Wahadło Oberbecka

I. Cel ćwiczenia

Badanie ruchu obrotowego bryły sztywnej, zachodzącej wokół stałej osi obrotu przechodzącej przez środek masy tej bryły. Do badania ruchu obrotowego wykorzystane będzie tzw. wahadło krzyżowe Oberbecka.

II. Zakres wymagań

Student przed przystąpieniem do ćwiczenia powinien znać następujące zagadnienia:

1.Dynamika punktu materialnego.

2.Elementy dynamiki ruchu obrotowego bryły sztywnej.

3.Siły tarcia w ruchu obrotowym.

III. Opis teoretyczny

Wahadło krzyżowe Oberbecka - badane ciało sztywne - jest to układ dwóch stosunkowo cienkich, sztywnych prętów wzajemnie prostopadłych, mogących się obracać wokół osi symetrii przechodzącej przez jego środek masy, prostopadle do płaszczyzny wyznaczonej przez te pręty.

Na pręty nałożone są symetrycznie względem osi obrotu cztery walce metalowe o różnych masach, które można zamocowywać w różnych odległościach od osi obrotu (pozwala to zmieniać moment bezwładności wahadła). Z osią przyrządu połączone są dwa współśrodkowe krążki o różnych promieniach, na które można nawijać nić obciążoną na drugim końcu odważnikami o różnych masach (umożliwia to zmienianie momentu siły).

Jeżeli na końcu nici przewieszonej przez bloczek zawiesimy ciężarek, to opadając wprawi on badaną bryłę (krążek) w ruch obrotowy.

Drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego zapisać można w postaci:

(1)

gdzie:

-suma momentów działających na ciało,

przyspieszenie kątowe bryły,

moment bezwładności względem osi obrotu.

Dla naszego układu drugą zasadę dynamiki można zapisać w postaci:

(2)

gdzie:

moment siły powodujący obrót,

całkowity moment sił tarcia.

Moment siły powodującej obrót określić można jako:

(3)

gdzie:

siła rozciągu nici, na której przez nieruchomy blok zawieszony jest ciężarek o masie m.,

promień krążka, na który nawinięta jest nić.

Równanie ruchu opadającego ruchem jednostajnie przyspieszonym ciężarka ma postać:

(4)

gdzie:

masa ciężarka zawieszonego na nici,

przyspieszenie liniowe opadającego ciężarka,

siła ciężarka, gdzie
.

Przyspieszenie kątowe obracającej się bryły
związane jest z przyspieszeniem
następująco:

(5)

z zależności (3) i (4), otrzymujemy, że:

(6)

Równanie (2) przybiera kształt:

(7)

z (5) i (7) otrzymujemy równanie na
:

(8)

stąd:

(9)

W warunkach eksperymentu:

a więc równanie (9) przyjmuje postać:

(10)

Przyspieszenie liniowe
opadającego ciężarka można wyznaczyć eksperymentalnie. Jeżeli ciężarek opadając przebędzie drogę
w czasie
to:

(11)

przy czym drogę
i czas
możemy mierzyć.

Ostatecznie uwzględniając, że
otrzymujemy z równania (10)

(12)

Powyższą zależność przyspieszenia kątowego
od momentu siły zewnętrznej powodującej obrót
będziemy sprawdzać eksperymentalnie przy pewnym ustalonym momencie bezwładności bryły (gdy
).

Jeżeli w prostokątnym układzie współrzędnych odłożymy na osi y zamierzone wartości przyspieszenia kątowego, a na osi x odpowiednio mgr, to, zgodnie z równaniem (12) eksperymentalne punkty powinny ułożyć się na prostej.

Nachylenie tej prostej wynosi
, a jej punkt przecięcia z osią x daje całkowity moment sił tarcia
.

Moment bezwładności wahadła Oberbecka
można wyrazić w następujący sposób:

(13)

gdzie:

masa każdego z czterech walców nałożonych na pręty wahadła

odległość środków tych walców od osi obrotu

moment bezwładności przyrządu bez walców (lecz także z uwzględnieniem bloczka).

