1. Skręcanie prętów o przekroju kołowym

Prosty pręt o przekroju kołowym jest obciążony w płaszczyźnie prostopadłej do osi parą sił o momencie M.

Odkształcenie pręta - obroty poszczególnych przekrojów wokół osi pręta.

Kąt wzajemnego obrotu przekrojów końcowych nazywa się kątem skręcenia pręta
.

Na skutek odkształcenia tworzące (zarówno na powierzchni jak i wewnątrz stają się liniami śrubowymi.

Siły wewnętrzne zredukują się do momentu skręcającego M_S o kierunku zgodnym z osią pręta.

2. Założenia:

• następują wzajemne obroty płaskich, niedeformujących się przekrojów wokół osi pręta przy ich wzajemnie niezmienionych odległościach;

• poszczególne włókna nie wydłużają się przy odkształceniu, więc w przekrojach podłużnych i poprzecznych nie występują naprężenia normalne.

Warunki równowagi:

4. Warunki geometryczne:

-kąt odkształcenia postaciowego (posunięcie)

5. Warunki fizyczne:

- prawo Hooke'a

W.F W.G.:

Wstawiające do R.R.:

Naprężenie w dowolnym punkcie przekroju pręta skręcanego:

Całkowity kąt skręcenia:

gdy M_S,I₀ i G nie zależą od współrzędnej x:

6. OBLICZENIA WYTRZYMAŁOŚCIOWE:

Warunek wytrzymałościowy:

Stosując hipotezy wytrzymałościowe:

• hipoteza energii odkształcenia postaciowego:

• hipoteza największych naprężeń stycznych:

Największe naprężenia występują na brzegu przekroju:

W₀- wskaźnik wytrzymałości przekroju na skręcanie

Warunek wytrzymałościowy przy skręcaniu:

7. SKRĘCANIE SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNE

Rozkład naprężeń stycznych - fazy skręcania:

rys

Wartość graniczna momentu skręcającego M'_S: wartość M_S obliczona dla stanu skręcania idealnie plastycznego, w którym naprężenia w całym przekroju osiągają wartość stałą

8. WARUNEK SZTYWNOŚCI

Warunek dopuszczalnych przemieszczeń kątowych

Znakowanie:

9. ZALEŻNOŚCI GEOMETRYCZNE:

• przekrój pełny:
  

• przekrój pierścieniowy:

oznaczając

10. ZGINANIE PRĘTÓW

Czyste (równomierne) zginanie:

• w pewnym przedziale moment gnący ma stałą wartość (M_g=const).

• Siła poprzeczna jest wówczas równa zero:
  ,

• Belka jest obciążona równoważącymi się parami sił o momentach M,

• Kierunki wektorów momentów pokrywają się z kierunkiem jednej z osi symetrii przekroju,

• W każdym przekroju wystąpi wyłącznie moment gnący: M_g=M,\

• Odkształcenie przedstawia się jako zakrzywienie uprzednio zaznaczonych linii podłużnych i osi pręta,

• Linie prostopadłe do osi pręta (bb i cc) pozostają proste, zaś kontur przekroju jest nadal płaski.

Założenia przyjęte przy zginaniu:

• Przekrój płaski pozostaje płaski po odkształceniu pręta

• Istnieje warstwa obojętna prostopadła do płaszczyzny działania pary sił momentu gnącego (kierunek linii obojętnej jest zgodny z kierunkiem wektora momentu gnącego).

• W przekroju poprzecznym pręta wystąpią wyłącznie naprężenia normalne (w przekrojach podłużnych nie wystąpią żadne naprężenia).

• Warunki równowagi:




12. Dla włókna odległego o y od warstwy obojętnej jego długość wynosi:

• początkowo
  

• po odkształceniu
  


- wydłużenie właściwe (odkształcenie)

13. Związki geometryczne:
    

14. Związki fizyczne (odkształcenie sprężyste - prawo Hooke'a):




podstawiając


Prawo rozkładu naprężeń w przekroju:


Podstawiając do równań równowagi uzyskuje się :









Odkształcenie pręta wyrażające się poprzez zakrzywienie jego osi.


EI_Z - sztywność na zginanie

Naprężenia w pręcie zginanym:


Największe naprężenia występują w punktach przekroju najbardziej odległych od osi obojętnej zginania:




Warunek wytrzymałościowy:


Obliczenia wykonuje się na wartościach bezwzględnych:


Przydatność profilu do zginania (przy stałym polu przekroju):




Różna wytrzymałość na rozciąganie i ściskanie:

• wskazane jest stosowanie przekrojów niesymetrycznych względem osi obojętnej:

We wszystkich miejscach poza tym, gdzie M_g=M_gmax materiał nie jest należycie wykorzystany.

dr.inż Mirosław Szczepanik Wytrzymałość Materiałów 20.12.2008

wykład 3

- 5 -

Oś obojętna przekroju musi przechodzić przez środek ciężkości

zachodzi zginanie proste