Literatura:

1. „Prognozowanie gospodarcze” M Cieślak, PWN III wydanie

2. „Prognozowanie gospodarcze” Dittman AE Wrocław

3. „Predykcja ekonometryczna” A. Zewiasz

Wykład 1 - 13.10.2001

Wyznaczanie prognoz

Prognozowanie ilościowe czyli predykcja pozwala wyznaczać prognozy za pomocą przesłanek z modeli ekonometrycznych. Nie dotyczy ono tylko przyszłości ale może także dotyczyć przeszłości lub teraźniejszości. Prognozowanie ma ścisłe powiązania z demografią.

Prognozowanie wykorzystywane jest między innymi w Głównym Urzędzie Statystycznym oraz w dużych przedsiębiorstwach czy centralach gdzie za pomocą prognozowania ocenia się perspektywy planowanej produkcji.

Podstawowe pojęcia:

model ekonometryczny

(wg Z. Czerwińskiego) - może być rozumiany ogólnie, intuicyjnie jako obraz, odbicie, odwzorowanie określonego obiektu w określonym języku.

Model ekonometryczny - również będzie układem równań odwzorowującym wyróżnione zależności między zjawiskami ekonomiczno - społecznymi.

Część związków można mierzyć a niektóre nie.

Związki mierzalne nazywane są korelacyjnymi.

Y = f (x₁, x₂ ......x_kၖ)

y - zjawisko badane

x₁,x₂-zjawiska, czynniki

ၖ- składnik losowy (psi,) - jest to łączny efekt oddziaływania na zmienną y, oddziałuje na te i inne czynniki, które nie zostały uwzględnione bezpośrednio w zbiorze x.

Jest to zmienna losowa o określonym rozkładzie.

E(ၖ) = 0; D²(ၖ) = ၤ² = const. (ၤ² - wariancja)

liniowy model ekonometryczny

Y_t = ၡ₀ + ၡ₁x_t + ၸ_t t = 1,2,………….,n

gdzie:

ၸ_t - składnik losowy

ၡ₀ - współczynnik kierunkowy funkcji regresji

Aby przedłużyć prognozę od 1,2,.............,n należy wykonać estymację parametrów ၡ₀ i ၡ₁.

Do estymacji parametrów wykorzystuje się metodę najmniejszych kwadratów.

MNK polega na znajdowaniu takich wartości ocen parametrów strukturalnych modelu, by suma kwadratów odchyleń zaobserwowanych (empirycznych) wartości i zmiennej y, od jej wartości teoretycznych wyznaczonych przez model była najmniejsza w przypadku jednej zmiennej objaśniającej.

MNK polega na znajdowaniu takiej prostej , która jest najlepiej dopasowana, do wszystkich punktów empirycznych, czyli minimalizowana jest sumą kwadratów reszt (u_t).

Klasyczne założenia MNK

1. Zmienne objaśniające x są nielosowe i niewspółliniowe k<n;

2. Istnieje n populacji składników losowych, o nadziejach matematycznych E(ၖ_t)=0 i stałych wariancjach o skończonych wartościach ၤ² =D²(ၖ_t) = const, t= 1, 2, 3, ...... n.

3. Realizacje zmiennych tworzą proces czysto losowy tzn., że następuje po sobie realizacja składnika losowego , są nieskorelowane, czyli ρ(ၖ_t; ၖ_ts)= 0 dla t ≠ s

4. składniki losowe są nieskorelowane ze zmiennymi objaśniajacymi.

Jeżeli ww. założenia są spełnione to estymator ma dobre własności tzn.

1. jest nieobciążony;

2. zgodny;

3. najbardziej efektywny;

f (₀, ₁) =
(Y_t - ₀ - ₁x_t)² =
e_t²

e_t² = Y_t - (₀ - ₁x_t)

^ ^

f (₀, ₁) = minimum

gdy wartość zmiennej objaśniającej zależy od więcej niż jednej zmiennej objaśnianej

Y_t = ၡ₀ + ၡ₁x_t1 + ၡ₂x_t2 + …………. + ၡ_kx_tk + ၸ_t

t = 1,2,……………,n

parametr „ၡ₁” wskazuje o ile przeciętnie zmieni się wartość „y” jeśli „x₁” zmieni się o jedną jednostkę w pewnym okresie czasu.

szeregi czasowe - są realizacją procesu stochastycznego który możemy zapisać ciągiem zmiennych losowych.

