Podstawy analizy danych eksperymentalnych
LITERATURA
Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, OSO Switzerland, 1995.
Szczepański W., Kotulski Y. Rachunek błędów. - Warszawa: WN PWN, 1998.
Jaworski B. M., Dietłaf A. A. Fizyka. Poradnik encyklopedyczny. - Warszawa: WN PWN, 1998.
Bronsztejn I. N., Siemienddiajew K. A. Matematyka. Poradnik encyklopedyczny. - Warszawa: WN PWN, 1998.
Wyrażanie niepewności pomiaru. - Warszawa: Główny Urząd Miar, 1999.
Szydłowski H. Pracownia fizyczna. - Warszawa: WN PWN, 1999.
Szydłowski H. Niepewności w pomiarach. - Poznań: WN UAM, 2001.
Kotulski Z., Szczepiński W. Rachunek błędów dla inżynierów. - Warszawa: WNT, 2004.
Korczyński M. Metodyka eksperymentu. - Warszawa: WNT, 2006.
McQuarrie D. A. Matematyka dla przyrodników i inżynierów. Tom 3. - Warszawa: WN PWN, 1998.
TERMINOLOGIA
Pomiarem nazywamy czynności prowadzące do ustalenia wartości wielkości mierzonej.
Pomiarem bezpośrednim nazywamy pomiar wykonany z wykorzystaniem jednego przyrządu pomiarowego.
Pomiarem pośrednim (złożonym) lub wyznaczaniem wielkości nazywamy określenie wielkości poszukiwanej na podstawie wzoru (zależności fizycznej), np. 
, w którym w jakości niezależnych zmiennych występują wielkości, np. 
i 
, mierzone bezpośrednio.
Pomiarem pośrednim (złożonym) nieskorelowanym nazywamy pomiar pośredni, w którym wielkości mierzone bezpośrednio są określane w różnych doświadczeniach.
Pomiarem pośrednim (złożonym) skorelowanym nazywamy pomiar pośredni, w którym wielkości mierzone bezpośrednio są określane w jednym doświadczeniu. Doświadczenia tę mogą być powtarzane wielokrotnie, np. dla określenia 
otrzymamy ciąg par wielkości 
, 
, gdzie 
jest liczbą eksperymentów.
Dobrą ilustracją pomiarów pośrednich (złożonych) skorelowanych są pomiary w obwodach elektrycznych.
Wynikiem pomiaru wielkości mierzonej 
nazywamy wartość (estymator) 
przypisywaną tej wielkości na podstawie eksperymentów. Jest to przybliżenie wartości rzeczywistej, wtedy jak wartość prawdziwa uważa się nie osiąganą na drodze pomiarowej.
Dokładnością pomiaru nazywamy zgodność wyniku pomiaru z wartością rzeczywistą, pojęcie zgodności jest zależne od celą badań.
Powtarzalnością wyników pomiarów nazywamy zgodność ciągu kolejnych wyników pomiarów tej samej wielkości w tych samych warunkach pomiarowych. W zależności od sytuacji określa się warunki powtarzalności.
powtarzalność - stopień zgodności wyników kolejnych pomiarów tej samej wielkości, wykonanych przez tego samego obserwatora, w tych samych warunkach, przy użyciu tych samych narzędzi i metod pomiarowych.
Odtwarzalnością wyników pomiarów nazywamy zgodność ciągu kolejnych wyników pomiarów tej samej wielkości w różnych warunkach pomiarowych. W zależności od sytuacji określa się warunki odtwarzalności lub czynniki nieistotne.
odtwarzalność - stopień zgodności wyników kolejnych pomiarów tej samej wielkości, wykonanych przez różnych obserwatorów, przy użyciu różnych metod pomiarowych, w długich odstępach czasowych.
