Niezawodność obiektu - własność, która wyraża się poprawnym wykonywaniem przez obiekt założonych zadań w określonych warunkach i określonym czasie. Formalnym (matematycznym) wyrażeniem tego zaufania jest prawdopodobieństwo nieuszkodzenia obiektu.

Dystrybuanta zmiennej losowej
(funkcja zawodności) to prawdopodobieństwo uszkodzenia obiektu do chwili

, dla
przy czym

Funkcja niezawodności
- prawdopodobieństwo, że do chwili
nie nastąpi uszkodzenie.
, dla

Zakładając, że uszkodzenie obiektu (do chwili
, lub później) jest zdarzeniem pewnym:

,
,

Gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia
jest pochodną dystrybuanty

dla

Intensywność uszkodzeń
- warunkową gęstością prawdopodobieństwa powstania uszkodzenia w chwili
, pod warunkiem, że do chwili
uszkodzenie nie nastąpiło.

Oznaczamy ją
i nazywamy intensywnością uszkodzeń.

definiuje się jako:
; dla

Wzory:

Poprzez dystrybuantę
wyrazić je można jako:

,
,

Poprzez gęstość
wyrazić je można jako:

,

Poprzez funkcję niezawodności
wyrazić je można jako:

,
,

Przez funkcję intensywności:

,
,
,

Wskaźniki liczbowe niezawodności

wartość oczekiwana

;
,

wariancja

,

Wielkość
oznacza średni czas życia obiektu, a
przeciętne odchylenie czasu życia obiektów od oczekiwanego
.

Zmiany stanu technicznego spowodowane wymuszeniami skokowymi: stała wartość dopuszczalna, zmienna wartość dopuszczalna

Niezawodność typu wykładniczego Wówczas, gdy czas życia obiektu jest zmienną losową
o rozkładzie wykładniczym z parametrem
, a więc:
dla
,
dla
,
- wykładniczym prawem niezawodności;
;
;
;
- wykładnicze prawo niezawodności

Wykładniczemu prawu niezawodności podlegają obiekty, dla których
, tzn. takie, których odporność na bodźce wymuszające uszkodzenia nie maleje z upływem czasu. Omawiane prawo ma jeszcze jedną charakterystyczną własność: warunkowe prawdopodobieństwo poprawnej pracy obiektu w przedziale
pod warunkiem nieuszkodzenia w czasie
, zależy jedynie od długości przedziału
, nie zależy zaś od długości czasu
wcześniejszej pracy obiektu.

Rozkład jednostajny

dla
-
,
,
,
,
,

System o strukturze szeregowej

,
. W ogólnym przypadku t.j. dla zmiennych losowych
o dowolnym rozkładzie prawdopodobieństwa nie można podać bezpośredniej zależności między
i

Przypadki szczególne

1) Niech zmienne losowe
mają taki sam rozkład
prawdopodobieństwa
dla
,
Wszystkie elementy mają więc również jednakowe
dla
,
stąd

połączenie szeregowe
identycznych elementów zwiększa
krotnie prawdopodobieństwo uszkodzenia w danej chwili

,

2) Niech zmienne losowe
mają rozkład wykładniczy o parametrach odpowiednio
, ....,
,czyli:

,
,

3) Niech zmienne losowe
mają rozkład wykładniczy o tym samym parametrze
:
,
,

System o strukturze równoległej

Przypadki szczególne

1. Niech zmienne losowe
   mają jednakowy rozkład prawdopodobieństwa o dystrybuancie
   , wówczas:
   ,
   

2. Niech zmienne losowe
   maja rozkład wykładniczy o parametrach odpowiednio
   , ....
   ,

wówczas:
można przyjąć, że
, czyli

3) Niech zmienne losowe
maja wykładniczy rozkład prawdopodobieństwa o jednakowym parametrze
, wówczas:
,

Wyznaczamy dla tego przypadku

Który wariant jest korzystniejszy?

,

Krotność rezerwowania

,

dla
,

Rezerwa nieobciążona (zimna)

ale

W jakich sytuacjach układ będzie zdatny w chwili
?

1. element podstawowy (1) nie uszkodzi się do chwili
   :
   

2. element podstawowy (1) uszkodzi się w pewnej chwili
   , element rezerwowy (2) nie uszkodzi się w przedziale
   
   ,
   ,
   
   ,
   

,

Jeżeli będą dwa elementy rezerwowe, to pojawi się trzecia sytuacja, w której układ zachowa zdatność do chwili
:

3. element podstawowy (1) i element rezerwowy (2) uszkodzą się do pewnej chwili
   , element rezerwowy (3) nie uszkodzi się w przedziale
   

,
,
.
,

Zwiększając liczbę elementów rezerwowych możemy wyznaczyć kolejno:

,

Który element korzystniejszy

,

,

Rezerwa częściowo obciążona (chłodna)

do chwili uszkodzenia elementu (1)

po chwili uszkodzenia elementu (1)

1. element podstawowy (1) nie uszkodzi się do chwili
   :

element podstawowy (1) uszkodzi się w pewnej chwili
, element rezerwowy (2) nie uszkodzi się do chwili
:
,
,
,
,

,

dla rozkładu jednostajnego:

niech

Zależne uszkodzenia elementów

gdy jeden z elementów uszkodzi się to intensywność uszkodzeń elementu pozostającego w stanie zdatności wzrasta do

1) ani jeden element nie uszkodzi się do chwili
:

2) element (1) uszkodzi się w pewnej chwili
,
element (2) nie uszkodzi się do chwili
:

,
,
,

1.element (2) uszkodzi się w pewnej chwili
,
element (1) nie uszkodzi się do chwili
:

,