Niech 
będzie funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY
Niech
będzie funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej
Definicja ilorazu różnicowego
Niech 
oraz 
. Ilorazem różnicowym funkcji 
pomiędzy punktami 
i 
nazywamy liczbę 
.
Załóżmy, że 
wraz z pewnym otoczeniem (otoczeniem lewostronnym, otoczeniem prawostronnym).
Definicja pochodnej .
Pochodną (pochodną lewostronną, prawostronną) funkcji 
w punkcie 
nazywamy granicę 
(
, 
) o ile ona istnieje. Oznaczamy ją wtedy jako 
(
,
).
Definicja różniczkowalności funkcji.
Mówimy, że funkcja 
jest różniczkowalna (różniczkowalna lewostronnie, prawostronnie) w punkcie 
jeśli ma w tym punkcie skończoną pochodną (pochodną lewostronną, prawostronną).
Mówimy, że funkcja 
jest różniczkowalna w przedziale otwartym, jeśli jest różniczkowalna w każdym punkcie tego przedziału.
Mówimy, że funkcja 
jest różniczkowalna w przedziale domkniętym, jeśli jest różniczkowalna w każdym punkcie wewnętrznym tego przedziału, oraz prawostronnie różniczkowalna w lewym krańcu i lewostronnie różniczkowalna w prawym krańcu.
Definicja kąta nachylenia.
Niech 
będzie dowolną prostą na płaszczyźnie
w której
oznacza oś odciętych. Jeśli 
, to przyjmujemy, że kątem nachylenia prostej 
jest zero. Jeśli 
to przyjmujemy, że kątem nachylenia prostej 
jest kąt, którego jednym z ramion jest 
, a drugim odcinek 
przebiegający w górnej półpłaszczyźnie.
Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego i pochodnej.
Prostą przechodzącą przez punkty, 
,
nazywać będziemy sieczną. Zauważmy, że iloraz różnicowy funkcji 
pomiędzy punktami 
i 
jest tangensem kąta nachylenia siecznej. Przy ustalonym 
i 
zmierzającym do 
zauważamy, że sieczne wyznaczone przez te punkty przyjmują w granicy o ile ona istnieje położenie prostej, którą nazwiemy styczną do wykresu funkcji w punkcie
. Pozwala to na spostrzeżenie, że pochodna funkcji jest tangensem kąta nachylenia stycznej do wykresu funkcji w punkcie 
.
Wniosek.
Równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie 
ma postać 
.
Definicja.
Normalną do wykresu funkcji f w punkcie 
nazywamy prostą prostopadłą do stycznej w tym punkcie i przechodzącą przez ten punkt.
Definicja.
Niech funkcje f i g przecinające się w punkcie o odciętej będą różniczkowalne w 
. Kątem przecięcia wykresów funkcji f i g nazywamy nie większy od prostego kąt 
, pomiędzy stycznymi do wykresów tych funkcji w punkcie ich przecięcia.
Wniosek. 
.
Twierdzenie.
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w pewnym punkcie, to jest w tym punkcie ciągła.
Uwaga. Twierdzenie odwrotne jest fałszywe. (przykład [Author ID0: at Tue Aug 14 13:07:00 2001
][Author ID0: at Tue Aug 14 13:07:00 2001
]
[Author ID0: at Tue Aug 14 13:07:00 2001
])
Twierdzenie.
Jeżeli f i g są różniczkowalne w punkcie 
oraz 
, to funkcje
[Author ID0: at Tue Aug 14 13:07:00 2001
][Author ID0: at Tue Aug 14 13:07:00 2001
]
[Author ID0: at Tue Aug 14 13:07:00 2001
]są różniczkowalne w tym punkcie, oraz prawdziwe są wzory:
[Author ID0: at Tue Aug 14 13:10:00 2001
][Author ID0: at Tue Aug 14 13:10:00 2001
]
[Author ID0: at Tue Aug 14 13:10:00 2001
]
Ostatni wzór jest prawdziwy przy dodatkowym założeniu, że 
.
Uwaga. Twierdzenie powyższe jest prawdziwe również dla pochodnych jednostronnych oraz dla pochodnych niewłaściwych, o ile nie występują symbole nieoznaczone.
Twierdzenie (o pochodnej funkcji złożonej).
Jeśli funkcja 
jest różniczkowalna w punkcie 
, zaś funkcja 
jest różniczkowalna w punkcie 
to funkcja 
jest różniczkowalna w punkcie 
przy czym [Author ID0: at Tue Aug 14 13:19:00 2001
][Author ID0: at Tue Aug 14 13:19:00 2001
]
[Author ID0: at Tue Aug 14 13:19:00 2001
].
Twierdzenie (o pochodnej funkcji odwrotnej)
Niech U będzie dowolnym podzbiorem otoczenia punktu 
oraz f dowolną funkcją taką, że
. Jeśli 
jest ciągłą i różnowartościową funkcją różniczkowalną w punkcie 
, taką, że 
, to funkcja odwrotna 
jest różniczkowalna w punkcie 
i 
.