Niepewności pomiarowe
Nazwa, źródło |
Objawy |
Przyczyny |
Niepewność przypadkowa. Natura zjawiska |
Rozrzut wyników pomiarów wykonanych na elementach jednorodnego zbioru |
Statystyczny charakter zjawiska fizycznego. Brak identyczności elementów zbioru |
Niepewność przypadkowa. Określenie obiektu. |
Rozrzut wyników kolejnych pomiarów tego samego obiektu |
Niezgodność obiektu z przyjętym dla niego modelem |
Niepewność przypadkowa. Czynniki nieistotne
|
Rozrzut wyników pomiarów wykonywanych w różnym czasie, miejscu, przez różne osoby, różnymi przyrządami pomiarowymi... |
Zmienność czynników uznanych za nieistotne. Zmienność reakcji zmysłów |
Niepewność wzorcowania. Stosowane przyrządy lub wzorce. |
Występuje zawsze. Dominuje, gdy nie ma rozrzutu wyników. |
Niepewność pomiarowa stosowanych mierników. Niepewność wzorców stanowiących odniesienie |
Niepewność eksperymentatora. Trudności odczytu. |
Niepewność poprawności wyniku pomiaru |
Zmienia się wskazanie, błąd w układzie pomiarowym |
Niepewność wielkości z literatury |
Brak objawów (występuje tylko w pomiarach pośrednich). |
Niepewność pomiarowa wielkości z literatury lub innego źródła. |
Niepewnością pomiarową nazywamy pewien parametr charakteryzujący rozrzut wyników pomiaru wielkości mierzalnej.
Obliczanie niepewności metodą typu A jest to określenie miary niepewności na podstawie analizy statystycznej serii wyników. Przy tym wykorzystuje się powstałe w rzeczywistości częstości poszczególnych wyników.
Obliczanie niepewności metodą typu B jest to określenie miary niepewności na podstawie analizy statystycznej z wykorzystaniem częstości poszczególnych wyników lub innych hipotez sformułowanych przez badacza.
ZMIENNA LOSOWA
Próbą nazywamy skończony ciąg wyników 
pomiarów wielkości fizycznej 
. Mówi się, że zbiór 
należę do populacji - zbioru wszystkich możliwych wartości, które możemy otrzymać w pomiarze.
Ze względu na wartość liczby 
rozróżniamy próbę:
bardzo małe (
),
małe (
),
duże (
)
bardzo duże (
).
Histogram jest to ilustracja graficzna wyników pomiarów eksperymentalnych wielkości fizycznej 
zbudowana w następujący sposób. Zakres możliwych do uzyskania wyników pomiarów podzielony jest na 
małych przedziałów, zwykłe o jednakowej długości (pozioma oś 
). Nad każdym przedziałem, np. w postaci słupka odpowiedniej długości, określa się liczba 
pomiarów, w których uzyskano wartość badanej wielkości 
(częstości tego wyniku).
1. Miary położenia wyników w tendencji centralnej.
Wartość średnia (arytmetyczna) próby definiuje się wzorem
. (1.1)
Z wykorzystaniem danych, na których oparty jest histogram, wartość średnia (arytmetyczna) próby może być zapisana w postaci często stosowanej w praktyce
lub 
, (1.2)
gdzie 
jest liczbą różnych według histogramu wyników pomiaru 
oraz 
.
Należę podkreślić, że wynik obliczeń na podstawie wzoru (1.2) może istotnie zależeć od liczby 
, który wykorzystany dla określenia histogramu.
Wartość średnia (geometryczna) próby definiuje się wzorem
. (1.3)
Wartość średnia (geometryczna) próby często stosuje się, np. w fizyce, dla określenia średniej prędkości zmian zjawisk.
Wartość średnia (harmoniczna) próby definiuje się wzorem
. (1.4)
Wartość średnia (harmoniczna) próby stosuje się w tych przypadkach, kiedy wartości zmiennej podane w jednostkach względnych, np. 
, 
itp., a ich wagi w jednostkach licznika tych jednostek względnych.
Przykład. Mamy stanowisko z sześciu linij, który produkują tabletki jak to podano w poniższej tablice. Jaka średnia wydajność stanowiska?
Linia |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Liczba wyprodukowanych sztuk |
2000 |
2000 |
2000 |
2000 |
2000 |
2000 |
Czas produkcji (min) |
20 |
25 |
20 |
20 |
25 |
10 |
Średnia wydajność linii (szt./min) |
100 |
80 |
100 |
100 |
80 |
200 |
Wartość średnia (harmoniczna)
Wartość średnia (arytmetyczna)
Można sprawdzić, że ostatni wynik jest błędny, dzieląc łączną liczbę tabletek
przez łączny czas
,
otrzymamy wynik 
.
Mediana (wartość środkowa) próby jest to wartość pomiaru środkowego w ciągu uporządkowanych wyników pomiaru taka, że prawdopodobieństwo wystąpienia wyników mniejszych i wyników większych jest równa 
. Dla parzystej liczby pomiarów 
mamy
(1.5)
wówczas dla nieparzystej liczby
. (1.6)
Wykorzystanie mediany jest wskazane, kiedy rozkład (histogram) wykazuje silną asymetrię.
