CIĄGI LICZBOWE

DEF.1. Ciągiem liczbowy nazywamy funkcję f , która przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej pewną wartość liczbową. Wartość funkcji f dla argumentu n∈ N f(n) nazywamy n -tym wyrazem ciągu i piszemy a_n.

DEF.2.Mówimy, że ciąg a_n jest:

• Rosnący (silnie rosnący) jeżeli
  

• Niemalejący (słabo rosnący) jeżeli
  

• Malejący (silnie malejący) jeżeli
  

• Nierosnący (słabo malejący) jeżeli
  

DEF.3. Ciąg monotoniczny to taki, który posiada jedną z własności z DEF.2.

DEF.4. Mówimy, że ciąg a_n jest ograniczony z góry jeżeli

DEF.5. Mówimy, że ciąg a_n jest ograniczony z dołu jeżeli

DEF.6. Mówimy, że ciąg a_n jest ograniczony jeżeli

DEF.7. Jeżeli (a_n) i (b_n) są dwoma dowolnymi ciągami to :

• (a_n + b_n) jest sumą ciągów

• (a_n - b_n) jest różnicą ciągów

• (a_n · b_n) jest iloczynem ciągów

• 
  jest ilorazem ciągów

DEF.8.Ciąg liczbowy nazywamy arytmetycznym jeśli dla dowolnego a₁ :

.

Stąd też
dla n>1 oraz

DEF.9.Ciąg liczbowy nazywamy geometrycznym jeśli dla dowolnego a₁ :

.

Stąd też
dla n>1 oraz

DEF.10. Otoczenie otwarte liczby x₀ nazywamy przedział otwarty (x₀-r, x₀+r) , r>0.

DEF.11. Otoczenie domknięte liczby x₀ nazywamy przedział domknięty [x₀-r, x₀+r] , r>0.

DEF.12. Otoczenie plus nieskończoności nazywamy przedział (A,∞), A∈R.

DEF.13. Otoczenie minus nieskończoności nazywamy przedział (-∞,A), A∈R.

Przykład.1.Co oznacza, że liczba y należy do otoczenia otwartego liczby x₀ ?

Oznacza to, że

x₀-r < y < x₀+r

r < y- x₀ < r

| y- x₀ |< r

DEF.14.Liczba g jest granicą ciągu a_n jeżeli do dowolnie małego otoczenia liczby g należą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu co zapisujemy
lub
. Zapisujemy:

Prawie wszystkie wyrazy ciągu oznacza wszystkie wyrazy ciągu z wyjątkiem co najwyżej skończenie wielu.

Przykład.2.Czy prawdą jest, że prawie wszystkie wyrazy ciągu liczb naturalnych są

1. dodatnie -TAK

2. większe od miliona - TAK

3. niepodzielne przez milion -NIE.

Twierdzenie 1. Każdy ciąg ma co najwyżej jedną granicę.

Uwaga1. Ciąg, który ma granicę jest zbieżny. Ciąg, który nie ma granicy jest rozbieżny.

Twierdzenie 2. Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.

Uwaga 2. Twierdzenie odwrotne do 2 jest fałszywe. Ciąg (-1)ⁿ jest ograniczony ale nie jest zbieżny.

Twierdzenie3. Każdy ograniczony i monotoniczny ciąg jest zbieżny.

Twierdzenie4. Każdy podciąg wybrany z ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy do której jest zbieżny ciąg.

WARUNEK CAUCHY'EGO

Twierdzenie5. Ciąg a_n jest zbieżny (ma granicę) wtedy i tylko wtedy gdy spełnia warunek Cauchy'ego.

DEF.15.Mówimy, że ciąg a_n jest rozbieżny do +∞ albo ciąg a_n ma granicę (niewłaściwą) jeżeli każde otoczenie plus nieskończoności zawiera prawie wszystkie wyrazy ciągu a_n piszemy
.

