WYDZIAŁ EAiE	Imię i Nazwisko 1.Paweł Rączkowski 2.Paweł Piątek	ROK 1		GRUPA 5		ZESPÓŁ 1
Pracownia Fizyczna I	Temat: Przerwa energetyczna w germanie					Nr ćwiczenia: 122
Data wykonania 29-04-98	Data oddania 06-05-98	Zwrot do popr.	Data oddania		Data zaliczenia	OCENA

Cel ćwiczenia:

Wyznaczenie szerokości przerwy energetycznej przez pomiar zależności oporu monokryształu germanu od temperatury.

Wprowadzenie:

Półprzewodnikami nazywamy grupę materiałów, które w temperaturze bliskiej zera bezwzględnego są izolatorami, natomiast w wyższych temperaturach posiadają wartość przewodności pośredniej między metalami i izolatorami.

Wykres poziomów energetycznych półprzewodnika, podobnie zresztą jak i izolatora, charakteryzuje obecność przerwy energetycznej, to znaczy przedziału energii, którego nie mogą zajmować elektrony.

Przerwa energetyczna oddziela pasmo walencyjne (w niskich temperaturach całkowicie wypełnione przez elektrony) od pustego pasma przewodnictwa. W przeciwieństwie do izolatora, w półprzewodnikach szerokość przerwy energetycznej
jest mała. Ze wzrostem temperatury część elektronów zostaje wzbudzona do pasma przewodnictwa i staje się elektronami swobodnymi. W paśmie walencyjnym powstaje zatem taka sama liczba dodatnich nośników prądu - dziur.

Postarajmy się teraz, opierając się na najprostszych pojęciach teorii pasmowej, wprowadzić zależność koncentracji elektronów swobodnych
i dziur
od temperatury dla półprzewodnika samoistnego (bez domieszek).

Z obliczeń opartych na modelu elektronów swobodnych wynika, że gęstość stanów (liczba stanów w przedziale energii
) jest pierwiastkową funkcją energii, liczonej od dna pasma przewodnictwa względnie wierzchołka pasma walencyjnego.

Prawdopodobieństwo obsadzenia stanu przez elektron podaje funkcja rozkładu Fermiego-Diraca

W naszym uproszczonym modelu, w którym pasmo walencyjne jest symetrycznym odbiciem pasma przewodnictwa, poziom Fermiego
znajduje się w połowie szerokości przerwy energetycznej. Liczba elektronów w przedziale energii
jest więc równa
. Całkowitą liczbę elektronów swobodnych można obliczyć przez scałkowanie tej wielkości po całej szerokości pasma przewodnictwa

Dla zwykłych przewodników
, dlatego w powyższym wzorze jedynkę w mianowniku można pominąć, co umożliwia obliczenie całki metodą podstawiania

Wyrażenie
stanowi pewną liczbę rzeczywistą, której nie będziemy obliczać, gdyż wpływa ona tylko na nieznany współczynnik proporcjonalności. Jeżeli za zero energii przyjęliśmy dno pasma przewodnictwa, to
, gdzie
jest szerokością przerwy energetycznej. Zależność koncentracji nośników od temperatury przybiera zatem postać

Przewodność właściwa półprzewodnika jest określona wzorem

gdzie
oznacza ładunek elementarny, a
i
- odpowiednio ruchliwość elektronów i dziur.

Przewodnictwo zmienia się z temperaturą zarówno na skutek wzrostu liczby nośników prądu, jak i zmiany ich ruchliwości.

Ruchliwość nośników w półprzewodnikach, podobnie jak w metalach, maleje ze wzrostem temperatury w wyniku oddziaływania z drganiami sieci krystalicznej. Spadek ruchliwości prawie całkowicie kompensuje czynnik
we wzorze na zależność koncentracji nośników od temperatury i w rezultacie temperaturowa zależność przewodności właściwej względnie oporu elektrycznego
jest

opisana przez czynnik wykładniczy

W celu uzyskania wartości E_g wyniki pomiarów oporności monokryształu germanu w funkcji temperatury przedstawiamy w formie

Wykres zależności
w funkcji
przedstawia prostą, której współczynnik nachylenia a jest proporcjonalny do szerokości przerwy energetycznej

Wyniki pomiarów:

Temperatura [°C]	Oporność [Ω]
		German	Termistor
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95

Opracowanie wyników:

Wykres zależności
dla germanu przedstawia się następująco:

Współrzędne punktów doświadczalnych naniesionych na wykresie zawarte są w tabeli:

0,0400	5,80
0,0333	5,64
0,0286	5,42
0,0250	5,21
0,0222	4,98
0,0200	4,77
0,0182	4,61
0,0167	4,43
0,0154	4,26
0,0143	4,10
0,0133	3,93
0,0125	3,78
0,0118	3,61
0,0111	3,46
0,0105	3,31

Metodą najmniejszych kwadratów została wyznaczona prosta regresji.

Współczynniki a i b do prostej zostały wyznaczone na podstawie wzorów:

gdzie

Po podstawieniu danych liczbowych uzyskaliśmy następujące współczynniki:

a = 86,8772

b = 2,7918

Natomiast błędy współczynników a i b zostały wyznaczone na podstawie wzorów:

gdzie

Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy:

czyli

a = 86,9±0,2

b = 2,792±0,003

Zatem prosta regresji ma równanie:

Wartość przerwy energetycznej w germanie wyznaczona została z zależności

Z powyższego wzoru wynika, że przerwa energetyczna w germanie wynosi

gdzie

k - stała Boltzmana (= 1,380·10^-23 [J·K^-1])

Czyli po wstawieniu danych liczbowych

E_g = 2,398·10^-21 [J] = 0,0149676 [eV]

Wykres zależności
dla termistora:

1

6