1. Wstęp teoretyczny

1. Interferencja fal. Wyprowadzenie i dyskusja równania fali wypadkowej.

Interferencją nazywamy zjawisko nakładania się dwu lub więcej fal o tych samych częstotliwościach i amplitudach, różniących się fazami. Różnica faz powinna być stała w dostatecznie długim okresie czasu. Różnica faz takich fal występuje na przykład w skutek różnicy przebytych dróg. Równania falowe dla takich fal są następujące:

W danym punkcie w przestrzeni fale te wywołują drgania równoległe o różnicy faz

Wyprowadzenie równania fali wypadkowej

-korzystanie ze wzoru

Fala wypadkowa ma więc tę pulsację ale inną amplitudę równą
. Gdy fazy fal są zgodne
to amplituda fali wypadkowej wynosi 2A, mówimy wówczas, że fale się wzmacniają. Gdy fazy fal są przeciwne
to amplituda fali wypadkowej jest równa zeru. Mówimy wówczas, że fale się wygaszają.

Warunkiem koniecznym występowania interferencji fal jest to, aby różnica faz fal nakładających się była stała w czasie. Takie fale noszą nazwę spójnych.

.

2. Fale stojące. Równanie fali stojącej.

Fale stojące powstają wtedy, gdy spotykają się dwa ciągi fal, które mają te same częstotliwości i amplitudy, lecz rozchodzą się w przeciwnych kierunkach. Dzieje się tak często, gdy fala rozchodząc się w ośrodku ograniczonym napotyka na falę odbitą od granicy ośrodka bez straty energii rozchodząc się w kierunku przeciwnym.

W przypadku odbicia od ośrodka akustycznie gęstszego:

Dla punktów o maksymalnej amplitudzie (strzałek): B=2A

Dla punktów o minimalnej amplitudzie (węzłów): B=0

W przypadku odbicia od ośrodka akustycznie rzadszego:

Dla punktów o maksymalnej amplitudzie (strzałek): B=2A

Dla punktów o minimalnej amplitudzie (węzłów): B=0

3. Prędkość rozchodzenia się fal w ośrodkach sprężystych. Wyprowadzić wzór Newtona.

Rozchodzenie się fali w długim sprężystym pręcie o przekroju poprzecznym S. Niech działanie siły F w czasie
t powoduje przesunięcie przekroju S o odległość
l. W tym samym czasie wywołane działaniem siły rozchodzi się w pręcie na odległość l . zgodnie z drugą zasadą Nevtona musi być spełnione równanie:

v

F

l

Załóżmy, że wywołane działaniem siły odkształcenie pręta zawarte jest w granicach proporcjonalności czyli zakładamy , że spełnione są warunki , w których obowiązuje prawo Hooke'a. Podstawiając zamiast naprężenia p stosunek F/S mamy :

E- moduł Yanga

Masa cząstek objętych zaburzeniem iloczynom objętości Sl i gęstości materiału

m = S l

Zmiana prędkości cząstek pręta pozostających pierwotnie w spoczynku, a następnie przesuniętych w czasie
t odległość
l wynosi :

podstawiając do wzoru
otrzymujemy

stosunek l /
t wyraża prędkość rozchodzenia się zaburzenia . Oznaczamy ją symbolem v

- wzór NEVTONA

Ze wzoru wynika , że prędkość rozchodzenia się fali w pręcie jest proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego z modułu Yanga i odwrotnie proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego z gęstości.

Jeśli działanie siły wywołuje nie zmiany długości pręta lecz, odkształcenie objętościowe lub postaciowe , to prędkość fali wyraża się wzorami:

k - moduł sprężystości objętościowej

G - moduł sprężystości postaciowej

W przypadku rozchodzenia się fal sprężystych (objętościowych) w wodzie

a więc v =1432 m/s

Przy badaniu prędkości rozchodzenia się fal sprężystych w ośrodkach gazowych należy uwzględnić rodzaj zachodzącej przemiany: czy jest to przemiana izotermiczna , tj: zachodzi w stałej temperaturze, czy też jest adiabatyczna, to jest odbywa się bez wymiany ciepła z otoczeniem. W pierwszym przypadku obowiązuje prawo Boyle'a - Moniotte'a pV=const, w drugim prawo Poissona
Podczas przemian izotermicznych wartość modułu sprężystości objętościowej gazu równa się wartości ciśnienia k = p . Możemy wykazać , że w przemianach adiabatycznych k = Hp , gdzie
. W tym celu różniczkujemy równanie Poissona
i otrzymujemy

Znak minus przypomina , że wzrostowi ciśnienia odpowiada zmniejszenie się objętości gazu. Porównując ostatnie wyrażenie z prawem Hooke'a

Znajdujemy, że k=Hp

Rozchodzenie się fali głosowej w gazach odpowiada w przybliżeniu przemianom adiabatycznym. Wyznaczone doświadczalnie wartości prędkości rozchodzenia się fali głosowej w powietrzu zgodne są z wartościami obliczeniowymi ze wzoru

4. Równanie stanu gazu doskonałego. Masa molowa (cząsteczkowa).

Dla dostatecznie małych gęstości przy danej masie gazu utrzymywanego w stałej temperaturze jego ciśnienie jest odwrotnie proporcjonalne do objętości (prawo Boyle'a) i przy danej masie gazu utrzymywanego pod stałym ciśnieniem objętość jest wprost proporcjonalna do temperatury (prawo Charlesa i Gay-Lucassa).