Moda (dominanta) jest najczęściej obserwowany wynik pomiarów (
).
2. Miary rozrzutu.
Rozstęp (rozrzut wyników) próby określa się wzorem
, (1.7)
gdzie 
i 
są największą i najmniejszą wartością zmiennej losowej w próbce.
Rozstęp (rozrzut wyników) próby jest najprostszą miarą rozproszenia wyników pomiarów.
Odchylenie standardowe próby definiowane wyrażeniem
(1.8)
oraz wariancja dla próby
. (1.9)
Wówczas odchylenie standardowe dla populacji definiowane wyrażeniem
(1.10)
oraz wariancja dla populacji
. (1.11)
Podkreślimy, że pojęcie populacja określa się jako zbiór wszystkich dopuszczalnych rezultatów pomiarów, wtedy jak próba jest konkretną realizacją 
pomiarów (
).
W praktyce wzór (1.8) stosuje się dla bardzo małej i małej próby, wówczas (1.10) - dla bardzo dużej próby.
Definicja. Mówimy, że miarą niepewności wyniku 
jest odchylenie standardowe 
.
Współczynnik zmienności (Pearsona) próby oznaczamy wzorem
, 
. (1.12)
Współczynnik zmienności (Pearsona) stosowany jest wtedy, kiedy w badaniach eksperymentalnych stosowane są różne jednostki pomiarowe lub należę porównywać wielkości o istotnie różnych wartościach średnich.
Z-nota próby ma postać
. (1.13)
Z-nota próby jest ważną względną charakterystyką rozproszenia (niepewności) pomiarów.
Odchylenie standardowe średniej określamy wzorem
. (1.14)
Łatwo zauważyć, że zachodzi związek
. (1.15)
Definicja. Niepewnością średniej wyników 
nazywamy odchylenie standardowe średniej 
oraz według [1] niepewnością standartową
. (1.16)
3. Miary zniekształcenia rozkładów.
W praktyce szeroko stosuje się dwie podstawowe wielkości dla porównania miary zniekształcenia rozkładów
Asymetrię rozkładu dla próbki charakteryzujemy przez parametr
. (1.17)
oraz spłaszczenie rozkładu określamy wyrażeniem
. (1.18)
4. Ocena niepewności metodą typu B.
Jeśli wyniki pomiarów nie wykazują rozrzutu statystycznego, tzn. z przyjętą dokładnością 
, to niepewność standardowa musi być określona w inny sposób.
Niepewnością wzorcowania nazywamy niepewność związaną z dokładnością „wzorca” stosowanego w pomiarach.
Załóżmy, że wynik pomiaru 
, a niepewność wzorcowania 
. Wtedy prawdopodobieństwo 
uzyskania dowolnej wartości mieszczącej się w przedziale
jest z założenia jednakowe. Mówi się o rozkładzie jednostajnym (rys.).
Definicja. Odchylenie standardowe, a tym samym niepewność standardowa w rozkładzie jednostajnym określa się wzorem
. (1.19)
Wówczas
. (1.20)
Jeśli apriori wiadomo o realizacji innych rozkładów, np. trójkątnych (rys), to możemy korzystać z następnej definicji
. (1.21)
Wówczas
. (1.22)
Niepewnością eksperymentatora nazywamy niepewność wynikającą ze znanych, ale nie zawsze możliwych do usunięcia, przyczyn, np. zaburzeń odczytu danych.
Definicja. Jeśli niepewność odczytu szacuje się jako 
, to niepewność standardową będziemy szacować na podstawie rozkładu jednostajnego
. (1.23)
Niepewnością wielkości pobranej z literatury nazywamy niepewność związaną z danymi literaturowymi:
jeśli podano równocześnie odchylenie standardowe wielkości, to niepewność standardową
przyjmuje się jej równą;jeśli podano trójkrotne odchylenie standardowe
, to niepewność standardową
;przy braku dodatkowych informacji przyjmujemy, że niepewność
jest równa 10 jednostek miejsca rozwinięcia dziesiętnego o najmniejszej wartości, wtedy
. (1.24)
5. Błąd pomiaru.
Tradycyjnie błąd pomiaru tłumaczyli zewnętrznym przypadkiem losowym lub błędem systematycznym.
Teraz według [1] należę mówić: błąd pomiaru - niedoskonałość eksperymenty doprowadzająca do wyniku różnego od wartości rzeczywistego.
Tradycyjnie błąd przypadkowy związany jest z nieprzewidywalnymi czynnikami.