Wartość
możemy wyznaczyć doświadczalnie badając zależność
dla wahadła bez mas
.

Za pomocą wahadła Oberbecka sprawdzić można także jak zmienia się przyspieszenie kątowe
w zależności od zmian momentu bezwładności
,

gdy moment siły powodującej obrót
ma wartość stałą.

Zgodnie z (12):

(14)

Dla ustalonego
zmieniamy położenia walców na prętach wahadła (różne
) i mierzymy odpowiednie przyspieszenie kątowe

Z (13) wynika, że poszczególne momenty bezwładności
wynoszą odpowiednio:

(15)

gdzie
ma wartość wyznaczalną w poprzednim pomiarze.

(16)

przy czym

IV. Opis stanowiska laboratoryjnego

Przyrządy: wahadło Oberbecka typu FPM - 06, suwmiarka.

Widok ogólny wahadła Oberbecka przedstawia poniższy rysunek:

Na pionowej kolumnie (1), osadzonej na podstawie (2) zamocowane są dwa wsporniki: nieruchomy dolny (3) i ruchomy górny (4) oraz dwie nieruchome tuleje: dolna (5) i górna (6). Podstawa wyposażona jest w regulowane nóżki (7) umożliwiające wypoziomowanie przyrządu.

Na tulei górnej (6), za pośrednictwem podstawy (8) zamocowany jest zespół ułożyskowania krążka (9) i krążek (10). Przez krążek przełożona jest nić (11). Jeden koniec nici przymocowany jest do dwustopniowego krążka (12) a na drugim końcu zamocowane są ciężarki wymienne (13).

Na tulei dolnej (5) za pośrednictwem podstawy (14) zamocowany jest elektromagnes hamujący (15), który po przyłączeniu do niego napięcia zasilającego, utrzymuje przy pomocy sprzęgła ciernego układ krzyżaka wraz z ciężarkami w stanie spoczynku.

Wspornik ruchomy (4) można przemieszczać wzdłuż kolumny i unieruchamiać w dowolnym położeniu, wyznaczając w ten sposób długość drogi spadania ciężarków. W celu odczytu długości drogi, na kolumnie naniesiona została skala milimetrowa (16).

Na wsporniku ruchomym (4) zamocowany jest również czujnik fotoelektryczny nr 1(17). Na wsporniku nieruchomym (3) zamocowany jest czujnik fotoelektryczny nr 2 (18) wytwarzający impuls elektryczny końca pomiaru czasu i włączający elektromagnes hamujący. Do wspornika tego zamocowany jest również wspornik (19) z gumowymi amortyzatorami o które uderzają kończące ruch ciężarki. Na podstawie przyrządu umieszczony jest milisekundomierz połączony z fotokomórkami i zasilany napięciem sieciowym. Na płycie czołowej milisekundomierza znajdują się następujące przyciski:

SIEĆ - wciśnięcie klawisza powoduje włączenie napięcia zasilającego i automatyczne wyzerowanie przyrządu;

START - wciśnięcie klawisza powoduje zwolnienie elektromagnesu oraz wyzerowanie impulsu umożliwiającego pomiar;

ZER - wciśnięcie klawisza powoduje wyzerowanie wskaźników milisekundomierza.

V. Przygotowanie układu do pomiarów

1. Za pomocą regulowanych nóżek wypoziomować przyrząd (sprawdzić, czy ciężarek zawieszony na nici w czasie spadania nie uderza w obudowy obu czujników fotoelektrycznych).

2. Przesunąć ruchomy górny wspornik (4) na maksymalną wysokość h i tak ustawić, aby spadające ciężarki przemieszczały się przez środek roboczych okien czujników.

3. Uziemić przyrząd (zacisk uziemiający znajduje się na płycie tylnej milisekundomierza).

4. Sprawdzić czy czujniki fotoelektryczne są podłączone z odpowiednimi gniazdami na płycie tylnej.

5. Po włączeniu przyrządu do sieci wcisnąć klawisz SIEĆ sprawdzając, czy wszystkie wskaźniki milisekundomierza wyświetlają zero oraz czy świecą żaróweczki obu czujników fotoelektrycznych.