Możemy podsumować te wnioski zapisując zależność:

Objętość zajmowana przez jego gaz jest przy stałym ciśnieniu i temperaturze proporcjonalna do jego masy.

Zamiast wyrażenia const w równaniu zapiszemy stałą nR, gdzie n - liczba moli gazu, a R - stała gazowa = 8,314 J/ mol K określana na podstawie doświadczeń, i otrzymujemy

pV=nRT, n=m/M

M - masa molowa, równa względnej masie atomowej

Równanie to nazywamy równaniem stanu gazu doskonałego lub r. Clapeyrona.

5. Budowa i zasada działania interferometru Quincke'go.

C D

B

A

Interferometr Quincke'go zbudowany jest z dwóch części (rur) zgiętych w kształt litery U tak, że ramiona jednej można wsuwać do ramion drugiej, zmieniając w ten sposób długość ramienia. Przez pomiar przesunięcia ruchomej części można łatwo wyznaczyć długość fali (odczytując kolejne maksima i minima).

Fala głosowa od wlotu A do punktu wyjścia D rozchodzi się dwoma drogami B i C. Ramię C może zmieniać swoją długość podobnie jak w puzonie. Dzięki takiej budowie fala w rurze D powstaje w wyniku nakładania się (interferencji ) dwóch fal cząstkowych biegnących ramionami B i C. Jeżeli długość dróg
, w ramionach B i C różni się o parzystą liczbę połówek fal, wtedy w ramieniu D obydwie fale wzmacniają się. Gdy różnica ta jest równa nieparzystej liczbie półfal, następuje wygaszenie fali w rurze D. Zmieniając długość ramienia C możemy uzyskać kolejne minima i maksima natężenia dźwięku w rurze D.

2. Obliczenia

1. Tabela pomiarów i wyniki

Temperatura powietrza				21^oC		294^oK
L.p.	ν [kHz]	rmax [mm]	Δrmax [mm]	rmin [mm]	Δrmin [mm]	λ [m]	V [m/s]
	2,5	43	69	18	69	0,138	345
1		112		83
	2,7	51	64	15	64	0,128	345,6
2		115		79
	3,0	40	58	13	58	0,116	348
3		98		71
	3,3	35	52	7	52	0,104	343,2
4		87		59
	3,5	38	48	7	48	0,96	336
5		86		55
	3,8	29	43	8	43	0,86	326,8
6		74		51
	4,0	34	43	0	43	0,86	344
7		77		43
	4,3	22	39	1	40	0,795	341,8
8		61		41
	4,5	33	37	4	37	0,74	333
9		70		41
	4,6	22	36	4	36	0,72	331,2
10		58		40
		Średnia prędkość dźwięku w powietrzu [m/s]					339,46
		Średnia masa cząsteczkowa powietrza [kg/kmol]					0,029

W tabeli pomiarów, w kolumnach Δr_max i Δr_min podałem już uśrednione wartości.

Długość fali λ obliczyłem ze wzoru
,
.

Prędkość fali dźwiękowej obliczałem z zależności
,
.

Średnią prędkość dźwięku w powietrzu obliczyłem ze wzoru
, i otrzymałem:

<v>=339,46 m/s

Aby obliczyć średnią masę cząsteczkową powietrza musiałem znaleźć zależność łączącą masę cząsteczkową powietrza, prędkość dźwięku w powietrzu i temperaturę:

κ = 1,40 R = 8,314 J/mol*K T = 21^oC = 294^oK V = 339,46 m/s

2. Rachunek błędów

Błąd pomiaru prędkości dźwięku obliczyłem metodą Gaussa, czyli metodą średniego błędu kwadratowego.




W tym przypadku wzór przyjmuje postać:




A zatem




Błąd wyznaczenia średniej masy cząsteczkowej powietrza obliczyłem metodą pochodnej logarytmicznej.




błąd względny błąd bezwzględny jest mianowany

4 Błąd pomiaru prędkości dźwięku metodą Gaussa:

1 Obliczam
ze wzoru:




2 Odliczam


Wynik zawiera tabela załączona do sprawozdania.

3 Obliczam


Wynik zawiera tabela załączona do sprawozdania.

4 Sumuję poszczególne





5 Wyliczam średnie odchylenie od wzoru:




6 Obliczam stałą h ze wzoru:




• Obliczam kolejne wartości
  ze wzoru:



































Wnioski

Po wykonaniu ćwiczenia średnia prędkość dźwięku wyniosła 339,46 m/s, a średnia masa cząsteczkowa 0,029 kg/kmol. Zmierzona prędkość odbiega od faktycznej prędkości dźwięku w powietrzu. Spowodowane to może być błędem pomiarowym wynikającym z klasy urządzenia pomiarowego. Stwierdzam, że gdyby przeprowadzić więcej pomiarów zmierzona prędkość byłaby dokładniejsza.

1

2