1. Definicja pochodnej funkcji i interpretacja geometryczna.

● Pochodną funkcji f w punkcie wewnętrznym
nazywamy liczbę, którą oznaczamy i określamy następująco:
, przy założeniu, ze powyższa granica istnieje i jest skończona.

Natomiast liczby oznaczone i określane następująco:
i
, nazywamy odpowiednio pochodną prawostronną i pochodną lewostronną funkcji f w punkcie
.

Funkcja ma pochodną w punkcie gdy ma równe obydwie pochodne jednostronne w tym punkcie.

● Interpretacja geometryczna pochodnej:

Pochodna
w punkcie
jest równa tangensowi kąta nachylenia stycznej do wykresu funkcji
w punkcie
względem osi X.

Równanie prostej stycznej (k) do wykresu funkcji f w punkcie
ma postać:
.

2. Definicja różniczki funkcji i interpretacja geometryczna. Twierdzenie o przyroście i jego zastosowania.

● Niech funkcja f ma w punkcie wewnętrznym
pochodną
. Różniczką funkcji f w punkcie
nazywamy funkcją liniową, którą oznaczamy i określamy wzorem:
,
.

Różniczkę funkcji
można oznaczać krótko przez df.

● Interpretacja geometryczna różniczki:

● Twierdzenie (o przedstawianiu przyrostu funkcji):

Jeśli funkcja f ma w punkcie wewnętrznym
pochodną
, to jej przyrost można przedstawić w postaci
dla
, przy czym
.

● Zastosowanie różniczki:

Gdy funkcja f ma w punkcie wewn.
pochodną
i przyrost argumentu dx jest bliski 0, to:

1) przyrost funkcji można przybliżyć różniczką, a więc
dla
gdzie
bliskie 0.

2) wartość funkcji można przybliżyć wzorem
dla
gdzie
bliskie 0.

3. Podać twierdzenie de L'Hospitala.

● Twierdzenie de L'Hospitala:

Jeśli:
1) funkcje f i g mają pochodną w pewnym sąsiedztwie punktu
,

2) granice
(lub
),

3) istnieje granica
właściwa lub niewłaściwa,

to istnieje granica
.

Uwaga: Twierdzenie to jest słuszne, gdy punkt
jest niewłaściwy (
lub
), oraz jest słuszne dla granic jednostronnych.

4. Podać twierdzenie Lagrangea wraz z interpretacją geometryczną. Wnioski z twierdzenia.

● Twierdzenie Lagrangea:

Jeśli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
i pochodną w przedziale
to istnieje punkt
taki, że:
.

● Interpretacja geometryczna twierdzenia Lagrangea:

Istnieje na wykresie funkcji taki punkt
, że styczna do wykresu w tym punkcie jest równoległa do siecznej przechodzącej przez punkty
i
.

● Wnioski z twierdzenia Lagrangea:

Jeśli funkcja f ma pochodną w przedziale
oraz:

1)
to funkcja f jest rosnąca w przedziale I;

2)
to funkcja f jest malejąca w przedziale I;

3)
to funkcja f jest stała w przedziale I.

5. Podać twierdzenie Taylora.

● Twierdzenie (wzór Taylora):

Jeśli funkcja f ma pochodną n-tego rzędu w przedziale
, to dla ustalonego punktu
i dowolnego punktu
istnieje liczba
taka, że zachodzi wzór:

, gdzie:
- reszta Lagrangea.

● Wniosek z twierdzenia Taylora:

Dla wartości x bliskich
wartość funkcji f(x) można przybliżyć wielomianem n-1 stopnia, a więc:

, dla
, δ bliskie 0; przy czym moduł reszty
określa błąd tego przybliżenia.

6. Definicja ekstremum funkcji (rys.). Warunek konieczny na ekstremum i uwagi.

●
Mówimy, że funkcja f ma w punkcie wewnętrznym
:

1. maximum lokalne (właściwe)
   

2. minimum lokalne (właściwe)
   

Maxima i minima lokalne nazywamy ekstremami.

● Twierdzenie (warunek konieczny na ekstremum):

Jeśli funkcja f ma w punkcie wewnętrznym
ekstremum lokalne i ma w tym punkcie pochodną
, to
.

● Uwaga:

Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe:

np. funkcja
ma pochodną
taką, że
, ale nie ma w punkcie
ekstremum.