6. Nawinąć odpowiednio nić na jeden z dwu współśrodkowych krążków.

7. Przenieś ciężarki zawieszone na nici w górne położenie i sprawdzić czy układ jest w spoczynku.

8. Po naciśnięciu klawisza START skontrolować, czy ciężarki spadają i czy milisekundomierz mierzy czas pokonania przez ciężarki drogi h. Sprawdzić, czy po przebyciu tej drogi układ został wyhamowany.

9. Po naciśnięciu klawisza ZER sprawdzić, czy miernik jest wyzerowany i czy zwolniona została blokada elektromagnetyczna.

VI. Pomiary

A. Sprawdzenie zależności:

1. Ustawić i zamontować walce na ramionach krzyżaka dla dowolnie wybranej, lecz jednakowej dla wszystkich walców odległości od osi obrotu R.

2. Zmierzyć promienie obu współśrodkowych krążków.

3. Nawinąć nić na krążek o mniejszym promieniu i zgrać dolną krawędź zawieszonego na nici ciężarka stałego z kreską na korpusie górnego czujnika fotoelektrycznego.

4. Odczytać na skali znajdującej się na kolumnie długość drogi spadania h.

5. Sprawdziwszy, że wskaźniki milisekundomierza są wyzerowane, wcisnąć klawisz START.

6. Po zatrzymaniu się ciężarka odczytać czas t jego spadku.

7. Wyzerować wskaźniki milisekundomierza i powtórzyć pomiar czasu t.

8. Zmierzyć, także dwukrotnie, czasy spadku zwiększając obciążenie nici przez kolejne dokładanie ciężarków ruchomych.

9. Powtórzyć pomiary zgodnie z operacjami {3}, {5}, {6}, {7}, {8} dla nici nawiniętej na współśrodkowy krążek o większym promieniu.

B. Wyznaczenie
.

1. Zdjąć wszystkie walce z ramion krzyżaka (układ będzie miał moment bezwładności
   ).

2. Wykonać pomiary zgodnie z operacjami {3}, {4}, {5}, {6}, {7},{8}.

C. Sprawdzenie zależności:

1. Nawinąć nić na wybrany krążek obciążając ją na końcu ciężarkami o wybranej masie (dobieramy pewne
   ).

2. Nałożyć walce na ramiona krzyżaka i dla różnych odległości tych walców
   od osi obrotu (przy czym za każdym razem wszystkie cztery walce muszą być w tej samej odległości) zmierzyć zgodnie z opisaną w punkcie A procedurą czasy spadku
   (przy ustalonym h)

3. Zmierzyć kolejno
   (czyli odległość środka cylindrów od osi obrotu). Za masy walców i ciężarków przyjąć wartości wygrawerowane.

VII. Opracowanie wyników pomiarów.

1.Wykreślić na papierze milimetrowym zależności:

1. 
   

2. 
   

Określić niepewność pomiarów i zaznaczyć je na wykresach.

Korzystając z wykresów ustalić wartości
i
.

Określić niepewność pomiarową wyznaczenia
i
.

2. Wykreślić na papierze milimetrowym zależność:

Ustalić wartość
określić odpowiednio niepewność pomiarową.

Sprawdzić, czy w granicach niepewności pomiarów jest zależność:

VIII.

1. Sprawdź, czy w warunkach przeprowadzonego eksperymentu istotnie spełniony jest stosunek:

2. Podaj, w jaki inny sposób - przy wykorzystaniu wahadła Oberbecka - można bezpośrednio określić wartość całkowitego momentu sił tarcia
.

IX. Literatura

1. A.K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski, Wstęp do fizyki, t.1, PWN, Warszawa 1976.

2. G. Białkowski, Mechanika klasyczna, PWN, Warszawa 1975.

---