Tradycyjnie błąd systematyczny polega nie uwzględnieniu pewnego istotnego czynnika.
Kiedy błąd pomiaru jest większy od niepewności, to wynik jest błędny.
Błędy pomiarowe
Nazwa, źródło |
Objawy |
Przyczyny |
Błąd przeoczenia |
Niezgodność wyniku z wartością uznaną za poprawną |
Działanie czynników niekontrolowanych uznanych za nieistotne |
Pomyłki |
Duże odstępstwo wyniku od wartości poprawnej |
Pomyłka eksperymentatora. Niepoprawna obsługa przyrządu. Przyjęcie błędnych założeń. |
Błąd przybliżenia |
Niezgodność wyniku z wartością uznaną za poprawną |
Uproszczenie warunków pomiaru. Stosowanie przybliżonego wzoru. |
6. Obliczanie i zapis wyników.
Niepewność całkowita. W przypadku rozrzutu statycznego jako wynik końcowy przyjmujemy średnią arytmetyczną 
określoną wzorem (1.1), wówczas przeciwnej sytuacji braku takiego rozrzutu
. (1.25)
W statystyce matematycznej addytywne są wariancji. Zatem za niepewność całkowitą wyniku 
przyjmujemy
. (1.26)
Zaokrąglanie wyników i ich zapis.
A. Sprowadzamy wynik pomiaru i jego niepewność do tych samych jednostek, np. układu SI.
B. Zaokrąglanie wyników rozpoczyna się z zaokrąglania niepewności pomiarowej do pierwszego względnie pierwszych dwóch miejsc rozwinięcia dziesiętnego. Oznacza to, że niepewność pomiarowa zapisana w postaci
, (1.27)
gdzie 
przyjmują wartości ze zbioru 
, a 
jest liczba całkowita.
Wtedy przyjmujemy, że jeśli:
, to 
; 
, to 
,
gdzie 
są cyfry po zaokrąglaniu.
C. Wynik pomiaru zaokrąglamy na tym samym miejscu rozwinięcia dziesiętnego co niepewność.
D. Reguły zaokrąglania:
cyfry 0-4 zaokrąglamy w dół, tzn. nie zmieniamy cyfry poprzedzającej, np. 
lub 
;
cyfry 5-9 zaokrąglamy w górę, tzn. podwyższamy cyfrę poprzedzającą o jeden, np. 
lub 
;
E. Zapis wyniku.
Mamy (opór przewodnika)
, 
, 
.
Krok pierwszy
, 
, 
.
Krok drugi
(
, więc zaokrąglenie do jednego miejsca).
Krok trzeci
, 
, 
.
Mamy (przyspieszenie ciała)
, 
, 
.
Krok pierwszy
, 
, 
.
Krok drugi
(
, więc zaokrąglenie do dwóch miejsc).
Krok trzeci
, 
, 
.
Mamy (pojemność kondensatora)
, 
, 
.
Krok pierwszy
, 
, 
.
Krok drugi
(
, więc zaokrąglenie do jednego miejsca).
Krok trzeci
, 
, 
.
Mamy (ważenie ciała)
, 
, 
.
Krok pierwszy
, 
, 
.
W tym miejscu należę obliczyć niepewność na podstawie założenia o jednostajnym rozkładzie wartości pomiaru w przedziale 
.
Wówczas krok pierwszy ostatecznie
, 
, 
.
Krok drugi
(
, więc zaokrąglenie do dwóch miejsc).
Krok trzeci
, 
, 
.
Wytyczne do składania protokółu wymienione w [1, 2].
Niepewności w pomiarach bezpośrednich.
A. Pomiary próbne i wstępna ocena.
Określamy niepewność wzorcowania 
, np. przez wartość działki elementarnej przyrządu dla pomiarów.
Wykonujemy serie około 10 pomiarów próbnych.
Dokonujemy oceny rozstępu 
.
Przyjmuje się, że można dokonywać dalszych pomiarów jeżeli 
.
Jeśli nierówność była spełniona, to dokonujemy kolejnych około 100 pomiarów.
B. Dobór przedziałów klasowych.
Określamy przedział zmienności jako rozstęp z nadmiarem.
Przedział zmienności dzielimy na liczbę 
(zwykłe 6-10) dla otrzymania przedziałów klasowych o równej długości prawostronnie domkniętych. Pożądane jest, żeby długość przedziałów klasowych była wielokrotnością działki elementarnej stosowanego przyrządu.
