• Sprawozdanie z laboratorium z fizyki i biofizyki

Ćwiczenie nr 1

Temat ćwiczenia: Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego przy użyciu wahadła matematycznego

Data wykonania ćwiczenia: 15.05.2007

Sekcja nr IV w składzie:

1. Lucyna Trzaskalik

2. Agata Matyja

Data oddania sprawozdania:……………………

Ocena:………………

I WSTĘP TEORETYCZNY:

Przyspieszenie ziemskie (g) jest przyspieszeniem nadawanym ciału materialnemu w próżni przez siłę ciężkości, zależy od wysokości n.p.m., szer. geogr. miejsca pomiaru i lokalnego rozkładu mas wewnątrz Ziemi. Do wyznaczania przyspieszenia ziemskiego możemy posłużyć się wahadłem matematycznym.

Wahadło matematyczne jest to wyidealizowane ciało o masie punktowej m, zawieszone na cienkiej, nierozciągliwej i nieważkiej nici. Takie wahadło, wyprowadzone z położenia równowagi, wykonuje ruch dr
gający w płaszczyźnie pionowej pod wpływem siły ciężkości. Jest to ruch okresowy o okresie T. Na rysunku przedstawiono wahadło o długości l i masie m, odchylone od pionu o kat φ. Na masę m działa siła ciężkości mg i naprężenie nici N.

Siła ciężkości (ciężar kulki) F = mg rozkłada się na dwie składowe S oraz N. Siła N - napina nić. Siła S powoduje ruch wahadła w kierunku położenia równowagi, a jej wartość jest równa: S = F sinφ

Analiza ruchu wahadła: jest to ruch harmoniczny - siła S to siła przeciwnie skierowana do wychylenia. Aby wyznaczyć okres tego ruchu zakładamy, że wychylenie jest o mały kąt, a dla małych kątów (wyrażonych w mierze łukowej) sin φ = φ

Piszemy wzór na siłę powodującą ruch wahadła jako

W powyższym wzorze skorzystaliśmy z za
łożenia, iż s ≈ lφ
Widać, że siła powodująca powrót ciała o masie m do położenia równowagi jest proporcjonalna do wychylenia. Należy uwzględnić, że siła S jest przeciwnie skierowana do wychylenia, stąd znak „-”

Wykorzystując podobieństwo do siły sprężystości porównujemy współczynnik sprężystości z ułamkiem z powyższego wzoru:

Wyliczamy częstość kołową tego ruchu:

korzystamy z zależności:
oraz

i otrzymujemy wzór na okres wahań wahadła matematycznego:

Z powyższego równania wynika, że okres wahań wahadła matematycznego nie zależy od amplitudy i masy wahadła, natomiast zależy od jego długości i wartości działającego w danym miejscu przyspieszenia ziemskiego. Wahadło matematyczne pozwala na doświadczalne wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego:

II PRZEBIEG ĆWICZENIA:

Cel ćwiczenia:

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego przy użyciu wahadła matematycznego

1. Opis wykonywanych czynności:

1. Zmierzono długość druta, na którym zawieszony był odważnik - mierzono od punktu zaczepienia (w tym przypadku od środka śruby, na której było zawieszone wahadło), do środka masy ciężkości (w połowie wysokości odważnika).

2. Wychylano wahadło z położenia równowagi o niewielki kąt i mierzono czas dla 50 wahnięć

3. Czynność tę powtórzono pięciokrotnie po 50 wahnięć dla zmierzonej długości;

4. Następnie zwiększono odległość odważnika od punktu zaczepienia i ponownie zmierzono odległość tak jak poprzednio;

5. Następnie wychylano wahadło z położenia równowagi o niewielki kąt i mierzono czas dla 50 wahnięć;

6. Czynność tę również powtórzono pięciokrotnie po 50 wahnięć dla zmierzonej długości.

2. Tabele wyników:

Najpierw obliczono przyśpieszenie ziemskie dla każdego okresu osobno korzystając ze wzoru:

Obliczono także błędy pomiarów posługując
się wzorami:

gdzie:

 l = 0,01 m

T = 0,01 s

Następnie obliczono średnie wartości uzyskanych wyników.

