1. Dana jest ('prosta'!) macierz
. Opisz podprzestrzenie Ker(A) i Im(A).

Zgodnie z definicją:

• Jeśli mamy przykładowo macierz
  to procedura postępowania jest następująca:

a) Ker A

Szukamy wszystkich x =
takich, że Ax=

b) Im A

Szukamy wszystkich y =
takich, że y=Ax, gdzie x=

stąd:

• 
  

2. Dana jest ('prosta'!) macierz
. Wyznacz wymiar podprzestrzeni Ker(A) i Im(A).

Wiadomo, że jeśli
to dim(Im(A)) + dim(Ker(A)) = n

wtedy: dim(Im(A)) = rankA

Jeśli więc będzie dana macierz A np.:
to mamy:

Wyznaczamy rankA. (rząd macierzy to wymiar największej macierzy kwadratowej o niezerowym wyznaczniku)

Zauważmy, że: det(A)=12-6-2+9=13 wtedy rankA=3

dim(ImA)=3

dim(KerA)=0

3. Niech
. Czy mogą obowiązywać następujące relacje:

a) dim Im(A) = 0

TAK
np.

b) dim Ker (A) = 0

TAK
np.
. Zatem

c)

TAK
np.

d)

TAK
np.

e) Ker(A)=Im(A)

TAK
np.

f) Ker(A)=∅

NIE
z definicji Ker(A) jest podprzestrzenią Rⁿ więc musi zawierać przynajmniej element zerowy.

g) Im(A)=Rⁿ

TAK
np. A=I_n

h) Ker(A)=Rⁿ

TAK
np. A=0

i)

TAK
np.

4.Wyznacz model w przestrzeni stanu na podstawie zadanego (prostego!) schematu symulacyjnego oraz równania różniczkowego.

a)

b)

przechodzimy na transformatę Laplace'a:

[α[f⁽ⁿ⁾(t)]=sⁿF(s)-s^n-1f(0⁺)-s^n-2f'(0⁺)-…-f^(n-1)(0⁺)]

=>x''(t)=s²X(s)-sX(0)-x'(0)=s²X(s) ; x'(t)=sX(s)

=>s²X(s)+sX(s)+X(s)+(1/(s-1))X(s)=U(s)

=>X(s) [(s²+s+1)(s-1)+1]/(s-1) =U(s)

G(s)=X(s)/U(s) = (s-1)/(s²-s+1)

=>
,
,
,D=0

5. Wyznacz rozwiązanie x(t) (prostego!) równania
, x(0).

Niech:
,
⇒
⇒dziedzina s:

sx₁(s) - x₁(0⁺) = -2x₁(s)

sx₂(s) - x₂(0⁺) = x₂(s) - 4x₂(s)

sx₁(s) - 1 = -2x₁(s)

sx₂(s) - 1 = x₂(s) - 4x₂(s)

X₁(s)(s+2) = 1 ⇒
⇒
⇒ X₁(t)=e^2t

X₂(s)(s+4) = X₁(s) + 1 =

X₂(s)=

sA + 4A + sB + 2B = s+3

s(A+B) + 4A + 2B = s+3

A+B = 1

4A+2B = 3 ⇒ A = -5/2, B=7/2

6. Podaj definicję oraz Kryterium dobrej określoności układu dynamicznego liniowego.

Układ jest dobrze określony jeśli dla każdej pary we-wy odpowiadająca tej parze transmitancja układu zamkniętego jest właściwa.
czyli degN(s) ≤ degD(s).

Kryterium dobrej określoności:

Układ zbudowany z 2 bloków o transmitancjach właściwych jest dobrze określony ⇔ Δ(∝)≠0, gdzie Δ-funkcja charakterystyczna schematu blokowego układu.

7. Sformułuj definicję stabilności BIBO, wewnętrznej oraz asymptotycznej układu liniowego. Podaj stosowne kryteria stwierdzania takiej stabilności.

Układ dynamiczny będziemy nazywać „stabilnym w sensie BIBO” jeśli każdy ograniczony sygnał wejściowy ||u(t)|| ≤ M₁ < ∝ (0 ≤ t < ∝) wywołuje tylko ograniczony sygnał wyjściowy: ||y(t)|| ≤ M₂ < ∝ (0 ≤ t < ∝)

Przy założeniu, że stan początkowy rozpatrywanego układu jest stanem określonym przez wektor zerowy. Układ jest stabilny w sensie BIBO ⇔ jeśli wszystkie bieguny jego transmitancji leżą w lewej półpłaszczyźnie zmiennych zespolonych.

