Doświadczenie Younga. Natężenia w obrazie dyfrakcyjno-interferencyjnym.

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się ze zjawiskami dyfrakcji i interferencji światła przechodzącego przez jedną lub dwie szczeliny oraz obserwacja i pomiar rozkładu natężeń w obrazach dyfrakcyjno-interferencyjnych. Obraz dyfrakcyjny - obraz powstający w wyniku interferencji nieskończenie wielu fal (pojedyncza szczelina). Obraz interferencyjny - obraz powstający na ekranie w wyniku interferencji fal pochodzących ze skończonej liczby źródeł fal (szereg szczelin).

1. PODSTAWY FIZYCZNE

Fale elektromagnetyczne spełniają zasadę superpozycji fal, zgodnie z którą w każdym punkcie przestrzeni, w którym spotykają się rozchodzące się niezależnie od siebie fale, zaburzenie jest sumą zaburzeń pochodzących od poszczególnych fal. W przypadku fal elektromagnetycznych sumują się wektory pól elektrycznych i magnetycznych.

Interferencję fal świetlnych można zdefiniować jako superpozycję fal o tej samej częstości i polaryzacji. Warunkiem interferencji jest spójność (koherencja) fal. W praktyce efekty interferencyjne można uzyskiwać dla ciągów fal pochodzących z tego samego źródła (albo ze źródeł, dla których są ustalone zależności fazowe), lecz przebiegających różne drogi przed dojściem do punktu, w którym się dodają. Różnicę faz, ϕ , fal dobiegających do punktu można obliczyć, znajdując różnicę dróg, jakie przebyły fale od źródła do tego punktu. Różnica ta wynosi ϕ/k , czyli (ϕ/2π)λ. Gdy różnica dróg równa jest 0, λ, 2λ, 3λ, itd., czemu odpowiada ϕ=0, 2π, 4π, itd., dwie fale w wyniku interferencji wzmacniają się. Dla różnicy dróg ¹/₂λ, ³/₂λ, ⁵/₂λ, itd., ϕ wynosi π, 3π, 5π, itd. i w wyniku interferencji fale wygaszają się.

Należy zauważyć, że w przypadku fal spójnych dodają się wektory natężenia pola elektrycznego E₁ i E₂. Natężenie I (tj. Energia fali przypadająca na jednostkę powierzchni w jednostce czasu) w punkcie P jest wówczas proporcjonalne do kwadratu wypadkowej amplitudy: I ~ (E₁ + E₂)² . Natomiast w przypadku światła niespójnego w punkcie P. dodają się natężenia I₁ i I₂ , z których każde z osobna jest proporcjonalne do kwadratu odpowiedniej amplitudy: I₁~E₁², I₂~E₂² , I=I₁+I_2.

Spójne wiązki światła można otrzymać rozdzielając światło wysyłane przez niewielki obszar źródła rozciągłego na dwie wiązki o różnicy dróg optycznych nie przekraczających długości ciągu falowego (w przeciwnym razie ciągi by się nie nałożyły). Każdy ciąg falowy rozdziela się przy tym na dwa spójne i mogące ze sobą interferować ciągi falowe, ponieważ pochodzą od tego samego atomu. Taka jest idea doświadczenia Younga, który pierwszy zaobserwował interferencję światła.

Rys. Schemat doświadczenia Younga

Szczeliny S₁ i S₂ dzielą ciąg falowy pochodzący od jednego atomu na dwie spójne wiązki falowe o małym przekroju spotykające się na ekranie np. w punkcie P₁ , z różnicą fazy ϕ₁. W punkcie P₁ spotykają się spójne wiązki pochodzące od wszystkich atomów leżących w obszarze źródła wyciętym szczeliną S₀ , o ile różnica faz między nimi wyniesie również ϕ₁. W punkcie P₂ spotykają się wiązki z różnicą faz ϕ₂.

Jeśli założymy , że odległość między szczelinami d i odległość od szczelin od ekranu D, to w punkcie P. występuje maksimum , jeśli różnica dróg optycznych wynosi Δ=kλ (co odpowiada różnicy faz ϕ=k2π), gdzie k=1, 2, 3, ...

