POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA

LABORATORIUM Z FIZYKI

TEMAT: Pomiar szerokości przerwy

energetycznej w półprzewodnikach

Świtała Witold

Berkowicz Robert

Terlicki Jacek

Kasprzyk Adam

1. Elementy mechaniki kwantowej

Każdej mikrocząsteczce przypisuje się falę materii, zwaną falą de Broglie'a, której długość i częstość pęd p. stowarzyszonej z falą cząstki i jej energia całkowita E są związaną znaną z mechaniki klasycznej zależnością:

(1.)

13. masa cząstki,

V - energia potencjalna określająca siłę działającą na cząstkę.

Równanie Schrodingera (równanie falowe) dla stanów tzw. stacjonarnych ma postać: (2.)

Rozwiązanie równania Schrodingera istnieją tylko dla pewnych wartości energii, które są nazywane wartościami własnymi. Każdy potencjał ma swój zbiór energii własnych.

2. Poziomy energetyczne swobodnych atomów

Atom wodoru jest najprostszym atomem występującym w przyrodzie, składającym się z jednego elektronu i protonu. Energia potencjalna elektronu w polu jądra ma postać:

(3.)

e - ładunek elektronu,

- przenikalność dielektryczna próżni,

r - odległość elektronu od jądra.

Rozwiązanie równania falowego można uprościć przez zastosowanie współrzędnych sferycznych r,, które ze współrzędnymi prostokątnymi są związane zależnościami:

(4.)

Równanie to można zapisać w postaci trzech niezależnych równań różniczkowych:

(5.)

Rozwiązania tych równań istnieją wtedy gdy parametry n, l, m_l, występujące w indeksach funkcji falowych są równe pewnym liczbom całkowitym. Liczby te nazywamy liczbami kwantowymi. Z rozwiązania równania Schrodingera wynika również wzór na wartość energii elektronu: n=1,2,3....... (6.)

Z powyższego wzoru widać, że energia elektronu w atomie jest określana tylko przez jedną liczbę kwantową n, która nazywa się główną liczbą kwantową. Liczba l jest nazywana orbitalną (poboczną) liczbą kwantową ponieważ jest miarą momentu pędu L elektronów jego ruchu po orbicie dookoła jądra (orbitalny moment pędu). Z rozwiązania równania (4.) wynika wzór na L:

(7.)

l może przyjmować wartości 0,1,2,...,(n-1). Liczba m₁ zwana magnetyczną liczbą kwantową określa orientację orbitalnego momentu pędu względem kierunku zewnętrznego pola magnetycznego.

Funkcje własne odpowiadające tej samej energii nazywamy funkcjami zdegenerowanymi. Degenerację można usunąć przez umieszczenie atomu w polu magnetycznym lub elektrycznym. Pojedynczy poziom energetyczny w polu magnetycznym rozszczepi się na 2l+1 podpoziomów leżących blisko siebie, ponieważ energia elektronu w polu magnetycznym zależy od m_l i wyraża się wzorem

(8.)

Równanie Schrodingera nie dotyczy cząstek poruszających się z prędkościami relatywistycznymi. Dirac stosując te same postulaty co Schrodinger zastąpił wzór (1.) wyrażeniem relatywistycznym

m₀- masa spoczynkowa elektronów.

Dla atomów wieloelektronowych spełniony jest zakaz Pauliego mówiący, że w danym atomie żadne dwa elektrony nie mogą mieć tego samego zespołu liczb kwantowych. Stosując zakaz Pauliego można ustalić konfigurację elektronową dowolnego atomu. Liczba n określa numer powłoki elektronowej, natomiast każda wartość l określa związana z wartością n podpowłokę.

3. Tworzenie się pasm w ciałach stałych

Gdy identyczne atomy znajdujące się początkowo w dużych odległościach zbliżane są wzajemnie aż do utworzenia ciała stałego to początkowo poziomy energetyczne są identyczne z poziomami atomu odosobnionego. Krzywe energii potencjalnej oddzielające sąsiednie dwa atomy nakładają się na siebie dając w rezultacie krzywe leżące niżej w porównaniu z atomem swobodnym. Zbliżenie atomów powoduje więc obniżenie barier potencjalnych i zmniejszenie ich szerokości. Elektrony 3s mają dlatego możliwość swobodnego poruszania się od jednego atomu do drugiego. Funkcje falowe takich elektronów zachodzą na siebie tak, że gęstość prawdopodobieństwa znalezienia się elektronu w odległości r od jądra jest prawie niezależna od tej odległości. Takie elektrony nazywamy gazem elektronowym. W krysztale złożonym z n atomów każdy poziom energetyczny poziom energetyczny pojedynczy w izolowanym atomie rozszczepia się na N bardzo blisko siebie leżące podpoziomy tworząc pasmo.