Koncepcja stabilności BIBO nie jest szczególnie użyteczna bo układ o zadowalających własnościach reakcji we-wy może cierpieć na „wylewy wewnętrzne”, polega to na tym, że ||x(t)|| → ∝ .

STABILNOŚĆ ASYMPTOTYCZNA

Liniowy, stacjonarny układ nazywany będzie stabilnym asymptotycznie, jeśli punkt równowagi tego układu X_r=0 jest asymptotycznie stabilny. X_r=0 jest stabilny(w sensie Lapunova), jeśli dla każdej liczby dodatniej ε można dobrać taką liczbę η, że trajektoria układu rozpoczyna się wewnątrz koła o promieniu η.

Punkt X_r=0 będziemy nazywać stabilnym asymptotycznie, jeśli:

1°) punkt ten będzie stabilny w sensie Lapunova

2°)

STABILNOŚĆ LOKALNA

Mamy system nieautonomiczny
f(x) - różniczkowe

Jeżeli zlinearyzować w powyższy sposób system jest stabilny wówczas stan równowagi systemu oryginalnego (tzn. nieliniowego) jest asymptotycznie stabilny. Czyli stabilność systemu liniowego generuje lokalną stabilność asymptotyczna nieliniowego układu.

Stosowane kryteria: a) kryterium Routha

b) kryterium Hutwitza

8. Podaj oraz skomentuj def. sterowalności liniowego stacj. układu dynamicznego.

Para (A,B) opisująca nasz układ , A∈R^nxn, B∈R^nxp jest całkowicie sterowalna
x(0)
0<t_j<∞∃u:[0, t_j] ->Rⁿ X(t_j)=0_n

Kom: Widać, że dla układu, który jest całkowicie sterowalny dla dowolnego stanu pocz. x(t=0) zawsze istnieje jakieś sterowanie, które w skończonym czasie t_j sprowadzi nam układ do stanu równowagi („orgin point”) -> inaczej: mamy system: x'(t)=Ax+Bu; x=nx1; y(t)=Cx+Du; u=rx1, y=px1; r wejść, p wyjść

Mówimy, że stan x(t) jest sterowalny w chwili t₀, jeśli istnieje takie sterowanie u(t), które pozwala sprowadzić ten stan do dowolnego stanu końcowego x(t_k). W czasie skończonym (t_k-t₀)≥0. Jeśli każdy stan jest sterowalny, to system jest sterowalny. Warunkiem koniecznym i dostatecznym jest aby macierz S∈R^nxn⋅λ miała rząd n.

rankS=n

9. Podaj oraz skomentuj definicję obserwowalności liniowego stacjonarnego układu dynamicznego.

Para (A,C) jest całkowicie obserwowalna, A∈R^nxn. C∈R^qxn ,q - ilość czujników znając wyjście y:[0,t_j] -> R^q
t_j>0 potrafimy wyznaczyć warunki początkowe x(0) gdzie x'(0) jest dowolne.

Kom: Układ „startując” z dowolnych nieznanych nam warunków początkowych, my natomiast budując tylko mierzymy na wyjściu układu przy znanych sygnałów pobudzających przez czas tj. jesteśmy w stanie wyznaczyć jego warunki początkowe.

Koncepcja obserwowalności pojawia się, kiedy trzeba uzyskiwać informacje o stanie (zm.x) na podstawie wyjścia i wejścia. Jeżeli co najmniej jedna ze zm. stanu nie może być odtworzona - powiadamy, że jest ona obserwowalna, a system nieobserwowalny.

-> inaczej: Jeśli mamy system: x'=Ax+Bu

y=Cx+Du

powiadamy, że stan x(t₀).Jeżeli każdy stan jest obserwowalny o ile dla danego wejścia. u(t) istnieje taki skończony czas t_k≤t₀,że znajomość tego wejścia oraz wyjścia dla t₀≤t≤t_k jest wystarczająca dla określenia x(t₀). Jeśli każdy stan jest obserwowalny w opisanym sensie powiadamy, że system jest całkowicie obserwowalny.

Warunkiem koniecznym i wystarczającym aby system był obserwowalny jest aby macierz V:
miała rząd V=n (nxnp)

Mówiąc o obserwowalności można mówić o obserwowaniu pary AC. Jeśli nasz system ma tylko 1wejście (p=1) to wymiary macierzy V są nxn. Taka macierz ma rząd n jeśli jest nieosobliwa.