Zgodnie z założeniem

Δ=dsinα ,

a po podstawieniu

dsinα=kλ (warunek na maksimum)

, gdzie d - odległość między szczelinami ,

α - kąt określający położenie punktu P..,

λ - długość fali

Gdy Δ=(2k+1) (co odpowiada różnicy faz ϕ=(2k+1)π ) , a więc dsinα=(2k+1)λ/2

Korzystając ze wzorów:

E₁=E₀sinωt,

E₂=E₀sin(ωt+ϕ),

gdzie ω - częstość

Podstawiając do wcześniejszych wzorów otrzymujemy wzór opisujący rozkład natężeń w obrazie interferencyjnym:

I_ϕ=4I₀cos²β , gdzie β==

Dyfrakcja (ugięcie się) światła zachodzi wtedy gdy fala napotyka niewielkie przeszkody (ostrza, krawędzie), co powoduje odstępstwa od prostoliniowego rozchodzenia się światła. Szczelina stanowi źródło fal ugiętych na dwóch krawędziach. Obraz dyfrakcyjny po przejściu przez szczelinę składa się z maksimum jasności (znacznie szerszego niżby to wynikało z prostoliniowego rozchodzenia się światła) otoczonego po obu stronach słabymi jasnymi i ciemnymi prążkami dyfrakcyjnymi. Im węższa szczelin tym obszar jasności (środkowe maksimum) jest szerszy, efekt „uginania się” promieni wyraźniejszy.

Zgodnie z zasadą Huygensa każdy punkt, do którego dotrze fala, staje się źródłem nowej fali kulistej, fale wtórne dodają się (interferują), a powierzchnia falowa jest obwiednią tych fal kulistych. Jeśli na szczelinę pada fala płaska, szczelina zachowuje się jednorodny układ źródeł, przy czym wszystkie fale (fale kuliste Huygensa) wysyłane przez te źródła są w jednakowej fazie.

Dzieląc szczelinę na parzystą liczbę N dowolnie małych segmentów zauważymy, że wiązki z górnej i dolnej połowy szczeliny wychodzące w odległości a/2 będą się wygaszać w P₁ , jeśli będzie spełniony warunek:

sinα=

czyli

asinα=λ (położenie pierwszego minimum dyfrakcyjnego)

Uogólniając

asinα=nλ, gdzie n=1, 2, 3, ...

Jeśli podzielimy szczelinę na nieparzystą liczbę segmentów otrzymamy wzór na maksimum.

2. Opis ćwiczenia

Obraz interferencyjny dla jednej szczeliny .

Aby wyznaczyć charakterystykę I(x) tzn. natężenia światła padającego na fotoopornik w funkcji odległości od głównego maksimum w obrazie interferencyjnym dla jednej szczeliny przeprowadziliśmy serię pomiarów gdzie odległość szczeliny od ekranu wynosiła 208cm. zakres pomiarowy wynosił 50μA. Pomiary dokonane zostały z błędem wynoszącym :

ΔI=1μA

Pomiary dla naszej szczeliny

Lpl.p	Położenie [cm]	Natężenie fotoprądu [μA]	l.p	Położenie [cm]	Natężenie fotoprądu [μA]	l.p	Położenie [cm]	Natężenie fotoprądu [μA]
1	13,5	3,5	22	15,5	13,5	42	17,5	3,5
2	13,6	4	23	15,6	14,5	43	17,6	3,5
3	13,7	4	24	15,7	14,5	44	17,7	3,5
4	13,8	5	25	15,8	18,5	45	17,8	3,5
5	13,9	5	26	15,9	22	46	17,9	4
6	14,0	5	27	16,0	44,5	47	18,0	4
7	14,1	5	28	16,1	44,5
8	14,2	4,5	29	16,2	42
9	14,3	4	30	16,3	35,5
10	14,4	2,5	31	16,4	27
11	14,5	4	32	16,5	15,5
12	14,6	4,5	33	16,6	12
13	14,7	4,5	34	16,7	10,5
14	14,8	5	35	16,8	7,5
15	14,9	5	36	16,9	7,5
16	15,0	7	37	17,0	6
17	15,1	8,5	38	17,1	5
19	15,2	9,5	39	17,2	4,5
20	15,3	10,5	40	17,3	4
21	15,4	11	41	17,4	4

Położenie pierwszego minima wynosi : lewe 14,4

prawe 17,5

Pomiarów dokonaliśmy dla układu przedstawionego na rysunku.

Rys. Układ do pomiaru fotoprądu .

Źródłem światła w doświadczeniu był laser o długości fali λ=640nm. Wartość tą uzyskaliśmy od prowadzącego i przyjęliśmy ją jako bezbłędną. Pomiar fotoprądu polegał na odczycie wartości prądu dostarczanego z fotoelementu (fotorezystora) do miernika (amperomierza). Prąd doprowadzany był przez potencjometr aby można było regulować wartość szczytową prądu bez konieczności zmiany zakresu miernika (kalibracja prądu docierającego do miernika). Wartości odczytane umieszczone zostały w tabelkach.