Otrzymano następujące wartości:

Innym sposobem obliczenia wartości przyspieszenia ziemskiego jest skorzystanie z wartości średnich okresów:

Najpierw zapisujemy wzory na obliczenie okresów:

Oba równania podnosimy do kwadratu:

Następnie odejmujemy stronami zapisane równania:

Z zapisanego równania wyznaczamy przyśpieszenie ziemskie g:

Wstawiając do powyższego równania wartości średnie i obliczając błędy ze wzorów:

gdzie:

l₁ = l₂ = 0,01 m

T₁ = T₂ = 0,01 s

Otrzymujemy taki wynik:

III Wyniki końcowe:

1. Przyspieszenie ziemskie obliczone dla poszczególnych wartości:

g = 9,84  0,12 [m/s²]

2. Przyśpieszenie ziemskie obliczone dla wartości średnich:

g = 9,86  2,20 [m/s²]

IV Wnioski:

Z tablic fizycznych wynika, że przyspieszenie ziemskie wynosi 9,81054 m/s².

Z pomiarów przeprowadzonych na ćwiczeniach wielkość ta wyszła inna niż powyżej. Wpływ na to miało szereg czynników, które sumując się dały tak znaczne odchylenie od normy. Możemy do nich m.in. zaliczyć:

• Niedokładne obliczenie długości wahadła. Dokładność metra wynosiła 1mm, jednak metr był giętki i przy pomiarze istniała możliwość przeciągnięcia lub niedociągnięcia podziałki, co przy długościach od 1,2 do 1,31 m mogło zmienić pomiar nawet do 1cm. Błąd mógł również wystąpić przy przykładaniu metra do środka punktu zawieszenia wahadła. W celu zminimalizowania błędu i poszukiwania środka masy odważnika, pomiar wykonano do jego górnej krawędzi. To nie wpłynęło jednak na wynik podczas drugich obliczeń, gdyż przy tych obliczeniach wzór posiada różnice długości wahadeł, a ta jest stała.

• Następnie obliczano czas 50 wahnięć. Mogliśmy w nieodpowiednim momencie zatrzymać stoper, zmieniając wynik o
  1s, w wyniku czego mogła nastąpić zmiana odczytu pomiaru dla T średnie dla jednego wahnięcia.

• Dodatkowe błędy mogły wyniknąć z tego iż przyjęto, że nie ma tarcia nici w punkcie jej zawieszenia oraz, że nie istnieją opory ruchu powietrza przeciwko ruchowi wahadła.

• Błąd wynika także z podstawowego założenia prowadzenia pomiaru: przyrząd imitujący wahadło matematyczne nie spełniał całkowicie założeń wahadła matematycznego. Linka nie była w pełni nieważka i nierozciągliwa, a odważnik zawieszony na druciku nie był punktem materialnym a tym samym miał opór powietrza. Ponadto drucik był zawinięty w punkcie przymocowania, a tym samym występowały tam siły tarcia, które podczas wykonywania ruchów były głównym czynnikiem zakłócającym pomiar.

Analizując oba sposoby obliczania przyśpieszenia możemy wywnioskować, że sposób liczenia przyśpieszenia ziemskiego dla poszczególnych okresów i uzyskana w ten sposób wartość średnia jest bardziej zbliżona do wartości tablicowej niż wartość liczona dla różnic średnich wartości okresów okresów i różnicy długości.

Błędy otrzymane dla każdego z wyników również wskazują na dokładniejsze obliczenie przyśpieszenia ziemskiego pierwszym sposobem, czyli dla każdej zmierzonej wartości z osobna, a następnie pozyskanie wartości średniej obliczanej wielkości fizycznej.

2