Zewnętrzne pole elektryczne przyłożone do kryształu może wpłynąć na ruch elektronów jedynie w paśmie nie wypełnionym całkowicie. W całkowicie wypełnionym paśmie nie ma wolnych poziomów energetycznych i dlatego elektron nie może zmienić swojego stanu ruch pod wpływem pola zewnętrznego. Pole to nie jest w stanie przenieść elektronu z pasma walencyjnego do pasma przewodnictwa jeżeli szerokość przerwy energetycznej jest zbyt duża. Mamy wówczas do czynienia z izolatorem.

Kryształy posiadające pasma wypełnione tylko częściowo są metalami. Kryształy, których schemat struktury pasmowej charakteryzuje się całkowitym wypełnieniem pasma walencyjnego i pustym pasmem przewodnictwa oddzielonych od siebie przerwą energetyczną są półprzewodnikami. Podział ten jest czysto umowny, ponieważ każdy półprzewodnik w temperaturze zera bezwzględnego jest izolatorem, podwyższeniem temperatury powoduje przejście części elektronów znajdujących się w pobliżu wierzchołka pasma walencyjnego do pasma przewodnictwa. Powoduje to powstanie w paśmie walencyjnym dziur, które mogą być zapełnione elektronami. Taki kryształ nazywamy półprzewodnikiem samoistnym. Przyłożenie do niego pola elektrycznego powoduje ruch elektronów w paśmie przewodnictwa i dziur w paśmie walencyjnym. Im węższa przerwa energetyczna i wyższa temperatura tym większe przewodnictwo elektryczne kryształu.

Oprócz półprzewodników samoistnych występują półprzewodniki domieszkowe. Domieszki które są ich źródłem elektronów przewodnictwa nazywamy donorami, poziomy energetyczne domieszek poziomami donorowymi, a półprzewodniki z takimi domieszkami półprzewodnikami typu n.

4. Elementy fizyki statycznej.

Funkcja rozkładu Fermiego-Diraca:

(9.)

Cząstki podlegające temu rozkładowi nazywamy fermionami. Pełna funkcja rozkładów dla fermionów ma postać

(10.)

E_F- energia Fermiego.

Całkując pełną funkcje rozkładu N(E)dE w granicach od 0 do E_F w temperaturze 0K znajdujemy koncentrację n=N/V elektronów przewodnictwa i stąd energię Fermiego, która wyraża się wzorem:

(11.)

Obliczenie dla wyższych temperatur prowadzi do wniosku, że zarówno koncentracja elektronów przewodnictwa jak i energia Fermiego bardzo słabo zależą od temperatury. Dla porównania podamy również funkcje rozkładu, która opisuje zachowanie się cząstek zwykłego gazu, dla którego nie obowiązuje zakaz Pauliego. Jest to funkcja rozkładu Boltzmanna wyrażająca się wzorem:

(12.)

- potencjał chemiczny.

Pełna funkcja rozkładu zwana statyką Maxwella-Boltzmanna ma postać

(13.)

5. Przewodnictwo elektryczne półprzewodników

Temperaturowa zależność przewodnictwa elektrycznego metali czy półprzewodników zależy od zależności ruchliwości i koncentracji nośników od temperatury. W półprzewodnikach domieszkowych przy niskich temperaturach energia drgań sieci kT nie jest wystarczająca aby przenieść elektron z pasma walencyjnego do pasma przewodnictwa. Jest natomiast wystarczająca aby przenieść elektrony z poziomów donorowych E_d do pasma przewodnictwa i dziury z poziomów akceptorowych E_a do pasma walencyjnego. Dlatego w obszarze niskich temperatur w półprzewodnikach domieszkowych zachodzą przejścia tylko „domieszkowych nośników ładunku”. Przy podwyższaniu temperatury rozpoczyna się wzbudzanie samoistnych nośników ładunku, półprzewodnik domieszkowy zachowuje się podobnie jak samoistny. Jednakże przy dostatecznie wysokich temperaturach, koncentracja nośników samoistnych znacznie przekracza wartość N_d co odpowiada przejściu półprzewodnika domieszkowego do obszaru półprzewodnictwa samoistnego. Temperatura takiego przejścia jest tym wyższa im większa jest szerokość przerwy energetycznej i koncentracja domieszek.