Odczytując z wykresu położenie maksimów (boczne względem zerowego prążka ) i znając odległość szczeliny od ekranu możemy obliczyć kąt pod jakim światło ugina się.(kąt obliczamy z trójkąta prostokątnego , czyli tg --> [Author:DK。ʐz] α). Mając obliczony kąt liczymy:

- szerokość szczeliny

Po podstawieniu do wzoru otrzymaliśmy:

tgα =

α = 0,523° = 31,4' ; n=1

a = =
= 0,07mm

uwzględniając błąd:

a=(0,070,002)mm

gdzie a - szerokość szczeliny

3. Dyskusja błędów dla obrazu interferencyjnego dla szczeliny (jednej)

W ćwiczeniu liczymy błędy systematyczne wynikające z użytych przyrządów. Ponieważ przy pomiarach używaliśmy miernika analogowego uwzględniamy błąd odczytu wynoszący:

ΔI_o=
1 [dz] ,

gdzie α - liczba działek, I_max - maksymalny prąd danego zakresu

czyli :

dla zakresu 50 μ A - ΔI_o =
= 0,5 μA

Drugim błędem jaki dotyczy pomiaru fotoprądu jest błąd wynikający z klasy użytego miernika , wynoszący:

ΔI_kl= ,

gdzie kl - klasa miernika, I_max - maksymalny prąd danego zakresu.

czyli:

klasa miernika kl=1

dla zakresu 50 μA - ΔI_kl=0,5μA

Całkowity błąd pomiaru równy jest sumie tych błędów:

ΔI=ΔI_o+ΔI_kl

czyli po podstawieniu wartości:

dla zakresu 50μA - ΔI=1μA

Musimy także uwzględnić błąd odczytu przy zmianach położenia fotooporu:

Δx=1 [dz] , gdzie Xdz - liczba działek

zatem:

Δx=1 [dz]=1mm

Z tego wynika, że każdy odczyt obarczony był błędem równym .

Błąd obliczenia szerokości szczeliny obliczyliśmy z różniczki zupełnej. Wzór po zróżniczkowaniu przyjął postać:

Δ=
,

gdzie Δα=1' i podstawiamy je do wzoru w radianach.

Zatem

Δ

Następnie wyznaczyliśmy błąd obliczenia szerokości dla dwóch szczelin.

Δ=

=
,

gdzie Δ --> [Author:DK。ʐz] α=0,0167°=0,0002915 rad i podstawiamy je do wzoru w radianach.

Zatem

Δ

4. Pomiar długości fali światła lasera.

W celu zmierzenia długości fali światła lasera użyliśmy interferometru Michelsona. Aby uzyskać dokładne pomiary przesunięcia śruby mikrometrycznej, zmierzyliśmy je dla 100 prążków. Uzyskując następujące wyniki przedstawione w tabeli 1, razem z obliczeniami potrzebnymi do oszacowania błędu tego pomiaru.

l [ ]	[nm]	[nm]	[ ]
330	660	30	9,07e+14
340	680	30	8,86e+14
350	700	30	8,65e+14
Wynik	680	30

Aby obliczyć długość fali skorzystaliśmy ze wzoru który po uwzględnieniu dziesięciokrotnego przełożenia pomiędzy przesunięciem śruby mikrometrycznej, a przesunięciem lustra ma postać: Gdzie l - przesunięcie odczytane z śruby mikrometrycznej, n - liczba policzonych prążków.

Do obliczenia błędów założyliśmy następujące błędy odczytu:

=10μm, *n=2.

Ponieważ w pomiarze tym przeważają błędy systematyczne to aby obliczyć błąd i wartość długości fali światła lasera * korzystamy z metody różniczki zupełnej.

Wzór na błąd bezwzględny
:

Po obliczeniu błędów bezwzględnych dla trzech pomiarów przystąpiliśmy do wyznaczenia wartości i błędu długości fali światła lasera przy pomocy wzoru na średnią ważoną.

gdzie
- waga (równa
)

i wzoru na błąd systematyczny:

Korzystając przy obliczeniach z arkusz kalkulacyjnego uzyskaliśmy następujący wynik długości fali światła lasera:
=680 ± 30 nm.

Porównując uzyskany przez nas wynik z długością fali emitowanej przez laser neonowo - helowy stwierdzamy, że jest ona nieznacznie większa co jest wynikiem różnic w budowie laserów półprzewodnikowych i neonowo - helowych. Pozytywne jest też porównanie z długością fal czerwieni, która leży w zakresie 650 - 750 nm.

5. Wnioski

Wszystkie pomiary dokonane w ćwiczeniu obarczone są pewnymi błędami wynikającymi z :

• w założeniu ćwiczenia wykorzystywany laser charakteryzować winien się minimalną wielkością plamki , a w naszym stanowisku pomiarowym była ona znaczna

• w związku z dużą średnicą plamki nie mogliśmy ustawić precyzyjnie padania plamki na element światłoczuły

• nieprecyzyjnym ustawieniem fotoelementu linijki umieszczonej pod nią

• niemożnością wypoziomowania miernika

• pomiary długości były dokonywane z dokładnością do jednego milimetra

2

7

---