Sprawy organizacyjne:

Wielomiany. Ciągi i ich granice. Macierze. Liczby zespolone. Geometria analityczna.

Egzamin: 6 zadań.

Podręczniki:

1. Matematyka tom I, II, III. J. Szymszal - I i II. Tom III - u Szymszala.Logika matematyczna:

Zdaniem (w sensie logicznym) jest każdy twór złożony ze znaków lub głosek, któremu można przypisać tzw. Wartość logiczną, tzn. prawdę lub fałsz.

Prawda - 1, P, T.

Fałsz - 0, F.

1. Bocian jest owadem - 0.

2. Każdy kwadrat jest czworokątem - 1.

3. Każdy czworokąt jest kwadratem - 0.

4. Liczba 5 jest liczbą pierwszą - 1.

5. Każda liczba parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych.
   (Hipoteza Goldbacha) - nie można przypisać wartości logicznej.

6. Narysuj wielokąt o równych bokach.

7. Jakie jest rozwiązanie równania
   ?

8. Czy liczba 7 jest mniejsza ?

Są też zadania, które matematycy uważają za bełkot.

W matematyce spotyka się wyróżnienia (twory) zawierające zmienne. Wyrażenia takie nazywa się formami zdaniowymi lub inaczej funkcjami zdaniowymi.

a)
- formuła.

dla
(prawda)

dla
(fałsz)

b) Mężczyzna jest brunetem.

Zdania proste oznaczamy z reguły małymi literami (p, g, r, s).

Można z nich budować zdania złożone za pomocą funktorem zdaniotwórczym:

~ negacja (nieprawdą jest, że; nie)

koniunkcja (i)

alternatywa (lub)

implikacja/wynikanie (jeżeli …, to …)

równoważność (wtedy i tylko wtedy)

Analizę prawdziwości zdań złożonych przeprowadza się za pomocą tzw. Tabel wartości logicznych (tabel prawdziwościowych, tabel Posta, lub tabel 0-1).

1	1	0	0	1	1	1	1
1	0	0	1	1	0	0	0
0	1	1	0	1	0	1	0
0	0	1	1	0	0	1	1

Pewne zdania złożone są prawdziwe zawsze bez względu na wartość logiczną tworzących je zdań prostych.

Zdania takie nazywają się tautologiami (prawami logicznymi).Tautologie.

1.
- prawo tożsamości.

2.
- prawo wyłącznego środka.

3.
- prawo wyłącznej sprzeczności.

4.
- prawo podwójnego przeczenia.

5.
- prawo Dunsa Szkota.

6.
- prawo kontra pozycji.

7.
- prawo odrywania.

Prawa De Morgana:

Prawa rozdzielności.

Aby móc opisywać właściwości i relacje między obiektami matematycznymi, posługujemy się tzw. logiką predykatów, występują w niej tzw. indywidualia, predykaty i kwantyfikator.

Kwantyfikator:

- „dla każdego”

- „istnieje r”
x

- 0 (fałsz)

- 1 (prawda)

- oceń wartość logiczną zdania.

1	1	0	0	0	0	0	1
1	0	1	1	0	1	1	1
0	1	1	1	1	0	1	1
0	0	1	1	1	1	1	1

tautologia

Wielomiany.

Wielomianem stopnia „n” nazywamy funkcję, której dziedziną są liczby rzeczywiste, a wartości opisywane są wzorem.

stopnia „n”

- współczynniki wielomianów.

Pierwiastkiem wielomianu nazywamy argument „a”, dla którego wartość wielomianu jest równa zero.

jest pierwiastkiem
.

Twierdzenie o rozkładzie wielomianu.

Jeżeli W(x) i P(x) są wielomianami odpowiednio stopnia n i k (n
k) i P(x) nie jest wielomianem zerowym, to istnieją wielomiany a(x) i R(x) także, iż

jest podzielny przez zero.

Twierdzenie Bezout:

Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x)
gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x-a).

Liczba a może być pierwiastkiem wielokrotnym wielomianu W(x), np. pierwiastkiem k-krotnym, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x-a)
i nie jest podzielny przez ten dwumian w wyższej potędze.

Twierdzenie o reszcie:
Jeżeli wielomian W(x) podzielimy przez dwumian (x-a) to reszta z dzielenia równa jest wartości wielomianu dla argumentu „a”, czyli W(a).

Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych:
Jeżeli „r” jest pierwiastkiem całkowitym równania o współczynnikach całkowitych
to liczba „r” jest dzielnikiem wyrazu wolnego
.

Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych:

Jeżeli liczba wymierna
jest pierwiastkiem równania
o współczynnikach całkowitych (
to „r” jest dzielnikiem wyrazu wolnego
, a „p” jest dzielnikiem
.

Zad. 1. Podziel wielomian.

przez

=

=

=

= =

Zad. 2. Nie wykonując dzielenia wykaż, że

jest podzielny przez a(x)=x

a(x)=(x-3)(x-2)

W (3) = 81 + 27 - 63 - 39 - 6 = 0

Zad. 3. Oblicz sumę współczynników oraz wyraz wolny wielomianu.

i W(1)=

Zad. 4. Dla jakich wartości parametru „k” reszta z dzielenia wielomianu W(x)
przez dwumian
wynosi 11.

/:2

,

---