1. Obliczyć wartość iloczynu skalarnego 
wektorów o składowych 
i 
.
Kolokwium wykładowe z kinamatyki
1. Obliczyć wartość iloczynu skalarnego
wektorów o składowych
i
.
Odp.: 
.
2. Obliczyć wartość iloczynu wektorowego 
wektorów o składowych 
i 
.
Odp.: 
.
3. Obliczyć wartość iloczynu mieszanego 
wektorów o składowych 
, 
i 
.
Odp.:
.
4. Uprościć wyrażenie: 
.
Odp.: Na podstawie tożsamości 
wnioskujemy 
.
5. Uprościć wyrażenie: 
.
Odp.: 
. Na podstawie antyprzemienności iloczynu mieszanego wnioskujemy, że 
. Stąd wynika 
.
6. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o rozkładzie przyspieszenia punktu na przyśpieszenie normalne i styczne.
Odp.: 
gdzie 
jest przyspieszeniem stycznym, 
jest przyśpieszeniem normalnym, 
jest jednostkowym wektorem stycznym, 
jest krzywizną toru, 
jest promieniem krzywizny toru, 
jest jednostkowym wektorem normalnym.
7. Dane są równania płaskiego ruchu punktu materialnego: 
gdzie 
i 
są stałymi. Wyznaczyć przyspieszenie normalne i styczne w chwili 
.
Odp.: 
, 
.
Obliczenia: Na podstawie twierdzenia o rozkładzie przyspieszenia punktu na przyśpieszenie normalne i styczne obliczmy:
a). Wektor prędkości punktu 
.
b). Długość wektora prędkości 
.
c). Jednostkowy wektor styczny 
.
d). Jednostkowy wektor normalny 
, bo w ruchu płaskim wystarczy obrócić 
o -90o aby otrzymać 
.
e). Wektor przyśpieszenia 
.
f). Przyspieszenie styczne 
.
g). Przyspieszenie normalne 
.
h). Wartości chwilowe przyspieszenia stycznego i normalnego:
, 
.
8. Dane są równania płaskiego ruchu punktu materialnego: 
gdzie 
i 
są stałymi. Wyznaczyć przyspieszenie normalne i styczne w chwili 
.
Odp.: 
, 
.
Obliczenia: Na podstawie twierdzenia o rozkładzie przyspieszenia punktu na przyśpieszenie normalne i styczne obliczmy:
a). Wektor prędkości punktu 
.
b). Długość wektora prędkości 
.
c). Jednostkowy wektor styczny 
.
d). Jednostkowy wektor normalny 
, bo w ruchu płaskim wystarczy obrócić wektor styczny 
o -90o aby otrzymać wektor normalny 
.
e). Wektor przyśpieszenia 
.
f). Przyspieszenie styczne 
.
g). Przyspieszenie normalne 
.
h). Wartości chwilowe przyspieszenia stycznego i normalnego:
, 
.
9. Koło o promieniu R toczy się ruchem płaskim po płaszczyźnie bez poślizgu. Wiadomo, że prędkość środka koła 
jest stała. Wyznaczyć przyspieszenie punktu odległego o r od środka koła w swym najwyższym/najniższym/dowolnym położeniu.
Odp.: 
.
Obliczenia.
Z twierdzenia o prędkościach punktów bryły 
, bo 
.
Zatem prędkość kątowa koła wynosi 
. Zatem przyśpieszenie kątowe koła wynosi 
.
Z twierdzenia o przyśpieszeniach punktów bryły 
. Ale przyśpieszenie środka koła wynosi 
. Przyśpieszenie obrotowe również znika 
. Pozostaje jedynie przyśpieszenie dośrodkowe 
.
Uwaga! Jak to zwykle bywa w niniejszym zadaniu przyśpieszenie środka chwilowego obrotu jest niezeroweeeeeeeeeeeeeeeee i wynosi 
.
10. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o prędkościach i przyśpieszeniach punktów bryły w ruchu kulistym.
