ZESTAW 1

1. Co to jest lepkość cieczy i od czego zależy? Czym się różni od lepkości w gazie?

Lepkość - nazywa się zdolność płynu do przenoszenia naprężeń stycznych przy wzajemnym przemieszczaniu jego elementów z różnymi prędkościami. Powstające przy tym siły są styczne do kierunku ruchu i noszą nazwę sił stycznych lub oporów tarcia. Stosunek siły stycznej T do powierzchni A na której ona działa określa naprężenie styczne τ - zgodnie ze wzorem NEWTONA naprężenie τ jest proporcjonalne do pochodnej prędkości v obliczonej w kierunku normalnym n do tej powierzchni:

Pochodna dv/dn jest nazywana prędkością odkształcenia kątowego lub prędkością ścinania. Współczynnik proporcjonalności μ jest miara lepkości płynu i nazywa się dynamicznym współczynnikiem lepkości. Jego jednostką jest [kg/(m·s)]. Lepkość płynów newtonowskich zależy głównie od temperatury oraz nieznacznie od ciśnienia. Dla cieczy lepkość maleje, gdy temperatura rośnie, dla gazów odwrotnie. Wynika to z różnych przyczyn powstawania oporów tarcia w obu ośrodkach. Źródłem sił stycznych między dwiema warstwami poruszającej się cieczy są siły spójności, które maleją wraz ze wzrostem temperatury. W gazie siły spójności nie odgrywają większej roli.. Wraz ze wzrostem temperatury gazu rośnie energia kinetyczna ruchu postępowego drobin, a tym samym intensywność wymiany pędu.

Stosunek dynamicznego współczynnika lepkości od gęstości płynu nazywa się kinematycznym współczynnikiem lepkości ν = μ /ρ [m²/s]

2. Zdefiniuj pojęcia: przepływ ustalony, jednostajny, laminarny, potencjalny.

Przepływ ustalony: ruch, w którym parametry takie jak np. prędkość czy energia kinetyczna cieczy są wartościami stałymi tzn. pochodna lokalna wszystkich jego parametrów w całej przestrzeni i w każdej chwili trwania ruchu jest równa zeru.

Przepływ jednostajny: ruch, w którym linia spadku dna i jest równa spadkowi linii zwierciadła jak i spadkowi hydraulicznemu.

Przepływ laminarny: jest to ruch, w którym tory elementów płynu są do siebie równoległe. W ruchu tym występuje liniowa zależność spadku ciśnienia od średniej prędkości przepływu.

Przepływ potencjalny; jest to ruch, w którym pole prędkości v(x,y,z,t) można wyrazić jako gradient pewnej funkcji skalarnej φ (x,y,z,t) zwanej potencjałem prędkości v = grad φ.

3. Jak się ono nazywa, jakiego ogólnego prawa jest zapisem, podaj znaczenie wszystkich symboli określających pola i własności ośrodka?

Zasada zachowania pędu: z zasady zachowania pędu wynika, że zmiana pędu pewnej masy jest równa popędowi sił działających na tą masę. Równanie opisujące tę zasadę nazywamy równaniem ruchu.

1-zmiana pędu

2-impuls sił masowych

3-impuls sił powierzchniowych

Suma wszystkich sił plus siła bezwładności jest równa zeru.

Jest to równanie ruchu.

W rozważanym czasie dt na masę płynu działają siły masowe wywołane przez zewnętrzne pole sił, a na powierzchnie działają siły powierzchniowe.

Zastosowanie tej zasady dla objętości kontrolnej wiąże się z koniecznością uwzględnienia możliwości występowania zmiany masy płynu.

4. Jakie warunki powinno spełniać doświadczenie na modelu urządzenia hydraulicznego pracującego pod ciśnieniem, aby można było „przeliczyć” jego wyniki na zjawisko w „naturze”?

Aby spełnić warunki doświadczenia na modelu urządzenia hydraulicznego pracującego pod ciśnieniem należy spełnić określone kryteria prawdopodobieństwa:

- równanie zachowania masy - Sh

- równanie zachowania ilości ruchu- Sh,Fr , Eu, Re

- równanie zachowanie energii i bilansu entropii -Sh,Fr,Eu,Re, Ec,Pr

Ogólnie można stwierdzić ze rozwiązaniem wyżej przedstawionych równań w postaci bezwymiarowej będzie funkcja zwierająca kryteria: F(Sh,Fr,Eu,Re,Ec,Pr)=0

Aby dwa przepływy były do siebie podobne z punktu widzenia równań mechaniki płynów identyczne musza być przedstawione w zależności powyższej funkcji liczby podobieństwa

5. Podaj definicje dynamicznego i kinematycznego współczynnika lepkości turbulentnej?

gdzie: (-ρ) odpowiada za turbulentne naprężenia styczne.