10. Omów przynajmniej dwa kryteria sterowalności liniowych obiektów dynamicznych.

1^omac.ster.
∈R^nxnpma pełny rząd wierszowy. rank M_C=n

2^omac.

jest dodatnio określona

3^orank ~M_C=n, gdzie ~
∈R^mx(n-rB+1)p

r_B=rankB

4^o
gdzie:

∈R^mx(n-rB+1)p

m=degψ_A, ψ_A-wielomian minimalny.

11. Omów przynajmniej 2 kryteria obserwowalności liniowych obiektów dynamicznych.

Para

1. rank
pełny rząd kolumnowy

2. rank

Rc rząd macierzy C, ta macierz ma mniej wierszy

3.

M=deg
czyli M-stopień wielomianu
wielomian minimalny macierzy A

+ Kartka Kowala

12. Sprawdź sterowalność zadanej (prostej) pary (A,b):

13. Sprawdż obserwowalność podanej prostej pary (A,C)

14. Sprawdź asymptotyczną stabilność systemu
o zadanej prostej macierzy A.

Wyznaczamy spect
. Wiadomo ze wartości własne macierzy
to rozwiązanie równania det

det

Układ jest stabilny bo wszystkikie wartości własne macierzy A są „-„(mają „-„ części Re)

15. Dane są elementy pewnego systemu
. Wiadomo, że spectr A={λ,λ} (pods. wart. wł. λ należą do R)

a) rozważ problem obserwalności pary (A,C)

b)czy wzbogacając ten system o odpowiedni czujnik
, można stosowaną parę (A,
) zawsze uczynić parą obserwowalną.

ilość wartości własnych

=1 mamy zatem tylko jedną lin. niezol kolumnę w macierzy.

Tą wart. wł. będzie zwrąz. Tylko jedna klatka Jordana o wymiarze 2x2

Szukamy więc postaci macierzy podobieństwa
Musimy zatem znaleźć wektor własny dla wartości λ, a następnie uogól. wekt. wł.które stanowią macierz

te dwa wektory stanowią macierz P=[p_1,1,1 ,p_1,1,2]

Pozostaje teraz obliczyć
.Jeżeli pierwsza kolumna macierzy CP będzie zerowała element zerowy to będzie to znaczyło iż para (A,C) nie jest CO.Nieobserwowalny będzie mod o numerze odpowiadający numerowi kolumny zew. Zerowy elem.

b)

Gdyby para (A,C) nie była CO to wtedy w wekt. CP part by się zerowy elem. Odpowiadający nie obserwowalnemu modowi: jeśli rozbudujemy C do postaci
to wtedy.

1.

2.Natomiast dla C

16.Dany jest model x'(t)= Ax(t)+Bu(t) oraz y(t)=Cx(t) pewnego dynamicznego obiektu. Para (A,B) jest CS zas para (A,C) jest CO. Zastosowano sterowanie u(t) = -Kx(t). a) Czy para (A-BK,B), opis układu niesterowalnego może być niesterowalna?, b) Co powiesz o obserwowalności pary (A-BK,C)?

Ad a)

x'=Ax-BKx=(A-BK)x+Bu

Macierz sterowalności pary (A-BK,B) będzie mialo postac:

M_C=[B (A-BK)B … (A-BK)^n-1B].

Wiemy ze para (AB) jest CS => rank M_C = n

W przypadku gdy macierz (A-BK) będzie zerowa mnoza się zera w M_C może być niesterowalna.

M_C=[B 0 0 … 0] rank M_C=1 zatem para [(A-BK),B] nie musi być CS.

Jest to przypadek dosc dwustronny wystrczy bowiem ze w macierzy M_C znajda się gdziekolwiek dwa liniowo zalezne wiersze albo jeśli wiecej niż [n(p-1)] wierszy będzie liniowo niezależne.

Ad b) Analogicznie do pkt a) mamy:

M₀=
M₀=

Podobnie jest (A-BK)=0 to wtedy rank M₀=1 czyli nie musi być CO

17. Omow metode Ackermana oraz met. Sprow. Modelu do stosownej kanonicznej postaci jako podstawy syntezy regulatora od stanu liniowego obiektu o jednym wejściu(wyjsciu).

