Ćwiczenie 9 - 32 -
Przykład 30
Punktowi materialnemu o masie m, leżącemu na równi pochyłej nachylonej pod kątem α = 430 do poziomu, nadano pewną prędkość początkową skierowaną w górę równi wzdłuż linii jej największego spadku. Należy wyznaczyć opóźnienie, z którym punkt ten porusza się w górę równi. Współczynnik tarcia kinetycznego równy jest μ = 0.45.
Rozwiązanie
x
N y
V x
y G sinα 0
0 α
T G G cosα
G
α Rys. 30
Równania ruchu : 
(a)
y = 0, 
, 
dlatego 
, stąd 
ponieważ 
to 
Równanie (a) przyjmuje postać:
Przykład 31
Dwa ciała materialne o masach m1 = 1.2 kg i m2 = 1.7 kg, leżące na poziomej chropowatej płaszczyźnie, połączone zostały nierozciągliwym cięgnem BA, tak
jak pokazano na rysunku 31. Obliczyć wartość przyśpieszenia tych ciał oraz napięcie cięgna BA wywołane działaniem poziomej siły P przyłożonej do ciała o masie m1. Współczynnik tarcia kinetycznego między ciałem m1 a poziomą płaszczyzną ma wartość μ1 = 0.32, natomiast między ciałem m2 a płaszczyzną ma wartość μ2 = 0.26. Masę cięgna należy pominąć, P = 10 N.
m2 B A m1 P
Rys. 31
- 33 -
N2 N1 y
m2 S2 - S2 B A -S1 S1 m1 P x
T2
T1 Rys. 31a
G2 G1
G2 = m2 g, T2 = μ2 N2 ; G1 = m1 g, T1 = μ1 N1
Siły działające na masę 1
, 
, 
, 
Z równowagi pręta BA którego masy nie uwzględniamy
(b)
Siły działające na masę 2
, 
, 
, 
(c)
Ponieważ pręt BA porusza się ruchem postępowym to 
,
stąd 
(d)
Z równania (b) 
Z równania (c) 
(e)
Z warunku (d) 
Z równania (e) 
Przykład 32 - 34 -
Pod jakim kątem należy wystrzelić pocisk o masie m, aby osiągnąć maksymalny zasięg strzału L, przy znanej prędkości początkowej pocisku V0. Określić również wartości maksymalnego zasięgu L, oraz maksymalną wartość wysokości h jaką osiągnie pocisk. Opór powietrza pominąć. Dane V0 = 350 m/s, g = 9.81 m/s2.
Rozwiązanie
y m
V0
G y h G = mg
α
0 x
x
L Rys. 32
Równania różniczkowe ruchu: 
, 
(a)
Całkujemy równania różniczkowe ruchu (a) otrzymujemy kolejno
(b)
Warunki początkowe. Dla t = 0
(c)
Podstawiając (c) do (b) otrzymujemy:
, 
, 
, 
(d)
Podstawiając (c) do (b) otrzymujemy:
, 
(e)
równanie (e) opisuje parabolę (rys.32).
Z rys. 32 wynika, że L określamy z warunku, że dla y = 0, xmax = L
podstawiając do (e) y = 0 otrzymujemy:
, 
, 
, 
występuje dla 
,
Wartość h określamy z warunku: - 35 -
, dla 
patrz rys.32, różniczkujemy (e)
, 
po podstawieniu 
do (e)
dla α = 450
Przykład 33
Samolot lecący na wysokości h = 4500 m z poziomą prędkością V0 = 930 km/h
zrzuca bombę na cel A znajdujący się na ziemi. Należy wyznaczyć, w jakiej odległości L od celu (rys. ) pilot musi wyrzucić bombę. Dane g = 9.81 m/s2, przy obliczeniach pominąć opór powietrza.
z
m
mg
h z
x
x Rys.
L
Rozwiązanie
Równania różniczkowe ruchu toru bomby o masie m
, 
Ponieważ Px = 0, Pz = - mg to
, 
(a)
Całkując równania (a) otrzymujemy:
- 36 -
, 
, 
(b)
Warunki początkowe ruchu
, 
, 
, 
(c)
Wstawiając (c) do (b) otrzymujemy stałe całkowania:
D1 = V0, D2 = 0, D3 = 0, D4 = h (d)
Wstawiając stałe całkowania (d) do (b) otrzymujemy równania ruchu
, 
Po wyrugowaniu z tych równań czasu t otrzymujemy równanie toru bomby
,
jeśli z = 0 to x = L stąd
, 
, 
stąd
V0
A
0