ε - współczynnik lepkości burzliwej turbulentnej

Współczynnik lepkości turbulentnej jest t wielkość mająca miano lepkości dynamicznej, nie jest cechą ośrodka jak lepkość, ale cechą turbulentnego pola prędkości. Zmienia się ona w czasie i wewnątrz obszaru przepływu.

ZESTAW 2

1. Wymień i zdefiniuj właściwości fizyczne cieczy i omów jedną z nich.

- Gęstość płynu ρ wiąże się z masą danego ośrodka i wyraża stosunek masy m do objętości V, którą ta masa zajmuje.

ρ = m/V [kg/m³]

Gęstość jest funkcją i zależy od temperatury i ciśnienia.

T = 3,98˚C p = 10⁵ Pa to ρ = 1000[kg/m³]

T = 0˚C p = 10⁵ Pa

to ρ = 999,84[kg/m³]

T = 100˚C p = 10⁵ Pa to ρ = 958,3[kg/m³]

T = 4˚C p = 0,1 MPa to ρ = 1000[kg/m³]

T = 4˚C p =1 MPa to ρ = 1000,42[kg/m³]

T = 4˚C p = 10MPa to ρ = 1004,92[kg/m³]

- Ściśliwość płynu jest to jego zdolność do zmiany objętości w danej temperaturze przy zmianie ciśnienia. Jej miarą jest współczynnik ściśliwości β_p[1/Pa].

Współczynnik β_p określa względną zmianę objętości płynu przypadającą na jednostkę przyrostu ciśnienia, dla stałej temperatury ośrodka.

Odwrotnością wsp. ściśliwości β_p jest moduł sprężystości objętościowej E_o[Pa]=1/ β_p

-Rozszerzalność cieplna płynu jest to jego zdolność do zmiany objętości w danym ciśnieniu przy zmianie temp. Jej miarą jest współczynnik rozszerzalności α_T[1/K].

Wsp. α_T wyraża względną zmianę objętości przypadającej na jednostkę przyrostu temp. przy danym ciśnieniu płynu. Wsp. α_T przyjmuje z reguły wartości dodatnie. Dla wody, przy wzroście temp. od 0˚C do 4˚C

wartość α_T jest ujemna.

- Spoistość jest to odporność na rozciąganie.

Istnieje nieduże wiązanie między cząsteczkami. Spoistość ma znaczenie na styku powierzchni i objawia się na granicach, co najmniej 2 ośrodków. Przez siły spójności ciecze próbują się zbić w kulę. Spójność występuje na styku ciecz-gaz, ciecz - ciało stałe. Nie występuje na styku gaz - gaz ze względu na dyfuzję, gazy się mieszają. Przykładem istnienia spoistości jest występowanie menisku w próbówce.

-Napięcie powierzchniowe - spójność- siła potrzebna do rozciągnięcia powierzchni. Jest efektem działania sił molekularnych na granicy faz, np: cieczy i gazu na powierzchni swobodnej. Siły między drobinami cieczy są większe niż między cząsteczkami cieczy i gazu, dlatego też w gazie ciecz przyjmuje formę kropli. (Przykład napięcia to igła leząca na wodzie) Jej miarą jest wsp. napięcia powierzchniowego lub wprost napięcie pow. Wsp. σ równy jest stosunkowi siły napinającej P do długości przekroju błony L, na którą działa. σ = P/L [N/m]

-Lepkość - nazywa się zdolność płynu do przenoszenia naprężeń stycznych przy wzajemnym przemieszczaniu jego elementów z różnymi prędkościami. Powstające przy tym siły są styczne do kierunku ruchu i noszą nazwę sił stycznych lub oporów tarcia. Stosunek siły stycznej T do powierzchni A na której ona działa określa naprężenie styczne τ - zgodnie ze wzorem NEWTONA naprężenie τ jest proporcjonalne do pochodnej prędkości v obliczonej w kierunku normalnym n do tej powierzchni:

Pochodna dv/dn jest nazywana prędkością odkształcenia kątowego lub prędkością ścinania. Współczynnik proporcjonalności μ jest miara lepkości płynu i nazywa się dynamicznym współczynnikiem lepkości. Jego jednostką jest [kg/(m·s)]. Lepkość płynów newtonowskich zależy głównie od temperatury oraz nieznacznie od ciśnienia. Dla cieczy lepkość maleje, gdy temperatura rośnie, dla gazów odwrotnie. Wynika to z różnych przyczyn powstawania oporów tarcia w obu ośrodkach. Źródłem sił stycznych między dwiema warstwami poruszającej się cieczy są siły spójności, które maleją wraz ze wzrostem temperatury. W gazie siły spójności nie odgrywają większej roli.. Wraz ze wzrostem temperatury gazu rośnie energia kinetyczna ruchu postępowego drobin, a tym samym intensywność wymiany pędu.

