SPRAWOZDANIE Z LABORATORIUM MECHANIKI BUDOWLI I WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Ćwiczenie nr 7

Twierdzenie Betti-Maxwella i jego wykorzystanie

Karol Rogiński

Piotr Rusinowski

Marcin Sobecki

WIL, sem. IV

Gr. lab. 8A

1) Doświadczenie 1 Pomiar linii ugięcia belki

Doświadczenie 1 polegało na przyłożeniu sił P₃=5kg (49,05N) i P₆=2kg (19,6N) w punktach 3 i 6. Przyłożenie sił spowodowało ugięcie belki, którego rzędne w punktach od 1 do 6 zostało odczytane z czujników. Wyniki doświadczalne zostały porównane z rzędnymi linii ugięcia wykonanej teoretycznie metodą Eulera.

Nr punktu	1	2	3	4	5	6
Obciążenie[kg]	-	-	5	-	-	2
OP	5,00	6,00	2,75	6,70	4,95	3,21
OK	4,66	5,39	2,00	5,99	4,42	3,43
[mm]	0,34	0,61	0,75	0,71	0,53	-0,22

• 
  Wyznaczanie linii ugięcia metodą Eulera.

A-3: M(x₁) = 25,23·x₁

3-B: M(x₂) = -147 + 23,82·x₂

B-6: M(x₃) = -147 + 19,6·x₃

Przedział A-3: Przedział 3-B:

Przedział B-6:

Warunki brzegowe:

Ostateczne równania linii ugięcia:

A-3:
[cm]

3-B:
[cm]

B-6:
[cm]

EJ = 15,54·10⁵ Ncm

Teoretyczne wartości ugięć w punktach 1-6:

Porównanie ugięć doświadczalnych (δ_i) z ugięciami teoretycznymi (y_i) oraz wyliczenie błędu pomiaru
.

i	δi [mm]	yi [mm]	 [%]
1	0,34	0,34	0
2	0,61	0,62	1,64
3	0,75	0,76	1,33
4	0,71	0,72	1,41
5	0,53	0,53	0
6	-0,22	-0,24	9,09

2) Doświadczenie 2 Sprawdzenie twierdzenia o wzajemności przemieszczeń

Doświadczenie 2 polegało na przyłożeniu siły P_i = 5kg (49,05N) w dowolnym punkcie „i” i zmierzeniu przemieszczenia dowolnego punktu „j”. Następnie należało obciążyć belkę siłą P_j = 5kg (49,05N) w punkcie „j” i zmierzyć przemieszczenie punktu „i”. Zgodnie z twierdzeniem o wzajemności przemieszczeń powinna zajść równość δ_ij = δ_ji.

• Wyniki pomiarów:

W tabeli znajdują się wyniki będące średnią arytmetyczną 3 pomiarów:

Nr punktu	2	4
Obciążenie[kg]	5	-
OP	-	6,693
OK	-	6,017
[mm]	-	0,676
Nr punktu	2	4
Obciążenie[kg]	-	5
OP	6,00	-
OK	5,347	-
[mm]	0,653	-

δ₄₂ = 0,676 mm

δ₂₄ = 0,653 mm

δ₄₂ ≈ δ₂₄

• Błędy pomiaru:

3) Doświadczenie 3 Sprawdzenie twierdzenia Betti-Maxwella

W doświadczeniu 3 należało obciążyć belkę grupą sił I: P₁ = 1kg (9,8N), P₂ = 2kg (19,6N), P₃ = 2kg (19,6N) i pomierzyć przemieszczenia w punktach 4, 5, 6. Następnie należało zdjąć obciążenie grupą sił I i przyłożyć grupę sił II: P₄ = 2kg (19,6N), P₅ = 1kg (9,8N), P₆ = 1kg (9,8N) i zmierzyć przemieszczenia w punktach 1, 2, 3. Zgodnie z twierdzeniem Betti-Maxwella powinna zajść równość:

• Wyniki pomiarów:

W tabeli znajdują się wyniki będące średnią arytmetyczną 3 pomiarów.

Nr punktu	1	2	3	4	5	6
Obciążenie[kg]	1	2	2	2	1	1
OP	5,00	5,99	2,73	6,673	4,927	3,207
OK	4,823	5,673	2,323	6,00	4,413	3,483
[mm]	0,177	0,317	0,407	0,673	0,514	-0,276

15,925 Nmm

= 15,523 Nmm

• Błędy pomiaru:

4) Doświadczenie 4 Wykorzystanie twierdzenia Betti-Maxwella do wyznaczania linii wpływu ugięcia

Doświadczenie 4 polegało na przyłożeniu siły P_i = 5kg (49,05N) w dowolnym punkcie „i” i odczytaniu przemieszczeń punktów 1-6. Nanosząc otrzymane przemieszczenia na wykres i dzieląc każdą rzędną przez 49,05N otrzymujemy linię wpływu ugięcia belki w punkcie „i”.

W naszym doświadczeniu szukaliśmy linii wpływu ugięcia belki w punkcie 3 i sprawdziliśmy teoretycznie (metodą Mohra) rzędne linii wpływu w punktach 1 i 5. Sprawdzenia linii wpływu dokonaliśmy również za pomocą danych z doświadczenia 1. Obciążając linię wpływu siłami tak jak w doświadczeniu 1, powinniśmy otrzymać ugięcie punktu 3 dla tego obciążenia, stosując wzór:

• Wyniki pomiarów:

W tabeli znajdują się wyniki będące średnią arytmetyczną 3 pomiarów.

Nr punktu	1	2	3	4	5	6
Obciążenie[kg]	-	-	5	-	-	-
OP	4,99	5,98	2,717	6,663	4,917	3,21
OK	4,62	5,30	1,86	5,84	4,277	3,563
[mm]	0,37	0,68	0,857	0,823	0,64	-0,353

• Doświadczalne rzędne linii wpływu ugięcia belki w punkcie 3.

[mm/N]

• 
  Wyznaczanie teoretycznych rzędnych linii wpływu metodą Mohra.

Błędy pomiaru:

• Sprawdzenie linii wpływu za pomocą danych z doświadczenia 1.

Błąd pomiaru:

5) Wnioski

Doświadczenia potwierdziły słuszność twierdzeń o wzajemności przemieszczeń i Betti-Maxwella. Ze względu na dobry stan techniczny belki i przyrządów pomiarowych, wartości doświadczalne mało różniły się od teoretycznych. Niewielkie błędy mogły być skutkiem błędnego odczytu z zegarów czujników lub przypadkowego odkształcenia belki.