Odp.: W ruchu kulistym prędkość i przyśpieszenie punktu bryły o położeniu 
względem środka ruchu wynoszą odpowiednio
, 
gdzie 
jest wektorem prędkości kątowej bryły, a 
jest wektorem przyśpieszenia kątowego bryły?
12. Wiadomo, że bryła porusza się ruchem obrotowym ze stałą prędkością kątową 
. Obliczyć składowe wektorów prędkości i przyśpieszenia punktu bryły o współrzędnych 
względem układu współrzędnych z zerem na osi obrotu.
Odp.: 
, 
.
Z twierdzenia o prędkościach punktów bryły w ruchu kulistym wynika, że prędkość rozpatrywanego punktu wynosi
Z twierdzenia o przyśpieszeniach punktów bryły w ruchu kulistym wynika, że przyśpieszenie rozpatrywanego punktu wynosi
bo 
.
13. Wiadomo, że bryła porusza się ruchem obrotowym ze stałą prędkością kątową 
. Obliczyć składowe wektorów prędkości i przyśpieszenia punktu bryły o współrzędnych 
względem układu współrzędnych z zerem na osi obrotu.
Odp.: 
, 
.
Z twierdzenia o prędkościach punktów bryły w ruchu kulistym wynika, że prędkość rozpatrywanego punktu wynosi
Z twierdzenia o przyśpieszeniach punktów bryły w ruchu kulistym wynika, że przyśpieszenie rozpatrywanego punktu wynosi
bo 
.
14. Wiadomo, że bryła porusza się ruchem kulistym, a punkty A i B mają współrzędne odpowiednio [1,0,0] i [0,1,0] względem układu współrzędnych z zerem w środku ruchu kulistego. Wiadomo również, że składowe prędkości punktów A i B wynoszą odpowiednio [0,3,-2] i [-3,0,1] w tym samym układzie współrzędnych. Wyznaczyć składowe wektora prędkości kątowej bryły.
Odp.: 
.
Obliczenia: Z twierdzenia o prędkościach punktów bryły w ruchu kulistym zastosowanego dla punktów A i B wynika
,
.
Stąd wnioskujemy, że 
, 
, 
jest rozwiązaniem otrzymanego układu równań.
15. Wiadomo, że bryła porusza się ruchem kulistym, a punkty A i B mają współrzędne odpowiednio [1,0,0] i [0,1,0] względem układu współrzędnych z zerem w środku ruchu kulistego. Wiadomo również, że składowe prędkości punktów A i B wynoszą odpowiednio [0,1,-2] i [-1,0,3] w tym samym układzie współrzędnych. Wyznaczyć składowe wektora prędkości kątowej bryły.
Odp.: 
.
Obliczenia: Z twierdzenia o prędkościach punktów bryły w ruchu kulistym zastosowanego dla punktów A i B wynika
,
.
Stąd wnioskujemy, że 
, 
, 
jest rozwiązaniem otrzymanego układu równań.
16. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o prędkościach w ruchu złożonym punktu.
Odp.: Jeżeli równania ruchu punktu materialnego przedstawić w postaci
gdzie 
są współrzędnymi rozpatrywanego punktu względem zaczepionego w punkcie 
ruchomego układu współrzednych o wersorach 
to prędkość bezwzględna punktu wynosi 
gdzie
jest prędkością względną, a
jest prędkością unoszenia, natomiast 
jest wektorem prędkości kątowej ruchomego układu współrzędnych.
17. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o przyśpieszeniach w ruchu złożonym punktu.
Odp.: Jeżeli równania ruchu punktu materialnego przedstawić w postaci
gdzie 
są współrzędnymi rozpatrywanego punktu względem zaczepionego w punkcie 
ruchomego układu współrzednych o wersorach 
to przyspieszenie bezwzględne punktu wynosi 
gdzie
jest przyśpieszeniem względnym,
jest przyśpieszeniem unoszenia, a
jest przyspieszeniem Coriolisa natomiast 
i 
są wektorami prędkości i przyspieszenia kątowego ruchomego układu współrzędnych.