Stosunek dynamicznego współczynnika lepkości od gęstości płynu nazywa się kinematycznym współczynnikiem lepkości ν = μ /ρ [m²/s]

2. Zdefiniuj pojęcia: pole ustalone, potencjalne, wirowe.

Pole ustalone - pole wektorowe prędkości opisane funkcją v = F (x,y,z,t), które jest niezmienne w czasie tzn. ∂v/∂t = 0

Pole wirowe - pole wektorowe prędkości kątowej chwilowego obrotu ω. Wektor prędkości kątowej chwilowego obrotu jest ≠ 0

Pole potencjalne - to takie, dla którego ilość energii konieczna do przemieszczenia ciała z jednego punktu do drugiego nie zależy od drogi. Pole potencjalne jest zwykłe opisane poprzez wektor siły określony dla każdego punktu przez funkcję wektorową. Rotacja pola potencjalnego jest równa zero.

3. Składowa:

Jak się ono nazywa, jakiego ogólnego prawa jest zapisem, podaj znaczenie wszystkich symboli określających pola i własności ośrodka?

Jest to składowa równania Reynoldsa, dotyczy ono analitycznego opisu przepływu turbulentnego.

Człon ν ∇² v_z reprezentuje wpływ naprężeń lepkich μ(∂V_i/ ∂j) gdzie i,j = x,y,z (ale to był zapis ogólny dla wszystkich trzech kierunków X, Y, Z)

- turbulencja izotropowa

ρ = const, więc płyn jest nieściśliwy

4.Stosowane w obliczeniach hydraulicznych równanie Bernoulliego można otrzymać przez wyprowadzenie dodatkowych założeń do równań otrzymanych w wyniku wyprowadzeń (całkowań) Couchiego i Bernoulliego.

Podaj formę równań końcowych obu tych wyprowadzeń i wyjaśnij różnicę między tymi równaniami i założeniami w oby wyprowadzeniach.

Całka Bernoulliego:

w jednorodnym polu grawitacyjnym

U= g∙z =>

Założenia:

-ruch jest ustalony (∂V/ ∂t = 0)

-ruch jest barotropowy (gęstość płynu zależy tylko od ciśnienia)-ale dla całki Cauchy'ego tez

-siły masowe mają potencjał, który będzie oznaczony przez -U

Całka Cauchy'ego:

w jednorodnym polu grawitacyjnym U= g∙z =>

a dla ruchu ustalonego przyjmuje postać:

Założenia:

-ruch jest potencjalny (rot v=0), którego pole prędkości ma potencjał φ

-płyn jest barotropowy, (ale dla całki Bernoulliego tez)

Równania * i ** różnią się stałymi C, w ruchu potencjalnym (całka Cauchy'ego) stała C obowiązuje całym obszarze płynu, a w ruchu wirowym (całka Bernoulliego) stałe C dotyczą indywidualnych linii prądu.

Dla płynu nieściśliwego (ρ = const) równania * i ** można zapisać jako:

5.Podaj definicje liczby Reynoldsa i jej zastosowanie w mechanice płynów.

Re - liczba Reynoldsa wyraża stosunek składowej konwekcyjnej siły bezwładności do siły tarcia w płynie. Jest stosowana między innymi do badania rodzaju ruchu cieczy. Stanowi główne kryterium modelowania hydraulicznego, jeżeli dominującymi w zjawisku są siły wynikające z lepkości płynu.

Re = v d ρ/μ = v d / ν

- Re ≤ 2320 ruch laminarny

- Re > 4000 ruch turbulentny

- Re = 50000 max osiągnięta wartość Re.

ZESTAW 3.

1.Określ miejsce „mechaniki cieczy” w całej fizyce, (jakie są jej założenia i ograniczenia).