DEF.16.Mówimy, że ciąg a_n jest rozbieżny do -∞ albo ciąg a_n ma granicę (niewłaściwą) jeżeli każde otoczenie minus nieskończoności zawiera prawie wszystkie wyrazy ciągu a_n piszemy
.

Twierdzenie 6.Jeśli

oraz

wówczas

Twierdzenie 7. Granicą ciągu stałego (c) jest liczba c.

Twierdzenie 8.(o trzech ciągach) Jeśli dane są ciągi a_n , b_{n ,} c_n ,których wyrazy dla wszystkich n≥n₀ spełniają nierówność:

a_n ≤ b_n , ≤ c_n

i jeśli

to:

Uwaga 3.

ZADANIA

1. Oblicz pięć początkowych wyrazów ciągu:

(a)a_n=
(b)b_n=n-3n² (c)c_n=

(d)d_n=
(e)e_n=
(f) f_n=5

(g)g₁=3, g₂=5, a dla >2 g_n=
(h)b_n=4n-2

(i) d_n=
(j)g₁=1, g₂=1, g_n= g_n-2+ g_n-1 (k)h_n=6⋅(-2)^n-1

PRZYKŁAD:

2. Zapisz wyraz ogólny ciągu

(a)(2,4,6,8,....) (b)(1/3,1/6,1/9,1/12,1/15,...) (c)(-1,2,-3,4,-5,...)

(d)(9,9,9,9,...) (e)(1,3,9,27,…) (f)(1,-1,-3,-5,-7,…)

(g)(-1,5,-25,125,…) (h)(4,4.5,5,5.5,….) (i)(4,2,1,1/2,1/4,….)

3. Zbadać czy są monotoniczne ciągi o wyrazie ogólnym

(a)
(b)
(c)

(d)
(e)
(f)a_n=

(g)a_n=

PRZYKŁAD:

Aby zbadać monotoniczność ciągu a_n należy określić znak wyrażenia a_n- a_n+1, więc

więc ciąg a_n jest malejący.

4. Zbadać czy ciągi są ograniczone:

(a)
(b)
(c)

(d)
(e)
(f)a_n=

(g)a_n=

PRZYKŁAD:

Gdyby ciąg a_n był ograniczony to istniały by stały m i M takie, że wszystkie wyrazy tego ciągu mieściły by się między tymi stałymi. Wypiszmy początkowe wyrazy ciągu. Są to: 1,3/5,3/7,3/9,.....,3.201,..... Zauważmy, że ciąg jest malejący więc wyraz pierwszy jest największe i wszystkie wyrazy są dodatnie. Więc istnieją stałe ograniczające ciąg czyli

5. Zbadaj na podstawie definicji ciągu czy:

(a)
(b)
(c)

(d)
(e)
(f)

PRZYKŁAD:

Musimy znaleźć k dla ε

Niech ε=0.01 wtedy k=201 czyli wyrazy , których indeksy są większe od 201 należą do otoczenia liczby 3.

Niech ε=0.005 wtedy k=401 czyli wyrazy , których indeksy są większe od 401 należą do otoczenia liczby 3.

Gdyby

Musimy znaleźć k dla ε

i mamy sprzeczność gdyż ε>2 a z założenia musi być dowolne.

6. Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym

(1)
(2)
(3)

(4)
(5)
(6)

(7)
(8)
(9)

(10)
(11)
(12)

(13)
(14)
(15)

(16)
(17)
(18)

(19)
(20)
(21)

(22)
(23)
(24)

(25)
(26)
(27)

(28)
(29)
(30)

(31)
(32)
(33)

(34)
(35)
(36)

(37)
(38)
(39)

(40)
(41)
(42)

(43)
(43)
(44)

(45)
(46)
(47)

(48)
(49)
(50)

(51)
(52)
(53)

(54)
(55)
(56)

(57)
(58)
(59)

(60)
(61)

(62)
(63)
(64)

(65)
(66)
(67)

---