Istota sprzężenia od stanu jest to ze zamiast sprzez od wyjscia obiektu realizujemy sprzez. Od całego wektora stanu. Zapewnia to nam pelna kontrole nad biegunami Formula Ackermana - sluzy do wyznaczania współczynników sprzężenia od stanu. Mamy obiekt SISO AєR^nxn ; bєR^nxa Układ będzie wiec opisany macierzami (A-BK,b,c). Metoda Ackermana syntezy regulatora może być stosowana tylko jeśli para (Ab) jest CS. Zauważmy ze obiekt posiada macierz A\ o wartości wl. Spectr A= {λ_i}_i=1ⁿ. Musimy wtedy dobrac wektor k wedlug zależności K = φ_A(λ)(M_C^-1)^Te_n;

e_n-sluzy do otrzymania ostatniego wiersza =
; M_C macierz sterowalności pary (A,b) , φ_A wielomian char. mac. A\ tzn φ_A(λ)=det[A^—λI_n] ≡ det[λI_n-A].

Metoda sprowadzenia do stosownej kanonicznej postaci.

Jeżeli para (A,b) jest CS to układ możemy sprowadzic do post. CCF
:

,
wtedy latwo wyznaczyc φ_A(λ)=a₀+a₁ λ+…+a_n-1 λ^n-1+ λⁿ

Chcielibyśmy aby macierz
miala określone wartości wlasne. Zauważmy ze k=[k₁ k₂ … k_n]^T ;
przez analogie z poprzednim: φ_A(λ)=α₀+ α₁λ+…+ α _n-1 λ^n-1+ λⁿ gdzie α_i=a_i+k_i+1 możemy wiez wyliczyc k ze wzoru: k=(M_CW₎^-T=
gdzie w=
w jest odwracalna M_C - tez musi być odwracalna

18. a) omow synteze liniowego regulatora od stanu w przypadku obiektu o wielu wejściach ; b) wyjaśnij dlaczego zadanie syntezy stabilizującego regulatora metoda rozmieszczania biegunow nie posiada jednoznacznego rozw. ;

Niech dany jest układ o modelu (A B C D) MIMO/MISO U=-kx ; A\ єR^nxn , BєR^nxp Dokonujemy dekompozycji SVD macierzy B;

\V^T ; chcemy aby KєR^pxn spectr (A+BK)=
Idac dalej

; w_b=Σ V^T=R^pxp w_B ; w_B^-1=(V^T)^-1Σ^-1=V Σ^-1 .Chcemy aby spectr[A]={ λ₁, …, λ_n} Macierz (A-BK) musi być diagonizowalne

=> spectr{A-BK}=spectr Λ_n.

Dla diagonalnej macierzy (A-BK) єR^nxn oraz nieosobliwego parametru PєR^nxn rozwiązanie KєR^pxn zachodzi : spectr{A-BK}=spectrΛ_n istnieje U^T(AP-PΛ_N)=0_(n-p)xn ma postac: K=w_B^-1U^T(PΛ_NP^-1-A) gdzie P jest pewnym parametrem projektu mac P dobieranym tak aby I_m(AP-PΛ_N)<KerU^T tzn. dobieramy kolejne kolumny P_i macierzy P tak aby:
Ker(u^T(A- λ_iI_n)) , postępując wg. Algorytmu: 1⁰ Znajduje baze podprzestrzeni: Ker {u^T(A- λI_n)}; 2⁰ Wybieramy dowolny wektor p₁tej bazy ; 3⁰ wybieramy nastepny wektor p₂єKer{u^T(A-λI)) ale tak aby: p_i ┴Im┴[p₁,p₂,…,p_i-1]p_iє Ker{A-λI_I} ; ad b) Zadanie syntezy regulatora stabilizującego metode rozmieszczania biegunow nie posiada jednoznacznego rozw. Gdyz stnieje wiele macierzy nieosobliwych P takich ze: U^T(AP-PΛ_N)=0_(n-p)xn .

19. Omow synteze liniowego regulatora od stanu w układzie realizującym zadanie sledzenia zadanej wielkości metoda rozmieszczania biegunow. Rozpatrzmy układ sledzenia:

Wprowadzmy oznaczenia:
;
;
;
; Zauważmy ze

+
Zatem zadanie stabilizacji i sledzenia sprowadza się poprzez odpowiedzni dobor struktury do stabilizacji pary rozbudowanej (A,B) Zadanie to ma rozwiązanie gdy detM_C≠0 => rank M_C=n ; gdzie
okazuje się ze: det(M_C) zalezy tylko od
Zatem układ zamkniety będzie stabilny jeśli: 1⁰ para (A,B) będzie CS , 2⁰ system
nie będzie posiadal zera inwariantnego.

