Zestaw 14

Pochodne wyższych rzędów

Niech będzie dana funkcja
określona w pewnym obszarze
. Przypuśćmy, że istnieją pochodne cząstkowe tej funkcji
,
. Pochodne cząstkowe tych pochodnych, jeżeli istnieją, nazywamy pochodnymi cząstkowymi drugiego rzędu funkcji
.

Wszystkich pochodnych drugiego rzędu funkcji
jest 4, mianowicie

,
,

,
,

przy czym np. zapis
jest skrótem zapisu
.

Obliczanie pochodnych cząstkowych funkcji dwóch zmiennych sprowadza się więc, przy ustaleniu jednej z nich, do obliczania pochodnych funkcji jednej zmiennej.

Przykład 1. Wyznacz wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji danej wzorem:

.

Rozwiązanie. Wyznaczamy najpierw pochodne pierwszego rzędu:

.

Następnie wyznaczamy pochodne drugiego rzędu:

,

,

,

.

Przykład 2. Wyznacz wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji danej wzorem:
.

Rozwiązanie. Mamy

,

i dalej

,

,

,

.

Pochodna kierunkowa funkcji

Gradientem funkcji różniczkowalnej
w punkcie
nazywamy wektor określony wzorem:

.

Przy użyciu pojęcia gradientu, pochodną kierunkową funkcji
w punkcie
w kierunku wektora
obliczamy ze wzoru:

.

Przykład 3. Wyznaczyć pochodną kierunkową funkcji
w punkcie
w kierunku wektora
.

Rozwiązanie. Zauważmy, że

,
,

,

oraz

.

Zatem

.

Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych

Warunek konieczny istnienia ekstremum

Jeżeli funkcja
ma w punkcie
ekstremum lokalne oraz istnieją w tym punkcie pochodne cząstkowe
i
, to:

= 0 i
= 0.

Punkt, w którym spełniony jest warunek konieczny, nazywamy punktem stacjonarnym.

Warunek wystarczający istnienia ekstremum

Jeżeli funkcja f ma w pewnym otoczeniu punktu stacjonarnego
pochodne pierwszego i drugiego rzędu ciągłe oraz:

,

to w punkcie
istnieje ekstremum lokalne, przy czym:

Jeśli
> 0, to w punkcie
istnieje minimum lokalne.

Jeśli
< 0, to w punkcie
istnieje maksimum lokalne.

Jeżeli
, to w punkcie stacjonarnym
nie ma ekstremum.

Jeżeli
, to twierdzenie nie rozstrzyga o istnieniu ekstremum.

Z powyższych twierdzeń wynika następujący schemat wyznaczania ekstremów funkcji
:

1. Obliczamy pochodne cząstkowe rzędu pierwszego
i
oraz przyrównujemy je do zera, znajdując w ten sposób punkty stacjonarne.

2. Znajdujemy pochodne cząstkowe rzędu drugiego i tworzymy wyznacznik
.

3. Obliczamy kolejno znak wyznacznika
w punktach stacjonarnych, a w przypadku gdy jest on większy od zera, badamy także znak pochodnej
< 0 lub
w tych punktach.

Przykład 4. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
.

Rozwiązanie. Wyznaczamy dziedzinę funkcji:
.

Szukamy najpierw - zgodnie ze schematem podanym wyżej - punktów stacjonarnych, czyli obliczmy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu, a następnie przyrównujemy je do zera.

,

i rozwiązujemy układ równań:

--
--
.

Stąd otrzymujemy cztery punkty stacjonarne: P₁(l,2), P₂(l,-2), P₃(-l,2), P₄(-l,-2), w których spełniony jest warunek konieczny istnienia ekstremum, czyli 4 punkty, w których może być ekstremum.

Następnie obliczamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu i tworzymy wyznacznik
:

,
,
,
.

Badamy teraz kolejno znak wyznacznika w punktach P₁(l,2), P₂(l,-2), P₃(-l,2), P₄(-l,-2) i na podstawie warunku wystarczającego wnioskujemy o istnieniu ekstremum lokalnego.

Badamy punkt P₁(1,2).

> 0, zatem istnieje ekstremum

> 0, zatem w punkcie P₁(l,2) istnieje minimum lokalne.

Badamy punkt P₂(l,-2).

< 0, zatem w tym punkcie nie istnieje ekstremum

Badamy punkt P₃(-l,2).

< 0, zatem w tym punkcie nie istnieje ekstremum

Badamy punkt P₄(-l,-2).

> 0, zatem istnieje ekstremum

= -12 < 0 zatem w punkcie P₄(-l,-2) istnieje maksimum lokalne.

Odpowiedź:

Przedstawiona w zadaniu funkcja ma dwa ekstrema lokalne: minimum lokalne w punkcie P₁(1,2) i maksimum lokalne w punkcie P₄(-l,-2), przy czym:

fmin = f(1,2) = 2 + 8 - 6 - 24 = -20

fmax = f(-1,-2) = -2 -8 +6 +24 = 20.

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 1. Wyznacz
,
,
,
, gdzie funkcja
dana jest wzorem:

(a)
,

(b)
,

(c)
,

(d)
,

(e)
.

Zadanie 2. Wyznacz pochodną kierunkową funkcji
w punkcie
w kierunku wektora
jeżeli:

(a)
,
,
,

(b)
,
,
,

(c)
,
,
.

Zadanie 3. Wyznaczyć ekstrema funkcji
, gdzie:

(a)
,

(b)
,

(c)
,

(d)
,

(e)
,

(f)
.

Odpowiedzi.

Zadanie 1.

(a)
,
,
,
,

(b)
,
,
,
,

(c)
,
,
,
,

(d)
,
,

,
,

(e)
,
,
,
.

Zadanie 2.

(a)
, (b)
, (c)
.

Zadanie 3.

(a) brak ekstremum,

(b)
,

(c)
,

(d)
,

(e) brak ekstremum,

(f)
,
.

7

---