WYKŁAD 9

Przestrzenie afiniczne

W wykładzie tym uściślimy i zanalizujemy pojęcie wektora zaczepionego w punkcie i płaszczyzny przechodzącej przez ten punkt. Ograniczymy się do zdefiniowania tych pojęć,

gdy rozpatrywaną przestrzenią jest przestrzeń

Rⁿ = {[ x₁, ....., x_n ], x₁, ....., x_n ∈ R },

którą interpretujemy jako zbiór wektorów zaczepionych w punkcie (0,0,...,0) i o końcu w punkcie P (x₁, ....., x_n )

o współrzędnych x₁, ....., x_n. Odpowiadającą przestrzeni Rⁿ przestrzeń punktów P (x₁, ....., x_n ) oznaczymy w tym wykładzie przez Aⁿ.

PRZESTRZENIE AFINICZNE

Rozpatrzmy kartezjański układ współrzędnych oraz punkt P, w przestrzeni A³:

Przestrzenie A¹_, A² , A³ , itd. są to przestrzenie punktowe,

których elementami są punkty opisane przy pomocy współrzędnych, tj. układów liczb rzeczywistych postaci

odpowiednio : (a), (a, b), odpowiednio (a, b, c).

R², R³, itd. są to przestrzenie wektorowe, których elementami są wektory zaczepione w punkcie 0 i o końcach w punktach odpowiadającej przestrzeni punktowej.

Działanie wektora
na punkt P

Rozpoczniemy od zdefiniowania działania, które w pewien sposób będzie łączyło przestrzenie punktowe z przestrzeniami wektorowymi. Określimy mianowicie działanie wektora
na punkt P. Rozpatrzmy punkt P z przestrzeni Aⁿ i wektor
z przestrzeni Rⁿ o następujących współrzędnych:

Definicja Wynikiem działania wektora na punkt P nazwiemy punkt Q=(q1 , q2 ,..., qn) w A^n o tej własności, że: [ q1 - p1, q2 - p2,..., qn - pn ] = [ v1, v2, ….., vn ], czyli qi - pi = vi dla i = 1, 2, ...., n.

Zapiszemy to następująco: Q = P ⊕
i powiemy, że wektor
jest zaczepiony w punkcie P i ma koniec w punkcie Q.

Q ( q₁, q₂)

P = (p₁ ,p₂)

(0, 0) x

Stwierdzenie Każda para punktów P i Q w A^n wyznacza jednoznacznie pewien wektor o tej własności, że: gdzie: P = (p1 , p2 ,..., pn) oraz Q=(q1 , q2 ,..., qn).

Istotnie, za wektor
przyjmujemy:

Q P

Dzięki tak wprowadzonemu działaniu uzyskujemy:

• Równoważność działań w przestrzeni wektorowej Rⁿ

i przestrzeni punktowej Aⁿ.

• Przy pomocy tej operacji przenosimy pewne pojęcia algebry przestrzeni wektorowych na przestrzeń Aⁿ.

Przestrzeń Aⁿ z tak określonymi działaniami wektorów na punkty nazywamy przestrzenią afiniczną.

Definicja Układ punktów P1 , P2 ,...,Pn jest liniowo niezależny wtedy, gdy są liniowo niezależne wektory:

W szczególności:

każdy liniowo niezależny układ punktów P₁, P₂ , P₃

w A² lub A³ wyznacza równoległobok. Taki sam równoległobok otrzymujemy wybierając za punkt zaczepienia wektorów punkt P₂ lub P₃ lub dowolny inny punkt spośród P₁ , P₂ ,...,P_n .

PROSTA W PRZESTRZENI Aⁿ

Prostą w przestrzeni Rⁿ nazywamy podprzestrzeń

generowaną przez pojedynczy, niezerowy wektor.

Definicja

Dla wektora
w Rⁿ,
podprzestrzenią liniową
generowaną przez
nazwiemy zbiór wektorów postaci:

Inaczej, podprzestrzeń możemy zapisać jako:

Przykład

Wektor
należy do podprzestrzeni generowanej przez wektor
gdzie

parametr t ma wartość 4.

Rozpatrzmy punkt P₀, o następujących współrzędnych:

Definicja Prostą o kierunku przechodzącą przez punkt P0 nazwiemy zbiór punktów Q postaci: Q = P0 ⊕ gdzie: tzn. . Inaczej:

t₂ ⋅ a P₂

P₁

t₁ ⋅ a

P₀

a

P₃ t₃ ⋅ a

Przykład

Znaleźć punkt leżący na prostej wyznaczonej przez wektor

= [1, 2, 3] i przechodzącej przez punkt P₀ = (0, 4, -5).

Przyjmując za parametr na przykład t = 3 obliczamy

t ⋅
= 3[1, 2, 3] = [3, 6, 9],

stąd: P₁ = (0,4,-5) ⊕ [3, 6, 9] = (3, 10, 4).

Twierdzenie Mamy dany wektor i punkt P0 o współrzędnych: Punkt Q=(q1 ,q2 ,...,qn) ∈ E^n leży na prostej wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba rzeczywista t o tej własności, że: n tzn.: ;

Istotnie, Q ∈
oznacza, że: Q = P₀ ⊕

Rozpisując to równanie na współrzędne dostajemy tezę.

Powyższy układ równań nazywamy równaniem parametrycznym prostej

W przypadku n = 2, z równania parametrycznego prostej w przestrzeni A² parametr t może być wyeliminowany w celu otrzymania równania na współrzędne punktu Q.