Dokonujemy sortowania próby i budujemy tabele, np. o następującej postaci, gdzie 
oznacza numer przedziału klasowego, a 
wartość średnia w tym przedziale.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
….. |
….. |
….. |
…. |
….. |
…… |
……. |
……. |
………. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C. Histogram i wielobok częstości.
D. Średnia i odchylenie średniej wyników poklasowach.
Stosuje się wzory
dla średniej,
dla odchylenia standardowego oraz
dla odchylenia standardowego średniej.
Pomiary bezpośrednie i ich wyniki.
Pomiary próbne o liczbie 3-5 wykorzystujemy, żeby wyciągnąć następujące wnioski:
czy można pominąć niepewność eksperymentatora, tzn.
;czy są wyniki znacznie różniące się od pozostałych i czy jest wynik grubego błędu;
sprawdzamy czy występują wyniki identyczne, czy raczej statystyczne, i ostatnim przypadky przyjmujemy, że niepewność standartowa jest równa połowie rozstępu.
Pomiary uzupełniające o liczbie od 5-10 wykonuje się jeśli próbne nie dają możliwości wyciągnięcia pożądanych wymienionych powyżej wniosków.
Pomiary dodatkowe określamy na podstawie pomiarów próbnych i uzupełniających. Jeżeli:
, tzn. dominuje niepewność wzorcowania, to nalezę zmodyfikować stanowisko pomiarowe, wyniki szacuje się na podstawie pomiarów próbnych i uzupełniających;
, to też nalezę zmodyfikować stanowisko pomiarowe, wyniki szacuje się na podstawie pomiarów próbnych i uzupełniających;
, tzn. dominuje niepewność przypadkowa, to nalezę przeprowadzić dodatkowe pomiary dla zmniejszenia niepewności.
Liczbę dodatkowych pomiarów określamy na podstawie pomiarów próbnych i uzupełniających ze wzorów
lub 
, (1.28)
gdzie 
jest wartość krytyczna zmiennej 
-Studenta dla próby z 
pomiarów i poziomem ufności (istotności) 
(
), a 
jest z góry założonej dokładnością.
Dla realizacji tego plany na podstawie 
pomiarów postępujemy tak:
obliczamy
lub
;zakładamy dokładność pomiaru
(
);przyjmujemy poziom istotności
(
);z tabeli odczytujemy wartość krytyczna zmiennej
-Studenta;obliczamy liczby
ze wzoru (1.28) z zaokrąglaniem w górę do najbliższej liczby całkowitej.
Wartości krytyczne 
rozkładu Studenta
|
|
|
|
|
2 |
6,3138 |
12,7062 |
31,8205 |
127,3213 |
3 |
2,9200 |
4,3027 |
6,9646 |
14,0890 |
4 |
2,3534 |
3,1824 |
4,5407 |
7,4533 |
5 |
2,1318 |
2,7764 |
3,7469 |
5,5976 |
6 |
2,0150 |
2,5706 |
3,3649 |
4,7733 |
7 |
1,9432 |
2,4469 |
3,1427 |
4,3168 |
8 |
1,8946 |
2,3646 |
2,9980 |
4,0293 |
9 |
1,8595 |
2,3060 |
2,8965 |
3,8325 |
10 |
1,8331 |
2,2622 |
2,8214 |
3,6897 |
15 |
1,7613 |
2,1448 |
2,6245 |
3,3257 |
20 |
1,7291 |
2,0930 |
2,5395 |
3,1737 |
25 |
1,7109 |
2,0639 |
2,4922 |
3,0905 |
OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW POŚREDNICH
Obliczanie średnich i odchyleń standartowych dla pomiarów pośrednich w przypadku dwóch niezależnych wielkości.
Załóżmy, że pewna wielkość oblicza się ze wzoru
, (1.29)
gdzie 
i 
— wielkości fizyczne mierzone bezpośrednio.
Próbki 
i 
pozwalają obliczyć średnie
i 
. (1.30)
Dla uproszczenia zapisu oznaczmy odchylenie wielkości mierzonych od ich wartości średnich przez
i 
. (1.31)
Wtedy odchylenie standardowe średniej w każdej z rozważanych próbek zapiszemy w postaci
i 
. (1.32)
Wartości wielkości fizycznych mierzonych pośrednio możemy obliczyć ze wzoru (1.29), tzn. 