ၻy_tၽ= ၻy_1, y₂, ................., y_nၽ szeregi czasowe

gdy „t” jest okresem miesiąca to:

„y₁” to np. styczeń

_„y₂” to luty itd.

gdy zaobserwujemy już jakiś proces wówczas oznaczamy dane małymi literami.

momenty czasu

ၻY_tၽ= ၻY_1, Y₂, ................., Y_nၽ

zmienna “Y” jest pewną funkcją która może

przybierać różne wartości „y”

0,3 dla y = 0

PၻY=yၽ = 0,5 dla y = 1

0,2 dla y = 2

PၻY=yၽ = 0 < p < 1

realizacja procesu to ciąg: ၻ0,0,1,1,0,0,0,1ၽ

^

oceniając p wyznaczamy prognozę

„p” zmienia się jednak z czasem

P ၻY_t=yၽ = 0 < p < 1

Rachunek macierzowy

Y =
x =

n x 1 n x (k+1)

Składnik losowy - ၸ (ksi)

ၸ =
ၡ =

n x 1 (k + 1) x 1

f (α₀, α_{1, ...................} α_k) =

lub w formie macierzowej:

Y = Xα + ξ Y_* = Xα ; Y_* - wartość teoretyczna funkcji regresji

f(α) = (Y - Y_t)^T(Y - Y_*) = (Y - X_d)^T(Y - X_α)

gdy, chcemy obliczyć średni błąd szacunku stawiamy hipotezę, że α₀ = 0 i próbujemy ją zweryfikować.

Główne klasyczne założenia regresji liniowej.

1. zakładamy, że dla każdego „t” nadzieja matematyczna równa się 0.

2. zakładamy, że dla każdego „t” wariancja składnika losowego jest równa δ² - jest stała

składnik losowy ma rozkład homostechastyczny

3. gdy w czasie są nieskorelowane macierze składników losowych

4. zakładamy, że wartości zmiennych objaśniających są nie losowe to znaczy są

ustalone z góry.

R(X) = k+1 ⇒ det (X^TX) > 0 R(X) - rząd macierzy

5. czasami wprowadzamy założenie, że wektor składników losowych ma

n-wymiarowy rozkład normalny z nadzieją matematyczną równą 0.

ξ ∼ N(0, I_n δ²) ⇒ Y ∼ N(Xα_i, I_n δ²)

wektor wartości funkcji regresji (wartości teoretyczne funkcji regresji)

wariancja resztowa

współczynnik zbieżności

Macierz wariancji i dewariancji estymatorów.

D²(α) = (X^TX)^-1δ² S_e² ⇒ δ²

;

Hipotezy:

a) H₀ α_j = 0

b) H₁ α_j ≠ 0

j-oty parametr funkcji jest równy 0, nie ma wpływu ma zmienną objaśniającą.

Sprawdzian testu Studenta

⁰

a → t_a → K = (-∞; -t_a > ∪ < t_a; ∞)

za „a” przyjmujemy małą liczbę np. 0,01; 0,05

Poziom istotności:

prognoza czy wartość symulowana

X_T - wartości hipotetyczne

Wykład 2 - 28.10.2001

Model potęgowy

t = 1,2, ........., n

najczęściej rozważany natomiast jest model:

gdzie:

Z_t - poziom zatrudnienia,

W_t - poziom środków trwałych,

α₁- elastyczność produkcji względem zatrudnienia.

model ten jest modelem nieliniowym

- estymacja modelu:

- logarytm modelu:

U_t, R_t, V_t - są nowymi zmiennymi

po obliczeniu otrzymujemy:

natomiast
]

Szczególne modele regresji (trendy).

a) model addytywny jest jednym z modeli szeregu czasowego

Y_t,h = f(t) + a(h) + ξ_t

trend wahania wahania

sezonowe losowe

trend f(t) jest funkcją kolejnych numerów czasów (generalnie obrazuje przyrost).

b) model multiplikatywny.

rozwój zjawiska obrazuje trend ale wahania sezonowe są coraz większe (brak stabilności)

Najprostszą formą trendu jest funkcja liniowa:

f₁(t) = β₀ + tβ₁ + ξ_t

Wyliczenie parametrów na podstawie wzorów analitycznych:

wzór 1:

wzór 2:

wzór 3:

wzór na β₀:

Zadanie:

W miesiącach od stycznia do kwietnia zaobserwowano następujące wydatki: 4, 6, 10, 8.

Interpretacja wyniku: Średnio z miesiąca na miesiąc wartość wydatków rosła o 1,6 jednostki.

t		Yt	Yt-
1	4,6	4	-0,6	0,36
2	6,2	6	-0,2	0,04
3	7,8	10	2,2	4,84
4	9,4	8	-1,4	1,96
Σ			0,0	7,2

suma reszt

jest to pośredni test sprawdzający poprawność wykonania zadania, gdy otrzymamy 0 zadanie uważa się za wykonane poprawnie.

obliczamy odchylenia wydatków od trendu:

Interpretacja wyniku: Wydatki rzeczywiste odchylają się od trendu o 1,9 jednostki.

oceniamy błąd obliczeń:

Interpretacja wyniku: Średni błąd szacunku czyli odchylenie standardowe estymatora pierwszego β₁ jest równe 0,85 jednostki (wskazuje to rząd błędu jakim szacowany jest parametr)

oceniamy względny błąd szacunku (błąd średni)

Interpretacja wyniku: Względny błąd szacunku stanowi 53,1% oceny całego szacunku.