Uwaga. Twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej i pochodnej funkcji odwrotnej są prawdziwe również dla pochodnych jednostronnych i dla pochodnych niewłaściwych, o ile nie występują symbole nieoznaczone.
Wzory na pochodne funkcji elementarnych
Definicja różniczki .
Niech funkcja f będzie różniczkowalna w punkcie 
. Różniczką funkcji f w punkcie 
nazywamy funkcję liniową, która dowolnej liczbie rzeczywistej 
przypisuje liczbę 
. Różniczkę funkcji f w punkcie 
będziemy oznaczać jako 
.
Uwaga. Zauważmy, że różniczka funkcji identycznościowej obliczana w dowolnym punkcie przypisuje dowolnej liczbie rzeczywistej 
nią samą. Stąd wniosek, że 
. Ponieważ różniczka funkcji f w dowolnym punkcie 
to 
, więc możemy zapisać, że 
. W powyższym wzorze 
jest funkcją, 
jest funkcją, a 
jest liczbą. Wzór ten można zapisać w postaci 
. Jest on oczywiście prawdziwy dla dowolnego argumentu 
i stwierdza, że iloraz dwóch różniczek jest funkcją stałą. Argument 
z przyczyn praktycznych w powyższym wzorze nie występuje.
Definicja pochodnej rzędu n (indukcja).
Załóżmy, że 
wraz z pewnym otoczeniem, oraz że zdefiniowaliśmy już pochodną 
funkcji 
rzędu 
w każdym punkcie wspomnianego otoczenia. Jeśli 
jest funkcją różniczkowalną w punkcie 
to jej pochodną w tym punkcie nazywać będziemy pochodną rzędu 
funkcji 
w punkcie 
. Pochodną rzędu 
funkcji 
w punkcie 
oznaczać będziemy jako 
. Przyjmujemy ponadto, że 
.
Twierdzenie
Jeżeli f i g mają pochodne rzędu 
w punkcie 
, to funkcja 
ma pochodną rzędu n w punkcie 
i wyraża się ona wzorem
(wzór Leibniza).
Załóżmy, że 
.
TWIERDZENIA O WARTOŚCI ŚREDNIEJ:
Twierdzenie (ROLLE'A)
Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale [Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001
][Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001
]
[Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001
], różniczkowalna w przedziale [Author ID0: at Tue Aug 14 14:57:00 2001
][Author ID0: at Tue Aug 14 14:57:00 2001
]
[Author ID0: at Tue Aug 14 14:57:00 2001
], oraz [Author ID0: at Tue Aug 14 14:58:00 2001
][Author ID0: at Tue Aug 14 14:58:00 2001
]
[Author ID0: at Tue Aug 14 14:58:00 2001
], to istnieje przynajmniej jeden punkt [Author ID0: at Tue Aug 14 14:59:00 2001
][Author ID0: at Tue Aug 14 14:59:00 2001
]
[Author ID0: at Tue Aug 14 14:59:00 2001
] taki, że 
.
Twierdzenie (CAUCHE'EGO )
Jeżeli funkcje 
i 
są ciągłe w przedziale [Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001
][Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001
]
[Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001
], różniczkowalne w przedziale [Author ID0: at Tue Aug 14 14:57:00 2001
][Author ID0: at Tue Aug 14 14:57:00 2001
]
[Author ID0: at Tue Aug 14 14:57:00 2001
] to istnieje przynajmniej jeden punkt [Author ID0: at Tue Aug 14 14:59:00 2001
][Author ID0: at Tue Aug 14 14:59:00 2001
]
[Author ID0: at Tue Aug 14 14:59:00 2001
] taki, że
.
Twierdzenie (LAGRANGEA).
Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale [Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001
][Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001
]
[Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001
]i różniczkowalna w przedziale [Author ID0: at Tue Aug 14 14:57:00 2001
][Author ID0: at Tue Aug 14 14:57:00 2001
]
[Author ID0: at Tue Aug 14 14:57:00 2001
], to istnieje punkt [Author ID0: at Tue Aug 14 14:59:00 2001
][Author ID0: at Tue Aug 14 14:59:00 2001
]
[Author ID0: at Tue Aug 14 14:59:00 2001
] taki, że 
.
Powyższe trzy twierdzenia zwane są twierdzeniami o wartości średniej.
Twierdzenie.(warunki dostateczne monotoniczności funkcji)
Niech funkcja 
będzie różniczkowalna w przedziale [Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001
][Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001
]
[Author ID0: at Tue Aug 14 14:56:00 2001
].
Jeśli
to funkcja f jest stała w przedziale I.
Jeśli 
to funkcja f jest rosnąca w przedziale I.
Jeśli 
to funkcja f jest niemalejąca w przedziale I.
Jeśli 
to funkcja f jest malejąca w przedziale I.
Jeśli 
to funkcja f jest nierosnąca w przedziale I.
Twierdzenie.
Jeżeli funkcja 
jest różniczkowalna w przedziale I oraz jest niemalejąca w tym przedziale, to
.
Twierdzenie.
Jeżeli funkcja 
jest różniczkowalna w przedziale I, to jest ona rosnąca w tym przedziale, wtedy i tylko wtedy, gdy 
oraz zbiór 
nie zawiera przedziału.