Punkt Q( q₁, q₂ ) należy do prostej
wtedy i tylko wtedy, gdy jego współrzędne spełniają następujące równania dla pewnego parametru t:

gdzie:

Stąd otrzymujemy równanie:

.

Zatem ogólne równie prostej
w A² jest postaci:

gdzie:

Wektor
jest prostopadły do każego wektora na prostej:

Przykład

Napisać równanie parametryczne prostej w A³ o kierunku

= [2, 3, 5] i przechodzącej przez punkt P₀= (1, 2, 3).

[2, 3, 5]

(1, 2, 3)

Współrzędne punktów należących do szukanej prostej oznaczamy przez Q = ( q₁, q₂, q₃ ).

Spełniają one następujące równania:

Na przykład:

• dla parametru t =3 otrzymamy:

punkt Q₁ o współrzędnych: (7, 11, 18);

• dla parametru t = - 2, otrzymamy:

punkt Q₂ o współrzędnych: (- 3, - 4, - 7).

Przykład

Napisać równanie prostej w A² przechodzącej przez punkty: P₀ = (2, 4), Q₀ = (-1, -1).

Napisanie równania prostej przechodzącej przez punkty

P₀ i Q₀ jest równoznaczne z napisaniem równania prostej przechodzącej przez jeden z tych punktów

np. P₀, o kierunku wektora
.

Obliczamy współrzędne wektora
:

Q₀= (-1, -1)

P₀ = (2, 4)

Współrzędne punktu Q należącego do prostej wyznaczonej przez punkt P₀ i wektor
spełniają równania prostej:

Po wyznaczeniu z równań parametru t:

otrzymujemy równanie ogólne prostej:

PŁASZCZYZNA W PRZESTRZENI Aⁿ

Definicja

Dla liniowo niezależnych wektorów
,

płaszczyzną
generowaną przez
nazwiemy zbiór wektorów postaci:

Definicją tę możemy zapisać symbolicznie:

Przykład

Znaleźć wektor
należący do płaszczyzny generowanej przez wektory:
= [0, 6, -3],
= [1, 1, 1].

Przyjmijmy na przykład t = 2, s = 3, wtedy:

= 2[0, 6, -3] + 3[1, 1, 1] = [3, 15, -3]

Niech punkt :

Definicja

Płaszczyzną w Aⁿ wyznaczoną przez wektory
przechodzącą przez punkt P₀, nazwiemy zbiór
punktów Q ∈ Aⁿ postaci:

Twierdzenie Punkt wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczby rzeczywiste t i s o tej własności, że:

Równanie te nazywają się równaniami parametrycznymi płaszczyzny.

Ograniczymy się teraz do przypadku n = 3, mamy więc zgodnie z twierdzeniem:

Zauważmy, że wtedy układ równań:

ma rozwiązanie z = 1.

Z twierdzenia Cramera wynika, że musi być spełniony warunek:

Rozwinięcie względem trzeciej kolumny daje postać ogólną:

gdzie

Twierdzenie

Punkt Q ∈ A³ leży w płaszczyźnie
generowanej przez wektory
i przechodzącej przez punkt P₀ , wtedy i tylko wtedy, gdy:

Równanie to nosi nazwę równania normalnego płaszczyzny. Wektor wodzący
jest prostopadły do iloczynu wektorowego wektorów
generujących płaszczyznę.

Przykład

Napisać równanie płaszczyzny w A³ przechodzącej przez punkty: P
= (1, 1, 2), Q
= (3, 4, 5), R
= ( - 1, - 2, 3).

Przypomnijmy definicję płaszczyzny generowanej przez dwa wektory i przechodzącej przez dany punkt:

Przyjmujemy, że płaszczyzna jest generowana przez wektory postaci:

Równanie parametryczne płaszczyzny możemy zapisać jako:

Zadanie to możemy rozwiązać innym sposobem stosując równanie normalne płaszczyzny:

Jako wektory generujące płaszczyznę przyjmujemy:

Obliczamy iloczyn wektorowy:

oraz wektor:

Po obliczeniu iloczynu skalarnego otrzymanych wektorów znajdujemy równanie płaszczyzny w postaci:

-12(1- q
) + 8(1- q
) + 0(2- q
) = 0.

Stąd: 12q
- 8q
+ 4 = 0.

Zadania z geometrii analitycznej 3D:

Zadanie-1 Udowodnij że odległość punktu od płaszczyzny danej równaniem ogólnym wynosi

Zadanie-2 Wyznacz rzut prostokątny punktu (0,0,1) na płaszczyznę oraz punkt symetryczny do (0,0,1) względem tej płaszczyzny.

Zadanie-3 Wyznacz rzut prostokątny prostej x=y=z na płaszczyznę

Zadanie-4 Znajdź rzut ukośny w kierunku wektora [1,-1,1] punktu (0,1,0) na płaszczyznę x+3y-6=0

Zadanie-5 Znajdź punkt symetryczny do punktu (0,1,3) względem prostej

Algebra liniowa z geometrią

17

z

x

y

P(a, b, c)

a

t ⋅ a + s ⋅ b,

b

s ⋅ b

y

t ⋅ a

t ⋅ a + w ⋅ b,

w ⋅ b

t ⋅ a

b

a

P₀

P₀= (1, 1, 2)

Q₀= (3, 4, 5)

R₀=(1,-2,3)