Wyznaczamy prognozę na podstawie trendu:

Interpretacja wyniku: Prognoza równa jest 11 jednostek.

Obliczamy możliwy błąd prognozy:

czyli:
- średni błąd prognozowania czyli predykcji.

Interpretacja wyniku: Rzeczywiste prognozowania które występują w przyszłości mogą się odchylać o 5,2 jednostki.

Obliczamy odchylenie średniego błędu predykcji:

Rodzaje trendów liniowych.

a)

przyrost trendu liniowego

b) aby opisać krzywą z wykresu należy:

funkcja trendu zapisana jest w postaci funkcji regresji, do obliczenia jej używamy wzorów macierzowych.

c) krzywą tą możemy również modelować za pomocą funkcji wykładniczej:

i wyznaczamy logarytm:

;

d) inna postać trendu to:

model szeregu czasowego wygląda wtedy następująco:

i wyznaczamy logarytm:

e) funkcja logarytmiczna:

f) funkcja logistyczna:

f(t) punkt nasycenia rynku

t

Zadanie:

Rozważamy wahania sezonowe o cyklu rocznym, obserwowane będą wartości cechy w poszczególnych miesiącach:

gdzie: t = 1,2 - bieżący numer miesiąca

h = 1,2,3,.......,12- miesiąc w cyklu wahań

k = 1,2,.... - numer roku .

np. obserwacja z piątego roku z marca

to: k=5; h=3

t = (5-1) x 12 + 3 = 48+3 = 51

z obliczenia wynika, że jest to 51 miesiąc z kolei w cyklu który obserwujemy.

cykl dwuokresowy:

określa amplitudę

wahania sezonowego

gdzie:

„t” - przyjmujemy jako bieżące półrocze

„h” - numer półrocza (0 - pierwsze półrocze, 1 - drugie półrocze)

„k” - numer roku

macierz danych przyjmuje następującą postać:

cykl kwartalny - wprowadzamy dwie zmienne zero - jedynkowe.

suma dwóch zmiennych

zero jedynkowych

aby obliczyć cykl miesięczny musimy wprowadzić cztery zmienne zero jedynkowe

numer bieżący miesiąca:

t = (k-1)c+h

wahania sezonowe wprowadzają składnik losowy η_t (eta).

m - liczba wszystkich lat

np.

gdzie: t - numer bieżący kwartału

prognozy kwartalne

wyznacz prognozę na trzeci kwartał piątego roku:

k=5, H=3

T = (k-1)c+H

T = (5-1) 4+3 = 19

badany kwartał jest 19 z kolei badanym kwartałem

obliczamy prognozę:

Wykład 3 - 10.11.2001

Wyznaczanie tendencji rozwojowych zwanych trendami.

Metody adaptacyjne:

a) metoda średnich ruchomych - metoda wygładzania średnich czasowych.

t	Yt	(3)	(5)	(2)
1	2	-	-	-
2	4	3,3	-	3,5
3	4	5,3	4,0	5,0
4	8	4,7	4,8	5,5
5	2	5,3	4,4	4,5
6	6	3,3	4,4	4,0
7	2	4	-	3,5
8	4	-	-	-

obliczeń w tabeli dla średniej ruchomej scentrowanej trzyokresowej dokonano z wzoru:

a dla średniej ruchomej scentrowanej pięciookresowej z wzoru:

wykres szeregu
(3) oraz
(5) przedstawia się w sposób następujący:

Im więcej składowych tym przebieg jest bardziej łagodny. Zazwyczaj rozważamy średnie 5, 10, 30 i 100 okresowe.

Uogólnienie wzoru na dowolną liczbę składników:

• gdy k jest liczbą nieparzystą:

• gdy k jest liczbą parzystą:

dla k = 2

dla k = 4

dla dowolnej liczby parzystej:

b) średnie ruchome uprzednie:

wzór ogólny:

w szczególności:

Im większe „k” tym prognoza wyznaczona na podstawie tendencji długookresowej a im mniejsze „k” prognoza zależna od czynników bieżących.

przykład:

t	Yt			Ut(2)	Ut(4)	Ut^2(2)	Ut^2(4)
1	2	-	-	-	-	-	-
2	4	-	-	-	-	-	-
3	4	3	-	1	-	1	-
4	8	4	-	4	-	16	-
5	2	6	4,5	- 4	-2,5	16	6,25
6	6	5	4,5	1	-1,5	1	2,25
7	2	4	5,0	- 2	-3,0	4	9
8	4	4	4,5	0	-0,5	0	0,25
Σ				0	-4,5	38	17,75

wyznaczanie prognozy na okres 9:

• wyliczamy błędy prognoz ex - post na podstawie wzoru:

• średnie wartości błędów prognoz obliczamy z wzoru:

dla badanego przykładu:

prognoza przeszacowana

• wyznaczenie wariancji predykcji ex - post obliczamy z wzoru:

dla badanego przykładu:

⇒ S_p(2) = 2,52

⇒ S_p(4) = 2,11

wyniki obrazują odchylenia prognoz, ze względu na mniejszy błąd należy wybrać prognozę o parametrze 2,11.

4. uprzednia mediana ruchoma.

k = 1,2 ⇒ Me_t(k) =

przykład:

t	Yt	Met+1(3)	Met+1(4)
1	2	-	-
2	4	4	-
3	4	4	-
4	8	4	4
5	2	6	4
6	6	2	5
7	2	4	4
8	4	-	3

obliczenie do tabeli:

Me_t+1(3) - kolejność składników do obliczeń wpisywać rosnąco (od najmniejszej do największej).

mediana dla nieparzystej liczby składników jest składnikiem środkowym.

2,4,4 środkowa 4 czyli mediana

4,4,8 środkowa 4 czyli mediana

2,4,8 środkowa 4 czyli mediana

2,6,8 środkowa 6 czyli mediana

2,2,6 środkowa 2 czyli mediana

2,4,6 środkowa 4 czyli mediana

Me_t+1(4) - kolejność składników do obliczeń wpisywać rosnąco (od najmniejszej do największej).

mediana dla parzystej liczby składników jest średnią arytmetyczną środkowych dwóch operacji.

2,4,4,8 suma dwóch środkowych cyfr dzielona przez dwa 8:2 = 4

2,4,4,8 suma dwóch środkowych cyfr dzielona przez dwa 8:2 = 4

2,4,6,8 suma dwóch środkowych cyfr dzielona przez dwa 10:2 = 5

2,2,6,8 suma dwóch środkowych cyfr dzielona przez dwa 8:2 = 4

2,2,4,6 suma dwóch środkowych cyfr dzielona przez dwa 6:2 = 3

wyznaczanie kwantyli - gdy „k” jest duże:

Wykład 4 - 12.01.2002

Metody adaptacyjne cd.

1. wyrównywanie wykładnicze ma postać:

ocena trendów w okresie
jest równa:

ocena ta równa jest średniej wartości dwóch ważonych

prognoza na okres t+1 ma postać:

prognozę tę możemy również zapisać jako:

U_t - błąd prognozy

błąd prognozy okresu t+1

Sposoby wyznaczania parametru α.

W praktyce wykonujemy to w sposób arbitralny - jeśli szereg który mamy analizować przebiega w sposób stacjonarny.

Aby wyznaczyć α przyjmuje się, że:

α = 0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; ........................1,0

i dla każdego α wylicza się wartości trendu np.

k = 1,2 ............n

następnie obliczamy błędy prognozowania U_t,p(α)

następnie wyliczamy sumy kwadratów błędów prognozowania

przykład:

Cena akcji w poszczególnych pięciu notowaniach tworzy następujący szereg.

Wyznaczyć prognozę na okres szósty.

t	Yt
1	2	2,0	-	-	-
2	4	3,6	2,0	2	4,0
3	1	1,52	3,6	-2,6	6,76
4	5	4,3	1,52	3,5	12,25
5	5	4,86	4,3	0,7	0,49
6	-	-	4,86	-
Σ					23,50

dla obliczeń założono, że

Y₀ = Y₁ a α = 0,8

sposób obliczania

suma kwadratów Q(α) wynosi Q(0,8) = 23,5

możemy teraz obliczyć wariancję predykcji ex - post

2. metoda autoregresyjna

rozważamy ciąg obserwacji od Y₁ do Y_n

współczynnik autokorelacji rzędu „k”

(ro)
i należy do przedziału <-1,1>

estymator współczynnika:

modele autoregresyjne:

funkcja autoregresyjna rzędu „g”

model autoregresyjny rzędu pierwszego zachodzi gdy:

R_k > R_k+1 k = 1,2 ................. n

i ma postać:

Współczynnik autokorelacji rzędu pierwszego mierzy następujące współzależności:

B(Y_t,Y_t-1) > 0

B(Y_t, Y_k) = 0

dla k = 2,3 .................n

http://otior.w.interia.pl Prognozowanie i symulacje

______________________________________________________________________________

1

P_t, gdy y = 1

1 - p_t, gdy y = 0

rozkład Studenta

P, gdy y = 1

1 - p, gdy y = 0

rozkład normalny