Rozkład sygnałów czasu ciągłego okresowych (funkcji ciągłych okresowych) w wykładniczy szereg Fouriera

Wyznaczenie transmitancji dolnoprzepustowego filtra Butterwortha o zadanej częstotliwości granicznej oraz rzędzie. (zadanie rachunkowe, metoda okręgu Butterwortha).

n=4 - rząd

ω_c=1 - pulsacja graniczna

Poszukiwana transmitancja ma postać:

Pierwiastki s₄,s₃,s₂,s₁ wyznaczyłem metodą okręgu Butterwortha. Na okręgu o promieniu ω_c należało wyznaczyć 2n punktów, tak aby były rozmieszczone równomiernie (kąt między dwoma sąsiednimi punktami ma wynosić Δφ=π/n), symetrycznie względem osi urojonej, ale nie na niej. Żeby filtr był stabilny należało wybrać punkty leżące na lewej półpłaszczyźnie zespolonej. Dla n=4 jest 8 pierwiastków, rozmieszczonych na okręgu co π/4 zaczynając od π/8, aby żaden z punktów nie leżał na osi urojonej i aby punkty leżały symetrycznie względem tej osi. Widać to na poniższym rysunku:

Wyznaczone pierwiastki:

Transmitancja:

Wyznaczenie transmitancji cyfrowego filtru Butterwortha na podstawie znanej transmitancji odpowiednika analogowego, metodą operatorów całkowania

Transmitancja analogowego dolnoprzepustowego filtra Butterwortha czwartego rzędu:

Aby wyznaczyć transmitancję układu cyfrowego na podstawie transmitancji układu analogowego należy zastąpić człon całkujący
układem z czasem dyskretnym o transmitancji G(z). Postać G(z) zależy od wybranej metody aproksymacji całki.

Dla metody prostokątów „w przód”:

Po podstawieniu
:

Ostatecznie:

metoda prostokątów „w przód”:

metoda prostokątów „w tył”:

metoda trapezów:

metoda Simsona:

Zaprojektować dolnoprzepustowy filtr FIR o zadanej częstotliwości odcięcia.

fc = 3000; %czestotliwosc graniczna (odciecia)

[sygnal,fs]=wavread('dzwiek.wav'); %wczytanie sygnału dźwiękowego z pliku;

sygnal=sygnal(:,1); %wybór kanału

sygnal_dft = fft(sygnal); %wyznaczenie transformaty DFT sygnalu dzwiekowego

rozdz=fs/length(sygnal_dft); %rozdzielczość

N=159; %N nieparzyste - dlugosc odpowiedzi impulsowej

Vc=2*pi*fc/fs;

h=zeros(1,N);

%wyznaczenie odpowiedzi impulsowej

for k=-(N-1)/2:(N-1)/2

if(k < 0)

h((N-1)/2+k+1)=sin(k*Vc)/(pi*k);

elseif(k==0)

h((N-1)/2+1)=Vc/pi;

elseif(k > 0)

h((N-1)/2+k+1)=sin(k*Vc)/(pi*k);

end;

end;

ef=0:(fs/N):(fs*(N-1)/N); %wektor częstotliwości

Zaprojektowanie dolnoprzepustowego filtru FIR sprowadza się do wyznaczenia jego odpowiedzi impulsowej. Znając odpowiedź impulsową układu można przewidzieć odpowiedź tego układu na każde inne pobudzenie. Odpowiedź układu na dowolne pobudzenie jest bowiem splotem sygnału pobudzającego oraz odpowiedzi impulsowej układu.

1

τ/2

τ

f(t)

t

T

a