7. Podać pierwszy i drugi warunek dostateczny na ekstremum.

● Twierdzenie (pierwszy warunek dostateczny na istnienie ekstremum):

Jeśli funkcja f jest ciągła w punkcie wewnętrznym
i ma pochodną w sąsiedztwie
taką, że spełnione są warunki:

, to funkcja ma w punkcie
maximum (minimum) lokalne właściwe.

● Twierdzenie (drugi warunek dostateczny na istnienie ekstremum):

Jeśli funkcja f ma n-tą pochodną parzystego rzędu w pewnym otoczeniu punktu wewnętrznego
ciągłą w tym punkcie oraz
i
to funkcja ma w punkcie
minimum (maximum) lokalne właściwe. Dowód wynika ze wzoru Taylora.

8. Definicja funkcji pierwotnej. Twierdzenie podstawowe o funkcjach pierwotnych z dowodem. Definicja całki nieoznaczonej.

● Funkcją pierwotną funkcji f w przedziale
nazywamy funkcję F określoną w tym przedziale, taką, że:
dla
.

Poszukiwanie funkcji pierwotnej danej funkcji jest operacją odwrotną do wyznaczania pochodnej.

● Twierdzenie (podstawowe o funkcjach pierwotnych):
Każde dwie funkcje pierwotne F i G funkcji f w przedziale I różnią się o funkcję stałą, co oznacza, że
dla
.

Dowód: Niech funkcje F i G będą pierwotne funkcji f w przedziale I. Rozpatrzmy funkcję
dla
. Ponieważ
dla
to z wniosku trzeciego twierdzenia Lagrangea wynika, że:
dla

dla
. [„Co należało udowodnić!”]

● Całką nieoznaczoną funkcji f w przedziale I nazywamy zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f w przedziale I, który oznaczamy:
, gdzie F jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale I, a C jest dowolną stałą.

● Wyznaczanie funkcji pierwotnej danej funkcji nazywamy całkowaniem tej funkcji.

O funkcji, która ma w przedziale funkcję pierwotną mówimy, że jest całkowalna w tym przedziale.

9. Podać twierdzenia o całkowaniu przez części i podstawianiu.

● Twierdzenie (o całkowaniu przez części)

Jeśli funkcje u i v mają ciągłe pochodne w przedziale I, to zachodzi wzór
dla
.

● Twierdzenie (o całkowaniu przez podstawianie
)

Jeśli funkcja h ma ciągłą pochodną w przedziale I a funkcja g jest ciągła w przedziale h(I) to zachodzi wzór:
dla
.

10. Wstęp do definicji i definicja całki oznaczonej właściwej z uwagami.

● Niech funkcja f będzie określona i ograniczona w przedziale domkniętym
. Przedział domknięty
dzielimy na n przedziałów dowolnie wybranymi punktami
, przy czym
. ● Opisany podział przedziału
na n przedziałów
dla
oznaczamy symbolem
, a więc
. ● Długość przedziału
oznaczamy przez
, a więc
dla
. ● Największą z liczb
dla
nazywamy średnią przedziału
i oznaczamy przez
, a więc:
. ● W każdym przedziale
wybieramy po jednym punkcie
dla
. ● Tworzymy sumę całkową podziału
, a więc
. ● Weźmy następnie ciąg podziałów
przedziału
taki, że
, który nazywamy ciągiem podziałów normalnych.

● Jeśli dla każdego ciągu podziałów normalnych
przedziału
i dowolnym wyborze punktów
ciąg sum całkowych
jest zbieżny do tej samej granicy właściwej, to granicę tę nazywamy całką oznaczoną Reimanna funkcji f po przedziale
i oznaczamy:
. Przedział
nazywamy przedziałem całkowania funkcji f, liczbę a (b) nazywamy dolną (górną) granicą całkowania, a f nazywamy funkcją podcałkową.

● Uwagi:

1) Jeśli funkcja f jest całkowalna w przedziale domkniętym to jest ograniczona w tym przedziale, ale nie odwrotnie. Stąd wynika, że funkcja nieograniczona w przedziale nie jest w tym przedziale całkowalna, a funkcja ograniczona w przedziale może być w tym przedziale całkowalna;

2) Istnieją funkcje ograniczone w przedziale domkniętym, które nie są w tym przedziale całkowalne, np. funkcja Dirichletta, która jest ograniczona w przedziale domkniętym
, ale nie jest w nim całkowalna.