, lub stosując oznaczenia (1.31) notujemy
. (1.33)
Dokonamy rozwinięcia w szereg Taylor'a w otoczeniu punktu 
i zaniedbamy składniki wyższych rzędów (liniowe przybliżenie)
, (1.34)
gdzie 
i 
— pochodne cząstkowe względem pierwszego i drugiego argumentu w punkcie 
.
Twierdzenie. Wartość średnia dla próbki wielkości fizycznej 
określa się ze wzoru
. (1.35)
Udowodnienie. Z definicji średniej mamy
Podstawiamy rozwinięcie (1.34) i dokonamy prostych przekształceń
Ponieważ
,
oraz
i
,
to ostatecznie otrzymamy 
.
Twierdzenie. Odchylenie standardowe wielkości 
określa się wzorem
. (1.36)
Dowód. Dla skrócenia zapisu wykorzystamy wielkości
.
Uwzględniając (1.34), tzn. 
, dla tych wielkości otrzymamy
. (1.37)
Zgodnie z definicją średniej zapisujemy
.
Podstawiając wyrażenie (1.37) do definicji średniej dla wariancji wielkości fizycznej 
mamy
Dokonamy przekształceń. Po podniesieniu do kwadratu zapiszemy
.
Ponieważ wielkości 
i 
nie zależą od symboli sumowania, to przepisujemy powyższe wyrażenie w postaci
Z tego, że
,
znajdziemy
Znowu korzystając z definicji (1.30), tzn.
i 
,
i ostatecznie mamy poszukiwany wynik.
Twierdzenie. Podobnie dla odchylenia standardowego średniej wartości 
,
gdzie 
i 
.
Uogólnienie na przypadek wielu niezależnych zmiennych.
Załóżmy, że pewna wielkość fizyczna określona jest przez następującą funkcjonalną zależność
. (1.38)
Wtedy w sposób podobny, jak i w przypadku dwóch niezależnych zmiennych, możemy udowodnić, że wartość średnia określa się wzorem
, (1.39)
a odchylenie standardowe wyrażeniem
. (1.40)
Przy tym odchylenie standardowe średniej będzie
,
gdzie 
I. Ważny przypadek cząstkowy. Załóżmy, że poszukiwana wielkość fizyczna jest określona przez wzór
. (1.41)
Pochodna tej funkcji można zapisać w postaci
.
Skąd wartość średnia i odchylenie standartowe będzie
, 
,
. (1.42)
II. Ważny przypadek cząstkowy. Załóżmy, że poszukiwana wielkość fizyczna jest określona przez wzór
, (1.43)
gdzie 
— niezależne zmienne losowe (
).
Pochodna tej wielkości
i ze wzorów (1.39) i (1.40) otrzymamy
, (1.44)
a odchylenie standardowe wyrażeniem
, (1.45)
gdzie odpowiednia wariancja standardowa określona wyrażeniem
. (1.46)
Jeśli teraz będziemy uważać, że każda niezależne zmienna losowa 
(
) jest 
elementową próbą pomiarów tej samej wielkości fizycznej, to ze wzorów (1.44) - (1.46) znajdziemy
,
,
.
Łącząc ostatni dwa wyrażenia, otrzymamy
.
Innymi słowami, jeśli w jakości funkcji 
wybieramy wartość średnią
,
to udowodnimy wzór (1.14) dla odchylenia standardowego średniej.
Obliczanie niepewności maksymalnych
Niech mamy zależność
. (1.47)
W wyniku eksperymentu uzyskano wartości
oraz ich niepewności
.
Wtedy w miejsce wyrażenia (1.47) zapiszemy
Dokonamy rozwinięcia w szereg Taylor'a
Skąd dla niepewności funkcji 
znajdziemy
albo w skrócie
.
Definicja. Za niepewność maksymalną przyjmiemy
. (1.48)
W przypadku kiedy
, mamy 
.
Losowa metoda oceny niepewności rozszerzonych.
Niepewnością rozszerzoną nazywamy odchylenie standardowe pomnożone przez stałą.
Równanie
,
gdzie 
, mnożymy przez 3
Wykorzystujemy
i 
otrzymujemy
albo
Rozkład normalny
Postać standaryzowana rozkładu normalnego
Całka Laplace'a
Prawdopodobieństwo, że 
Dla 
, więc możemy przyjąć, że rozstęp 
.
Zmienna losowa 
dla rozkładu normalnego
Rozkład zmiennej losowej 
Całka Euler'a
lub
Rozkład t-Studenta
, 
Rozkład F (Fishera - Snedecora)
, 
65,0%
57,7%
57,7%
Wyszukiwarka