4. GRANICA CIĄGU. GRANICA FUNKCJI.

Zad 4.1.

• Funkcję
  nazywamy ciągiem liczbowym, a jej wartości a(1), a(2),..., a(n),.... wyrazami ciągu. Ciąg oznaczamy symbolicznie {a_n}.

Jeśli a>0	Jeśli a<0
a( )=	a( )=
a( )=	a( )=
=	=
=	=

Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym:

Zad 4.2

				, , , ,
					Symbole nieoznaczone

Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym:

Zad 4.3

Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym:

Zad 4.4


Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym:

Zad 4.5

Tw. O trzech ciągach

Jeżeli

oraz ciągi skrajne są zbieżne
to ciąg
.

Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym:

Zad 4.6

Zad 4.7

Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym, wykorzystując następujący wzór:


,


Zad 4.8

• Liczbę g nazywamy granicą funkcji w punkcie
  , co zapisujemy
  , jeżeli istnieją granice lewostronna i prawostronna w punkcie
  i obie są równe liczbie g, tzn. jeżeli
  .

• Gdy
  lub gdy
  , mówimy, że funkcja f w punkcie
  ma granicę niewłaściwą.

Oblicz granicę funkcji w punkcie

• Gdy
  należy do dziedziny funkcji, do wzoru funkcji w miejsce x podstawiamy
  i wyliczamy wartość funkcji.

• Gdy
  nie należy do dziedziny funkcji - jeśli jest to możliwe, to przekształcamy tak ułamek, aby
  należał do dziedziny wyrażenia przekształconego, a następnie do wzoru funkcji w miejsce x podstawiamy
  i wyliczamy wartość funkcji.

• Przydatne wzory:
  ,
  ,
  

• Gdy
  nie należy do dziedziny funkcji i nie jest możliwe takie przekształcenie ułamka, aby
  należał do dziedziny wyrażenia przekształconego, otrzymujemy granicę niewłaściwą funkcji f w punkcie
  tzn.
  lub gdy
  .

• Należy wtedy sprawdzić, czy granica lewostronna równa się granicy prawostronnej

Zad 4.9

Liczbę g nazywamy granicą funkcji f przy
, jeżeli dla każdego ciągu argumentów
rozbieżnego do
odpowiadający mu ciąg wartości funkcji (f
) jest zawsze ciągiem zbieżnym do g, co zapisujemy:
. Podobnie definiujemy granicę funkcji, gdy
.

• W przypadku gdy we wzorze funkcji znajduje się wielomian, zawsze wyłączamy przed nawias zmienną w najwyższej potędze

Oblicz granicę funkcji w nieskończoności.

Zad 4.10

Oblicz granicę funkcji w nieskończoności.

• Przydatne wzory:
  ,
  

Zad 4.11

Oblicz granicę funkcji w punkcie

• Przydatne wzory
  


Zad 4.1. Zad 4.2

0		0	1
0	2	2	1
0	1	4	2
0		3
0	2	0
	10	1

Zad 4.4

Zad 4.3

		0			0
		3			0
1			1/3		1
1	1/2		0
0	-5/4
0	1

Zad 4.6

Zad 4.5

8		2/3		2/3		5
11		3/4		7
4	1/4		21/2		1
2	5/16		-9

Zad 4.7 Zad 4.8





Zad 4.8

P ,L	P ,L	P 0,L	P ,L	P 0, L 3
P ,L	P 0,L	P ,L 0	P ,L
P ,L	P ,L 0	P ,L	P ,L
P ,L	P ,L 0	P ,L	P ,L

Zad 4.9

	-4	-1
		1/2
	1/4	-1/2	3/2
3/2	1	-	3/2

Zad 4.11

6/5	8/3	3/4	2
a/b	a

Zad 4.10
0	0	e^-10	1/4
-1	e^4	e^3	1/10

Opracowała: K. Sokołowska 5

	5	-2	1/2
	0	-1/4	9/8
	-1/3	3	16/9
			8/27

e^3	1/e	1/e	e^3
e^2	e^10	e	e^6
e^-3	e^4	e
e^-2	e^2	e^8

13	11/5	1/8	1
-1	2/8	65/64

2/4	2/5	-15	27
1/6	1/20	16