Twierdzenie.
Niech 
, 
będą funkcjami różniczkowalnymi na przedziale I oraz niech 
. Jeżeli 
oraz 
, to 
.
Twierdzenie. (REGUŁA DE L'HOSPITALA)
Niech 
i 
będą funkcjami różniczkowalnymi w pewnym sąsiedztwie 
punktu 
oraz
. Jeżeli 
, oraz istnieje granica 
(właściwa lub nie), to istnieje również granica 
przy czym 
.
Uwaga: twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Twierdzenie (WZÓR TAYLORA)
Jeśli funkcja f ma ciągłą pochodną rzędu 
w przedziale 
oraz pochodną rzędu 
w przedziale 
, to istnieje punkt 
taki, że 
. Ostatni składnik sumy występującej w powyższym wzorze oznaczać będziemy jako
i nazywać resztą w postaci Lagrange'a. Tak więc 
Definicja.
Funkcja f osiąga w punkcie 
maksimum (minimum) lokalne, jeżeli 
(
).
Definicja.
Funkcja f osiąga w punkcie 
maksimum (minimum) lokalne właściwe, jeżeli 
(
).
Maksima i minima funkcji nazywamy ekstremami tej funkcji.
Twierdzenie Fermata. (warunek konieczny istnienia ekstremum).
Jeżeli funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie 
oraz jest różniczkowalna w tym punkcie, to 
.
Twierdzenie. ( I warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego .
Załóżmy, że 
. Przyjmijmy, że
jest ciągła na 
i różniczkowalna na 
. Jeśli 
to 
ma w punkcie 
minimum właściwe. Jeśli 
to 
ma w punkcie 
maksimum właściwe.
Twierdzenie. (II warunek wystarczający).
Jeżeli funkcja f ma pochodną rzędu 
w pewnym otoczeniu punktu
, ciągłą w punkcie 
, oraz 
, 
, to w przypadku gdy n jest liczbą parzystą, funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie 
. Jest to maksimum właściwe, gdy 
, zaś minimum właściwe, gdy 
. Jeśli n jest liczbą nieparzystą, to f nie ma ekstremum lokalnego w punkcie 
.
Definicja ekstremum absolutnego.
Niech 
i niech f będzie funkcją rzeczywistą taka, że 
. Mówimy, że 
osiąga w punkcie 
maksimum (minimum) absolutne na zbiorze A, jeżeli
Twierdzenie
Niech 
będzie ciągła w przedziale 
i różniczkowalna w 
. Funkcja 
osiąga w tym przedziale swoje ekstrema absolutne w punktach zbioru 
Definicja.
Załóżmy, że 
jest funkcją różniczkowalną w punkcie
. Funkcję 
nazywamy wypukłą (wklęsłą) w punkcie 
jeśli 
(
). Funkcję 
nazywamy wypukłą (wklęsłą) na przedziale 
, gdy jest wypukła (wklęsła) w każdym punkcie tego przedziału.
Twierdzenie (warunek wystarczający wypukłości (wklęsłości))
Załóżmy, że istnieje druga pochodna funkcji 
w przedziale 
. Jeśli 
(
) to funkcja 
jest wypukła (wklęsła) na 
.
Definicja punktu przegięcia
Mówimy, że funkcja
ciągła w punkcie 
ma w punkcie 
punkt przegięcia, jeśli funkcja ta jest wypukła (wklęsła) na pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu 
i wklęsła (wypukła) na pewnym prawostronnym sąsiedztwie punktu 
.
Twierdzenie (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia )
Jeśli funkcja 
ma pochodną rzędu drugiego w pewnym otoczeniu punktu 
ciągłą w 
i 
jest punktem przegięcia funkcji 
to 
.
Twierdzenie ( I warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia).
Załóżmy, że 
. Przyjmijmy, że
ma pochodną rzędu pierwszego na 
i pochodną rzędu drugiego na 
. Jeśli 
lub 
to 
ma w punkcie 
punkt przegięcia.
Twierdzenie. (II warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia
Jeżeli funkcja f ma pochodną rzędu 
w pewnym otoczeniu punktu
, ciągłą w punkcie 
, oraz 
, 
, to w przypadku gdy n jest liczbą nieparzystą, funkcja f ma w punkcie 
punkt przegięcia.. Jeśli n jest liczbą parzystą, to f nie ma punktu przegięcia w punkcie 
.
Definicja asymptoty pionowej
Załóżmy, że 
jest funkcją określoną na pewnym sąsiedztwie punktu
. Prostą o równaniu 
nazywamy asymptotą pionową funkcji 
gdy 
.
Definicja asymptoty poziomej
Załóżmy, że 
jest funkcją określoną na pewnym przedziale 
. Prostą o równaniu 
nazywamy asymptotą ukośną w minus nieskończoności (plus nieskończoności) funkcji 
gdy 
(
).
Twierdzenie o współczynnikach asymptoty ukośnej
Prosta o równaniu 
jest asymptotą ukośną funkcji 
w minus nieskończoności (plus nieskończoności) wtedy i tylko wtedy gdy 
(