ogólny (duży) 
- czyt.: dla każdego x
Wykład1/2
Podstawowe własności funkcji elementarnych
Kwantyfikatory:
ogólny (duży)
- czyt.: dla każdego x
szczegółowy (mały 
- czyt.: istnieje x
Definicja 1. Funkcją określoną na zbiorze D, o wartościach w zbiorze Y, nazywamy takie przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi zbioru D przypada dokładnie jeden element zbioru Y.
Elementy zbioru D nazywamy argumentami, zaś elementy zbioru Y wartościami funkcji.
D - dziedzina funkcji
D Y Y - przeciwdziedzina lub zbiór wartości funkcji
D Y
Definicja 2. Niech
. Funkcję f nazywamy różnowartościową (iniektywną lub iniekcją) jeżeli 
(lub gdy spełniony jest warunek równoważny: 
)
Przykład 
Definicja 3. Niech
. Funkcję f nazywamy suriektywną (suriekcją) jeżeli 
.
Uwaga: Ta właściwość funkcji zależy istotnie od tego, jak zostanie zdefiniowany zbiór Y. Np.:
nie jest suriekcją, ponieważ
Ale 
jest funkcją suriektywną, ponieważ
Przedstawiona na diagramie funkcja jest
Definicja 4. Funkcję 
nazywamy bijektywną (bijekcją lub funkcją wzajemnie jednoznaczną) jeżeli jest ona suriektywna i iniektywna.
Definicja 5. Dana jest bijekcja: 
.
Funkcją odwrotną do f nazywamy
Uwaga!
Przykłady:
Definicja 6. Niech dane będą funkcje: 
Złożeniem (superpozycją) funkcji nazywamy funkcję 
Funkcję f nazywamy funkcją wewnętrzną, zaś g - funkcją zewnętrzną.
Przykład:
Wykonaj złożenia w obu porządkach
Wyznacz dziedzinę tych złożeń.
Funkcje elementarne
1. Wielomiany
2. Funkcje wymierne
Dziedzinę funkcji wymiernej stanowi zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem miejsc zerowych mianownika!!!!
3. Funkcje wykładnicze
przy czym parametr funkcji a>0
4. Funkcje logarytmiczne
przy czym parametr funkcji a>0 oraz 
Uwaga: Logarytm istnieje wyłącznie dla liczb dodatnich!!!
5. Funkcje potęgowe
Dziedzina funkcji zależy od wartości parametru p
w szczególności dla 
otrzymujemy 
i wówczas 
Uwaga: Pierwiastek kwadratowy istnieje wyłącznie dla liczb nieujemnych!!!
6. Funkcje trygonometryczne
(Uwaga: Z oznacza zbiór liczb całkowitych)
7. Funkcje cyklometryczne (kołowe) czyli
Funkcja 
Przyjrzyjmy się własnościom funkcji h(x) = sin x
jest funkcją zatem
x |
-1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
arc sinx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pozostałe funkcje cyklometryczne proszę opracować według powyższego wzoru samodzielnie.
f(x)=arccos x
x |
-1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
arc cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Opracowanie dr Elżbieta Badach
Na podstawie:
Fichtencholz G.M. Rachunek różniczkowy i całkowy PWN Warszawa 1985
1
a
b
1
2
3
a
b
1
2
3
c
d
a
b
1
2
3
c
4
π
0