Zależności ruchliwości nośników od temperatury. W obszarze niskich temperatur główne znaczenie ma rozproszenie nośników na domieszkach. Jony domieszek odchylają elektrony powodując zmniejszenie ich prędkości. Z drugiej strony długość drogi swobodnej jest odwrotnie proporcjonalna do koncentracji domieszek i nie zależy od temperatury. Należy podkreślić, że temperaturowa zależność ruchliwości dla elektronów gazu zdegradowanego jest zupełnie inna. Wzór na przewodnictwo całkowite półprzewodnika domieszkowego ma postać:

(14.)

6. Termistory

Są to półprzewodniki wykonane z tlenków metali od Ti do Cu oraz ich mieszanin. W praktyce wykorzystuje się ich silną zależność od temperatury.

a wobec tego (15.)

lub (16.)

Zależność temperaturową oporu termistora charakteryzuje temperaturowy współczynnik . Korzystając z tego wzoru obliczamy , gdzie B=E_g/2k. Badając zależność oporu od temperatury, obliczamy E_g jako współczynnik kierunkowy prostej lnR(1/T).

7. Tabela pomiarów

T	I	U	RT	lnRT	T	1/T	Eg	B	T^2	[αT]
[^oC]	[mA]	[V]	[Ω]	-	[K]	[K^-1]	[eV]	[K]	[K^2]	[K^-1]
25	1,2	8	6666,667	8,804875	298	0,003356	-0,46	-2650,48	88804	0,029846
30	1,4	8	5714,286	8,650725	303	0,0033	-0,46	-2650,48	91809	0,02887
35	1,6	8	5000	8,517193	308	0,003247	-0,46	-2650,48	94864	0,02794
40	1,85	8	4324,324	8,372011	313	0,003195	-0,46	-2650,48	97969	0,027054
45	2,1	8	3809,524	8,245259	318	0,003145	-0,46	-2650,48	101124	0,02621
50	2,4	8	3333,333	8,111728	323	0,003096	-0,46	-2650,48	104329	0,025405
55	2,7	8	2962,963	7,993945	328	0,003049	-0,46	-2650,48	107584	0,024636
60	3,1	8	2580,645	7,855795	333	0,003003	-0,46	-2650,48	110889	0,023902
65	3,5	8	2285,714	7,734434	338	0,002959	-0,46	-2650,48	114244	0,0232
70	3,9	8	2051,282	7,62622	343	0,002915	-0,46	-2650,48	117649	0,022529
75	4,4	8	1818,182	7,505592	348	0,002874	-0,46	-2650,48	121104	0,021886
80	4,8	8	1666,667	7,418581	353	0,002833	-0,46	-2650,48	124609	0,02127

8. Wyniki pomiarów

• Wykres zależności R_T=f(T) dla termistora

• Wykres zależności lnR_T=f(1/T) dla termistora

Tangens kąta nachylenia prostej do osi 1/T wynosi -2650,48 i jest on równy wartości stałej materiałowej B. Korzystając z zależności, że B=E_g/2k obliczyliśmy szerokość przerwy energetycznej E_g. Wiedząc, że k jest stałą Boltzmana i wynosi ona 1,38*10^-23 J/K, to przerwa energetyczna w naszym przypadku wynosi: E_g=-0,46.

• Korzystając z równania obliczyliśmy dla termistora:

R₂₅ dla termistora wynosi R₂₅=6666,667, a opór termistora w temperaturze nieskończenie wysokiej wynosi =48598620.

• Wykres zależności α_T=f(T) dla termistora

9. Wnioski

• Ogrzewając termistor przy stałym napięciu równym 8 V wzrasta jego natężenie a opór maleje.

• Z zależności lnR_T=f(1/T) dla termistora widać, że wraz ze zmniejszaniem się wartości 1/T następuje liniowy spadek wartości funkcji logarytmicznej.

• Tangens kąta nachylenia prostej do osi 1/T dla termistora wynosi -2650,48 i jest on równy wartości stałej materiałowej.

• Współczynnik temperaturowy termistora maleje.

• Mamy do czynienia z półprzewodnikiem, gdyż przerwa energetyczna jest mniejsza od 3 eV. Dla termistora wynosi ona -0,46.

7

2

---