3) Każda funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest w tym przedziale całkowalna;

4) Istnieją funkcje ograniczone i nieciągłe w przedziale domkniętym, które są całkowalne w tym przedziale. Funkcjami takimi są funkcje ograniczone, posiadające tylko skończoną liczbę punktów nieciągłości w tym przedziale;

5)
;

6) Symbol całki oznaczonej można rozszerzyć:

a)
b)
gdy
.

11. Własności całki oznaczonej. Podać twierdzenia o wartości średniej i główne.

● Własności całki oznaczonej:

1) Jeśli funkcja f jest całkowalna na przedziale
i
to funkcja
jest też całkowalna na tym przedziale i zachodzi wzór:
;

2) Jeśli funkcje f i g są całkowalne na przedziale
, to funkcja f+g też jest całkowalna na tym przedziale i zachodzi wzór:
;

3) Jeśli funkcja f jest całkowalna na przedziale
i
to jest całkowalna w przedziale
i
oraz zachodzi wzór:
;

4) Jeśli funkcje f i g są całkowalne na przedziale
oraz
dla
to zachodzą nierówności:
;

5) Jeśli funkcja f jest całkowalna na przedziale
, to funkcja
jest też całkowalna na tym przedziale i zachodzi nierówność:
;

6) Jeśli funkcja f jest całkowalna na przedziale
, to zachodzi nierówność

i

.

● Twierdzenie (o wartości średniej dla całki oznaczonej):
Jeśli funkcja f jest ciągła w przedziale
to jest całkowalna w tym przedziale i istnieje punkt
taki, że zachodzi równość:
.

● Twierdzenie (pierwsze twierdzenie główne rachunku całkowego):

Jeśli funkcja f jest ciągła w przedziale
, to funkcja
dla
ma pochodną w przedziale
oraz
dla
.

● Twierdzenie (drugie twierdzenie główne rachunku całkowego):

Jeśli funkcja f jest ciągła w przedziale
a funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale
to zachodzi wzór:
.

12. Definicja całki niewłaściwej pierwszego rodzaju.

Niech funkcja f będzie określona w przedziale nieograniczonym
i będzie ograniczona oraz całkowalna w każdym przedziale
dla
. Całką niewłaściwą pierwszego rodzaju funkcji f po przedziale
nazywamy granicę właściwą, którą oznaczamy:
.

Gdy powyższa granica jest niewłaściwa lub nie istnieje, to mówimy, że całka niewłaściwa pierwszego rodzaju jest rozbieżna, a w pewnym przypadku mówimy, że jest zbieżna.

13. Definicja całki niewłaściwej drugiego rodzaju.

Niech funkcja f będzie określona w przedziale ograniczonym
i będzie nieograniczona w lewostronnym sąsiedztwie punktu b oraz całkowalna w każdym przedziale
dla
. Całką niewłaściwą drugiego rodzaju funkcji f po przedziale
nazywamy granicę właściwą, którą oznaczamy:
.

Gdy powyższa granica jest niewłaściwa lub nie istnieje, to mówimy, że całka niewłaściwa drugiego rodzaju jest rozbieżna, a w pewnym przypadku mówimy, że jest zbieżna.

14. Zastosowania geometryczne całek z interpretacją geometryczną.

● Pole obszaru płaskiego:

Niech funkcje f i g będą ciągłe w przedziale domkniętym
oraz
dla
.

Wtedy pole obszaru D wyraża się wzorem:
.

● Długość łuku krzywej płaskiej:

Niech funkcja f będzie klasy C¹ w przedziale
.

Wtedy długość łuku krzywej L:
dla

jest określona wzorem:
.

● Objętość i pole powierzchni bocznej obszaru obrotowego.

- Niech funkcja f będzie ciągła w przedziale
.

Objętość obszaru płaskiego powstałego przez obrót krzywej L:
dla
dookoła osi X wyraża się wzorem:
.

- Niech funkcja będzie klasy C¹ w przedziale
. Pole powierzchni bocznej obszaru powstałego przez obrót krzywej L:
dla
wokół osi X wyraża się wzorem:
.

