KRYTERIUM NYQUISTA
Kryterium Nyquista ma duże znaczenie praktyczne, ponieważ pozwala badać stabilność układu zamkniętego na podstawie przebiegu charakterystyki częstotliwościowej układu otwartego, którą można wyznaczyć zarówno analitycznie, jak i doświadczalnie.
Rozpatrzmy układ liniowy o schemacie blokowym przedstawionym na rysunku.
Rys. Schemat blokowy układu
Transmitancja układu otwartego wynosi
przedstawiając tę transmitancję w postaci ilorazu wielomianów zmiennej 
otrzymamy
przy. czym
jest równaniem charakterystycznym układu otwartego; zakładamy, że stopień tego równania równa się n.
Transmitancja układu zamkniętego wynosi
Równanie charakterystyczne układu zamkniętego
jest również stopnia n, ponieważ stopień 
nie jest nigdy większy od stopnia N0(s).
Zbadamy zmianę argumentu funkcji
.
Przypadek 1. Układ otwarty jest stabilny. Równanie charakterystyczne układu otwartego ma wszystkie pierwiastki w lewej półpłaszczyźnie zmiennej s. Zgodnie z kryterium Michajłowa
Układ zamknięty będzie stabilny, jeżeli
Warunek stabilności układu zamkniętego można więc zapisać:
Oznacza to, że wykres krzywej 
nie może obejmować początku układu współrzędnych (musi się zaczynać i kończyć na jednej prostej wychodzącej z początku układu). Ten sam warunek odniesiony do charakterystyki częstotliwościowej (amplitudowo-fazowej) układu otwartego 
będzie sformułowany jak następuje:
Jeżeli otwarty układ regulacji automatycznej jest stabilny i jego charakterystyka amplitudowo-fazowa 
dla pulsacji 
od 0 do 
nie obejmuje punktu 
, to wtedy i tylko wtedy po zamknięciu będzie on również stabilny.
Przykładowe wykresy krzywych 
oraz 
układów stabilnego i niestabilnego (po zamknięciu) zestawiono na rysunku.
Rys. Charakterystyki układów, które po zamknięciu będą: a) stabilne, b) niestabilne
W przypadku złożonego kształtu krzywych 
wygodnie jest posługiwać się wynikającą bezpośrednio z podanego kryterium tzw. „regułą lewej strony", która mówi, że układ zamknięty jest stabilny wtedy, kiedy punkt 
znajduje się w obszarze leżącym po lewej stronie charakterystyki 
, idąc w stronę rosnących 
. Zastosowanie tej reguły można sprawdzić na przykładzie charakterystyk podanych na rysunku.
Rys. Charakterystyki 
układów, które po zamknięciu będą: a) stabilne, b) niestabilne
Przypadek układów astatycznych, których charakterystyki pokazano na rysunku ostatnim, wymaga bliższego wyjaśnienia. Jeżeli układ otwarty zawiera np. jeden element całkujący, to charakterystyka 
dla 
zaczyna się w punkcie o współrzędnej urojonej 
i mogą powstać wątpliwości, czy charakterystyka ta obejmuje punkt 
, czy nie. Transmitancja operatorowa układu otwartego ma wówczas postać
.
Transmitancja widmowa 
jest odwzorowaniem osi liczb urojonych płaszczyzny zmiennej zespolonej s za pomocą funkcji 
. W danym przypadku charakterystyka 
ma dla pulsacji 
punkt nieciągłości; amplituda przyjmuje wartość nieskończenie wielką, a faza zmienia się skokowo o 180°.
Jeżeli zaliczymy biegun zerowy transmitancji G(s) do lewej półpłaszczyzny, to możemy obejść go półokręgiem o nieskończenie małym promieniu r, zgodnie z rysunkiem a). Dla wartości s bliskich zera mamy wtedy
,
przy czym 
, a transmitancja 
przyjmuje postać
.
Ponieważ iloraz wielomianów 
dla 
ma stałą wartość k, zatem
przy czym 
. Jeżeli teraz wektor 
zmienia swój argument od 0 do 
(interesują nas dodatnie wartości 
), to G0(s) zmienia argument od 0 do -
po okręgu o promieniu R (rys. b).
Uzupełnienie charakterystyki 
ćwierćokręgiem o nieskończenie wielkim promieniu pozwala właściwie sprowadzić przypadek układu astatycznego pierwszego rzędu do układu statycznego, którego charakterystyka zaczyna się na dodatnim odcinku osi 
. W analogiczny sposób można wykazać, że w przypadku układu astatycznego drugiego rzędu charakterystykę 
zaczynającą się w punkcie o współrzędnej rzeczywistej 
należy uzupełnić półokręgiem o promieniu 
, zmieniającym argument od 0 przez 
do 
.
Odwzorowanie osi 
z wyłączeniem bieguna zerowego dla układu astatycznego o transmitancji
Przypadek 2. Układ otwarty jest niestabilny. Równanie charakterystyczne układu otwartego ma 
pierwiastków w lewej półpłaszczyźnie zmiennej s oraz m pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie. Zgodnie ze
lub, ponieważ 
jest krzywą symetryczną, względem osi liczb . rzeczywistych,
Układ zamknięty będzie stabilny, jeżeli
Warunek stabilności układu zamkniętego można więc zapisać
Warunek ten, odniesiony do charakterystyki amplitudowo-fazowej układu otwartego 
, będzie sformułowany, jak następuje:
Jeżeli otwarty układ regulacji automatycznej jest niestabilny i ma m pierwiastków swego równania charakterystycznego w prawej półpłaszczyźnie zmiennej s, to po zamknięciu będzie on stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego dla pulsacji 
od 0 do 
okrąża m/2 razy punkt 
w kierunku dodatnim (przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
Zastosowanie kryterium Nyąuista w podanym ostatnio sformułowaniu wymaga więc znajomości liczby pierwiastków równania charakterystycznego układu otwartego z dodatnią częścią rzeczywistą, co bardzo ogranicza jego znaczenie.
Omawiany przypadek jest bardzo rzadki, gdyż układy automatyki spotykane w praktyce są zwykle w stanie otwartym stabilne 
.
|
110 |
|
Wykład |