20. Dany jest model pewnego dynamicznego obiektu x₁'(t)=u(t) oraz x₂'(t)=x₁(t), przy czym x₁(0)=1, x₂(0)=-1. Wyznacz przykładowe sterowania u:[0 1] R przy którym x₁(1)=0 oraz x₂(1)=0. Czy zagadka ma jednoznaczne rozwiązanie.

Zauważmy ze: M_c=[B AB]=…=
=>det Mc=1 uklad jest kanoniczny sterowalny. Mamy x(2)-A²X(0)=[B AB]
; u=Mc^-1(x(2)-A²x(0)) ;
Sterowanie znajdziemy ze wzoru: u(t)=-b^Te^AT+w_c(tj)^-1x(0) gdzie:
Zauważmy ze:
; A³=0 itd. Zatem e^-Aτ=I_z-Aτ stad:
=
=
po scałkowaniu każdego elementu macierzy oraz podstawieniu t=1 otrzymujemy

=>
Zagadka nie ma jednoznacznego rozwiązania.

21. Omow własności podobnych modeli w przestrzeni stanu liniowych obiektow dynamicznych.

Dwa modele: (A B C D) ,
sa podobne x(0)=Tz(0). Wtedy: 1⁰ spectr(A)=spectr(A') niezmiennik przekszt. Podobieństwa. Stad: detA=detA' , trA=trA' ; 2⁰ Odpowiedz skokowa i impulsowa te same niezmiennik 3⁰ Nie jest niezmiennikiem macierz fundamentalna exp(At) ≠ exp(A't) .

22. Omów kanoniczną dekompozycję przestrzeni stanu na część sterowalną oraz niesterowalną.

Niech
,

Jeżeli para (A,B) nie jest CS tzn. rank
to istnieje taka macierz
nieosobliwa, że:

gdzie:
jest CS.

Zatem
,

Możemy zatem zapisać

możemy dokonać dekompozycji przestrzeni
na dwie podprzestrzenie:

- podprzestrzeń ?? sterowalną

- podprzestrzeń ?? niesterowalną

podprz. niester.

? sterow.

Aby tego dokonać macierz
musi mieć odpowiednią postać. Postępujemy wg algorytmu:

1. wyznaczamy
   i obliczamy rank
   

2. wybieramy
   lin. niezal. Kolumn z
   

3. wybieramy
   lin. niezal. kolumn z
   

23. Omów kanoniczną dekompozycję przestrzeni stanu na część obserwowalną oraz nieobserwowalną.

Dany jest model (A B C D) taki, że para (AC) nie jest CO
.

Istnieje taki model podobny
,że

, gdzie para
jest CO.

,

->przestrzeń stanów nieobserwowalnych

->przestrzeń stanów obserwowalnych

24.Podaj definicję zera (niezmienniczego) obiektu dynamicznego opisanego modelem (A,B,C,D).

Rozpatrzmy model systemowy
Macierz ta posiada ????
:

postaci:

Zero ????????? to taka liczba
, dla której

25) Omów syntezę obserwatora o minimalnym rzędzie

Aby mieć syntezę obserwatora to trzeba :

- równanie różniczkowe

- równanie opisujące pomiary czyi taki filtr tj. układ dynamiczny

Szukanie równania różniczkowego na dynamikę y

30) Zdefiniuj tak zwane f-cje wrażliwości danego zamkniętego układu regulacji (sterowania). Omów rolę takich f-cji w klasycznym i odpornym projektowaniu układów sterowania.

Za miarę wrażliwości jednowymiarowego układu liniowego o transmitancji operatorowej G(s) = G (s,x) przy zmianie parametru x, przyjmuje się wielkość zwaną współczynnikiem (lub f-cją) wrażliwości określoną:

W = W(s,x) = (dG(s,x) / dx ) * x / G(s,x)

Dla np. ujemnego sprzężenia zwrotnego (USzZ) G(s) = (k/s) / (1 + k/s) W = dG(s)/dk * k/G(s) = s/s+k

Wprowadzenie USzZ nie zawsze gwarantuje mniejszą wrażliwość układu na zmianę parametrów obiektu.

u(t)

y(t)

1

1

1

1

-1

2

2

x₂

x₁