowana podobnie jak dla zmiennej losowej skokowej, z tym, że suma jest zastąpiona całką:

gdzie f(x) jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej X, stąd:

Dla zmiennej losowej X przyjmującej wartości z przedziału (a, b):

Ponadto:

Wartość oczekiwana zmiennej losowej ciągłej:

Wariancja zmiennej losowej ciągłej:

Medianą Me zmiennej losowej ciągłej - jest to wartość, dla której spełniona jest równość:

Modalną Mo zmiennej losowej ciągłej - jest to wartość, dla której funkcja gęstości f(x) osiąga maksimum.

Przykład 3

Dana jest funkcja:

Sprawdzić, czy jest to funkcja gęstości zmiennej losowej X.

warunek 1:
- funkcja w całym zakresie jest nieujemna.

warunek 2:
- aby był spełniony ten warunek musi zachodzić:

ponieważ w przedziale (-∞;0] i [1;+∞) funkcja gęstości jest równa zero.

Obydwa warunki są spełnione, więc funkcja f(x) jest funkcją gęstości zmiennej losowej X.

Dla x ≤ 0 dystrybuanta zmiennej losowej X równa się zero, dla dowolnego x z przedziału [0, 1] dystrybuanta wyraża się następująco:

stąd

P(X = 0,5)	0
P(0 < X < 0,1)		F(0,1) - F(0) = 0,01
P(X < 0,5)		F(0,5) = 0,25
P(X > 0,6)		1 - F(0,6) = 1 - 0,36 = = 0,64

Mediana:
stąd
czyli Me = 0,71

Oznacza to, że zmienna losowa X przyjmuje wartości mniejsze od 0,71 z prawdopodobieństwem 0,5.

Drugi parametr pozycyjny, modalna nie istnieje, gdyż funkcja f(x) nie ma maksimum.

Rozkłady zmiennej losowej skokowej

Rozkład zero-jedynkowy (dwupunktowy)

Zmienna losowa X przyjmuje dwie wartości

x₁ = 1 i x₂ = 0

z prawdopodobieństwem

P(X=x₁=1) = p i P(X=x₂=0) = q

Rozkład zero-jedynkowy:

gdzie k=x₁=1 lub k=x₂=0 oraz 0<p<1 i q=1 - p.

Stąd

Dystrybuanta

Wartość oczekiwana

Wariancja

Rozkład dwumianowy

Określa prawdopodobieństwo, tego że realizując n doświadczeń osiągniemy k sukcesów (k ≤ n).

Rozkład dwumianowy:

gdzie
jest kombinacją:

oraz k = 0, 1, 2, ..., n i p + q =1

Dystrybuanta:

Wartość oczekiwana:

Wariancja:

Zmienna losowa o rozkładzie dwumianowym opisuje eksperyment noszący nazwę prób Bernoulliego - dlatego rozkład ten nazywany jest rozkładem Bernoulliego.

Eksperyment polega na przeprowadzeniu n (n ≥ 2)niezależnych doświadczeń, wynikiem może być tylko jedno z dwóch możliwych stanów: sukces lub porażka.

Uwagi:

• prawdopodobieństwo stanu, który został uznany za sukces jest takie samo w kolejnych doświadczeniach (p), prawdopodobieństwo niepowodzenia q łączy się z p zależnością: p + q = 1;

• doświadczenia są niezależne, tzn. wynik poprzedniego nie wpływa na wynik następnego.

• funkcja rozkładu zależy od dwóch parametrów: liczby doświadczeń n i prawdopodobieństwa sukcesu p;

• dla p = q = 1/2 rozkład dwumianowy jest symetryczny, dla p ≠ q rozkład jest asymetryczny, jeżeli p < 1/2 - prawostronnie asymetryczny, dla p > 1/2 - lewostronnie asymetryczny.

Przykład 4

Eksperyment polega na pięciokrotnym rzucie monetą. Zmienna losowa przybiera wartości: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Możliwe są dwa wzajemnie wykluczające się wyniki: wypadł orzeł (sukces), wypadła reszka (niepowodzenie), prawdopodobieństwo wyrzucenia orła równe 1/2 nie zmienia się, a wynik danego doświadczenia nie wpływa na wynik następnego - schemat Bernoulliego.

Prawdopodobieństwa poszczególnych wartości i dystrybuanta:

P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = 6/32 lub P(X < 2) = F(2) = 6/32

P(X ≥ 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - F(3) = 1 - 16/32 = 16/32

Funkcje standardowe programu Excel związane z rozkładem dwumianowym

Rozkład Poissona

Jeżeli prawdopodobieństwo zmiennej losowej X jest opisane rozkładem dwumianowym oraz przyjmuje wartości: k = 0, 1, 2, 3, ..., czyli n → ∞, to p przyjmuje takie wartości, że iloczyn n⋅p jest wartością stałą równą m (n⋅p = m; m > 0).

Rozkład Poissona:

Dystrybuanta:

Wartość oczekiwana:

Wariancja:

Rozkład Poissona jest szczególnym przypadkiem rozkładu dwumianowego, zachodzącym wtedy, gdy prawdopodobieństwo p sukcesu jest małe, a liczba realizacji n na tyle duża, że np = m.

Rozkład Poissona stosuje się jako przybliżenie rozkładu dwumianowego, gdy:

• prawdopodobieństwo sukcesu jest mniejsze niż 0,2;

• liczba doświadczeń jest równa co najmniej 20.

Przykład 5

Stwierdzono w pewnym wydawnictwie, że ich zecerzy popełniają średnio 1,5 błędu na jednej stronie. Obliczyć prawdopodobieństwa wystąpienia od 0 do 10 błędów na jednej stronie.

Funkcja standardowa programu Excel związana z rozkładem Poissona

1/8

3/8

p_i

x_i

0

1

2

3

2/8

4/8

p_i

x_i

6/8

1

0

1

2

3

4

1

1

F(x)

x

0,1

F(0,1)

1

2

f(x)

x

0,1