28./IV PODSTAWOWE METODY ROZWIĄZYWANIA USTROJÓW PRĘTOWYCH STATYCZNIE NIEWYZNACZALNYCH (MS, MP)

METODA SIŁ - MS

Ustrój statycznie niewyznaczalny - więcej niewiadomych niż równań równowagi.

Płaszczyzna - trzy równania równowagi (moment i dwa przesunięcia)

Przestrzeń - sześć równań równowagi (3 obroty, 3 przesunięcia)

Koncepcja metody sił i kanoniczny układ równań.

Tok postępowania:

1. określenie SSN = n

SSN =r + 3a - 3 -∑b

r - liczba reakcji

a - liczba pól zamkniętych

b - równania wynikające z wprowadzenia przegubów

b = n - 1 n

niewyznaczalność zewnętrzna n_z = r-3

niewyznaczalność wewnętrzna n_w = SSN-n_z

dla kratownic :

r - liczba reakcji

p - ilość prętów

w - ilość węzłów

n_z = r - 3

n_w = SSN - n_z

2. dobór statycznie wyznaczalnego układu podstawowego UPMS, w którym zaczepia się n niewiadomych hiperstatycznych (nadliczbowych).

x₁……x_n

3. ułożenie układu równań kanonicznych metody sił

₁₁x₁ +
₁₂x₂ + ... +
_1nx_n + Δ_1p = 0

₂₁x₁ +
₂₂x₂ + ... +
_2nx_n + Δ_2p = 0

: : : : n- równań

_n1x₁ +
_n2x₂ + ... +
_nnx_n + Δ_np = 0 n- niewiadomych

wektor obciążeń

[F] {X} + {Δ} = {0}

macierz podatności wektor hiperstatyczny

4. obciążenie układu podstawowego kolejno siłami jednostkowymi na kierunkach niewiadomych hiperstatycznych .Otrzymujemy stany

, stąd otrzymujemy wykresy
;

to samo ze stanem P → M_p

5. obliczenie współczynników równań kanonicznych i rozwiązanie układu równań z którego otrzymujemy x₁…….x_n

6. obliczenie momentu ostatecznego

7. wykonanie sprawdzenia

1. Σ ∫

2. w każdym węźle ma być równowaga

3. To samo dla sił

Całkowanie graficzne:

Przykład.

EJ = const

SSN = 5 - 3 = 2

UPMS

z zasady superpozycji:

Wyznaczamy siły poprzeczne Q

Q_BA= - 4,86

∑Y = 0

Q_BC = Q_CB

Q_CD = Q_DC = 4,75

W sprawdzeniu należy przyjąć nowy układ podstawowy i przecałkować go z M_ost.

Musi wyjść zero.

METODA PRZEMIESZCZEŃ MP

1. koncepcja metody

Tok postępowania

1. Określenie stopnia kinematycznej niewyznaczalności ustroju - SKN

2. Przyjęcie układu podstawowego MP poprzez wprowadzenie dodatkowych więzów unieruchamiających ustrój

3. Zwalnianie kolejno więzów nadając na ich kierunku jednostkowe przemieszczenie, sporządzamy wykresy
   oraz sporządzamy wykres od obciążenia zewnętrznego M_p

4. Obliczenie współczynników układu równań kanonicznych M_p to jest: reakcji w więzach r_ij oraz od obciążenia R_ip

5. Ułożenie układu równań kanonicznych w których niewiadomymi są przemieszczenia z_j
   

6. Na podstawie wzorów transformujemy
   

2. SKN - nazywamy sumę obrotów węzłów oraz niezależnych przesunięć tych węzłów (liczba dodatkowych niezależnych więzów, które trzeba wprowadzić, aby ustrój się nie mógł odkształcić).
   

- łączna liczba obrotów węzłów sztywnych łączących, co najmniej dwa pręty układu

- łączna liczba niezależnych przesunięć węzłów

Przy wyznaczaniu SKN nie bierze się pod uwagę statycznie wyznaczalnych części konstrukcji np. wsporniki czy słupy podparte - przegubowoprzesuwne. W przypadku gdy ∑∆ = 0 należy sprawdzić czy układ przegubowy nie jest chwilowo zmienny i wrazie potrzeby wprowadzić odpowiednie więzy fikcyjne. Jeżeli układ jest przesztywniony tzn. ∑∆ < 0 to wówczas nie dodajemy ∑∆ +
tylko SKL =
.

Dla ułatwienia liczenia SKN wprowadza się łańcuch kinematyczny. Wprowadza się przeguby w miejscach łączeń a podpory zastępuje się w następujący sposób:

w - liczba węzłów łącznie z podporowymi

p - liczba prętów występujących w łańcuchu kinematycznym

SKN = 1

3. Równania transformacyjne MP:

SCHEMAT	PRZEMIESZCZENIE	REAKCJA
				Mik	Mki	Qik = Qki
	I	φi = 1
		φk = 1
		∆ = 1
	II	φi = 1		0
		∆ = 1		0
	III	φi = 1			0
		φk = 1			0

Schematy:




4. Układ równań metody przemieszczeń.




R_ig - obciążenie geometryczne

R_it - obciążenie temperaturą

Macierzowo:







5. Plan przemieszczeń - narysować w jaki sposób nastąpi odkształcenie.

Przykład:







Obliczenia prowadzimy przez wycinanie węzłów:





z₁ = 2,375 1/EJ z₂ = -3,125 1/EJ







Należy jeszcze policzyć siły poprzeczne i podłużne.