15. Definicja szeregu i zbieżności.

● Szeregiem liczbowym nieskończonym utworzonym z ciągu liczbowego
nazywamy formalną sumę wyrazów tego ciągu którą oznaczamy:

Liczbę
nazywamy n-tym wyrazem tego szeregu a liczbę
nazywamy n-tą sumą częściową szeregu.

● Mówimy, że szereg liczbowy
jest zbieżny wtedy, gdy ciąg sum częściowych (S_n) tego szeregu jest zbieżny do granicy skończonej (właściwej), co oznacza że
.

Liczbę S nazywamy sumą tego szeregu i zapisujemy że:
. Szereg który nie jest zbieżny nazywamy rozbieżnym. Szereg zbieżny ma sumę, a rozbieżny nie ma sumy.

16. Kryterium całkowe i porównawcze zbieżności szeregu.

● Twierdzenie (kryterium całkowe):
Jeśli funkcja f jest nieujemna i ciągła w przedziale
, to szereg
jest zbieżny (rozbieżny) gdy całka niewłaściwa
jest zbieżna (rozbieżna).

Interpretacja geometryczna kryterium w przypadku gdy całka niewłaściwa jest zbieżna:

● Twierdzenie (kryterium porównawcze):

Jeśli
oraz:

a) szereg
jest zbieżny, to szereg
też jest zbieżny;

b) szereg
jest rozbieżny, to szereg
też jest rozbieżny.

17. Definicja zbieżności bezwzględnej i warunkowej szeregu. Kryteria d'Alamberta i Cauchyego.

● Mówimy, że szereg zbieżny
jest:
a) zbieżny bezwzględnie, gdy szereg modułów
jest zbieżny;

b) zbieżny warunkowo, gdy szereg modułów
jest rozbieżny.

● Twierdzenie (o zbieżności bezwzględnej):

Jeżeli szereg
jest zbieżny, to szereg
jest zbieżny (bezwzględnie).

● Twierdzenie (kryterium d'Alamberta):

Jeśli istnieje granica skończona lub nieskończona
oraz:

1)
to szereg
jest zbieżny bezwzględnie;

2)
to szereg
jest rozbieżny;

3)
to nic nie wiadomo.

● Twierdzenie (kryterium Cauchyego):

Jeśli istnieje granica skończona lub nieskończona
oraz:

1)
to szereg
jest zbieżny bezwzględnie;

2)
to szereg
jest rozbieżny;

3)
to nic nie wiadomo.

18. Szeregi przemienne. Kryterium Leibnitza.

● Niech
dla
. Szereg liczbowy postaci:
nazywamy szeregiem przemiennym.

● Twierdzenie (kryterium Leibnitza):
Jeśli:

1)
;

2)
[ciąg (b_n) jest nierosnący];

3)
;

to szereg przemienny
jest zbieżny.

19. Definicja szeregu potęgowego i promienia zbieżności.

● Szeregiem potęgowym o środku w punkcie
nazywamy szereg funkcyjny postaci:
. Ustalone liczby rzeczywiste
nazywamy współczynnikami szeregu potęgowego. Łatwo zauważyć, że szereg potęgowy jest zawsze zbieżny w punkcie
(wtedy
.

● Promieniem zbieżności szeregu potęgowego
nazywamy liczbę
taką, że szereg jest zbieżny w przedziale
, z rozbieżny w zbiorze
.

Gdy szereg potęgowy jest zbieżny tylko w punkcie
to przyjmujemy, że R=0.

Gdy szereg potęgowy jest zbieżny w każdym punkcie
, to przyjmujemy, że R=∞.

20. Twierdzenie o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora. Podstawowe rozwinięcia.

● Twierdzenie (o rozwijaniu funkcji w szereg potęgowy):

Niech funkcja f będzie klasy
w przedziale
. Wtedy dla ustalonego punktu
i dowolnego punktu
istnieje liczba
taka, że zachodzi wzór Taylora:
, gdzie:
dla
.

● Jeśli dla ustalonego
granica
to funkcję można przedstawić w postaci sumy szeregu potęgowego Taylora o środku w punkcie
, a więc:
dla
, lub krótko:
dla
.

Gdy
to szereg Taylora nazywamy szeregiem Maclaurina.

Strona 9 z 10

- ta suma jest równa polu obszaru zakresko-wanego