- przestrzeń probabilistyczna (def. na egzamin!)
- przestrzeń probabilistyczna (def. na egzamin!)
- przeliczalny lub skończony 
- nieprzeliczalny 
inny
Np.: Niech 
- przeliczalny 
(można ustawić w ciąg)
(
); 
; 
1) 
2) 
∅
3) 
∅ 
4) 
5) 
P jest zupełne
Np2: Prawdopodobieństwo klasyczne (wg. Laplace'a)
; 
- zdarzenia równoprawdopodobne 
Np3: Rzucamy kostką do gry:
A - parzysta ilość oczek
B - 5 lub 6 
(gdy kostka jest symetryczna)
Gdy kostka nie jest symetryczna to musimy zastosować rozkład:
Rzucamy próbnie 100 razy:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
20 |
10 |
15 |
5 |
35 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
Np4: Rzucamy monetą tak długo, aż wypadnie dwa razy na tę samą stronę. Jak wygląda przestrzeń zdarzeń elementarnych i jakie jest prawdopodobieństwo, że potrzebna będzie parzysta ilość rzutów.
(suma szeregu geometrycznego)
Prawdopodobieństwo warunkowe:
określamy 
nowa przestrzeń 
jest 
ciałem na B
Sprawdzamy, że 
jest miarą zupełną i unormowaną na 
:
∅ 
∅
∅ 
- zupełne
A zatem 
jest miarą zupełną i unormowaną na B, czyli 
jest przestrzenią probabilistyczną.
Rozszerzamy miarę 
na S
- nowa przestrzeń probabilistyczna
spełnia warunki miary na S (zupełnej i unormowanej)
Załóżmy, że 
z założenia 
dla 
Prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa:
∅
Def: Zdarzenia 
spełniające warunki trzy powyższe warunki nazywamy układem zupełnym zdarzeń.
Tw: 
; 
- przestrzeń zupełna zdarzeń
dane
Teza: 
Dow:
- parami rozłączne 
- też rozłączne
- wzór Bayesa.
Np.: Na 100 mężczyzn - 5, a na 1000 kobiet - 2 to daltoniści. Z grupy o jednakowej liczbie mężczyzn i kobiet wybrano losowo osobę, która okazała się daltonistą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to mężczyzna.
∅
M, K tworzą układ zupełny zdarzeń
B - zbiór wszystkich daltonistów
.
Wieloetapowe doświadczenia losowe:
Np.: Rzucamy monetą 1zł i 2zł
P nazywa się iloczynem kartezjańskim miar 
i 
. Oznaczamy 
Def: 
- przeliczalny
- przeliczalny
Tw: 
Dla wieloetapowego doświadczenia:
... 
... 
... 
Tw: 
, gdzie 
(
)
Schemat Bernoulliego:
Rozważamy n identycznych niezależnych doświadczeń losowych, z których każde kończy się jednym z dwóch wyników. Modelem probabilistycznym dla pojedynczego doświadczenia jest: 
Doświadczenie łączne polegające na n-krotnym powtórzeniu tego samego doświadczenia opisane jest następująco:
, gdzie 
- zdarzenie polegające na tym, że w ciągu 
znajdzie się dokładnie
k jedynek 
5
Luke Rachunek prawdopodobieństwa-wykład 26.2.2k+1