Mechanika cieczy stanowi część mechaniki klasycznej. Przyjęto w niej, że masa i energia są niezależne i że każda z nich oddzielnie podlega prawu zachowania. Jest również działem tzw. mechaniki ośrodków ciągłych, czyli mechaniki ciał zajmujących pewną objętość, odkształcanych i posiadających cechę ciągłości.

W teorii przyjmuje się hipotezę ośrodka ciągłego, w praktyce założenie to dopuszczalne jest, jeżeli najmniejsza objętość mająca praktyczne znaczenie w rozważaniach jest wielokrotnie większa od objętości, przy której pojawiają się wahania cech wywołane rzeczywistą nieciągłością struktury cząst. Założenie to pozwala na stworzenie zasad rachunku różniczkowego i całkowego. Zakłada się również, że pole prędkości funkcja v(x,y,z,t) jest ciągła i różniczkowalna.

Mechanika cieczy ogranicza się do elementów czysto mechanicznych: ruchu i sił

2. Zdefiniuj pojęcia ruch płaski i 2D trójwymiarowy (ogólnie rodzaje ruchu tez).

Funkcja V(-) = f(x,y,z,t) opisuje pole wektora prędkości. Jeżeli pole to jest niezmienne w czasie, czyli (dv/dt=0) ruch nazywamy ustalonym (pole jest stacjonarne). W przypadku, gdy nie ma przyspieszeń dv/dt = 0 każda cząstka porusza się ruchem prostoliniowym ze stałą prędkością - ruch jest jednostajny. Wreszcie, gdy V(-) = const pole jest jednorodne i ruch odbywa się bez wzajemnych przesunięć cząstek.

Jeżeli istnieje układ współrzędnych geometrycznych Eulera (prostokątny, walcowy, sferyczny a nawet krzywoliniowy) taki, ze składowe prędkości oraz pochodne wszystkich zmiennych w kierunku jednej osi są zerowe - to pole prędkości i ruch są dwuwymiarowe. Jeżeli jest to układ prostokątny to ruch nazywamy płaskim. Gdy istnieją dwie zmienne o podanej własności - ruch jest jednowymiarowy

Pola dwuwymiarowe znajdują częste zastosowanie jako wystarczająco dobre przybliżenie opisu ruchu bardziej złożonego, jeżeli badany obiekt jest długi w jednym kierunku np. przepływ przez przelew, przesiąkanie przez groble. Przepływy ściśle jednowymiarowe występują rzadko w naturze.

3. Jak się ono nazywa, jakiego ogólnego prawa jest zapisem, podaj znaczenie wszystkich symboli określających pola i własności ośrodka? \Podane równanie \stokesa\

Równanie analizy ruchu płynu lepkiego w postaci wektorowej ((-)oznacza wektor)

dV(-) /dt = F_mj(-) - 1/ρ gradp + ν ∇²V(-) + ν/3*grad* divV(-)

RÓWNANIE RUCHU NAVIERA-STOKESA- jest to podstawowe i najbardziej ogólne równanie ruchu płynów. Założenia ograniczają się do ciągłości ośrodka i ciągłości odkształceń oraz przyjęcia warunku ze naprężenia styczne są proporcjonalne do szybkości odkształceń kątowych cząstek. Warunek ten jest ogólniejszym sposobem podania wzoru Newtona dotyczącego lepkości. Równanie dotyczy płynów sprężystych i lepkich -newtonowskich. (Równanie opisuje przepływ płynów przy Założeniach: płyn ma własność lepkości (płyn Newtonowski), pola prędkość są ciągle i różniczkowalne)

W równaniu występują operacje wektorowe gradient i dywergencja oraz symbol ∇²- operator Hamiltona - nabla do kwadratu równoznaczny z operatorem Laplace'a ∂²/∂x²+ ∂²/∂y²+∂²/∂z²

1 - siła bezwładności ruchu płynu

2 - działanie sił masowych;

3 - różnica sił normalnych, działanie sił powierzchniowych normalnych

4 - siła tarcia stycznego, szybkość poślizgu;

2,3,4 - efekt sił tarcia;

5- dodatkowe siły tarcia związane ze zmianą objętości cząstki, siły tarcia styczne związane ze zniekształcaniem się płynu ściśliwego

Przypadki szczególne (modyfikacje N-S)

(-przed oznacza wektor):

1)płyn nieściśliwy (*=const => div(-)υ = 0)

d(-)υ/dt = (-)F_mj-1/ρ gradp+mi∇²V(-)

2)płyn nie lepki (mi=0)

d(-)υ/dt = (-)F_mj-1/ρ gradp - równanie Eulera

3)płyn we względnym bezruchu tzn istnieje taki układ odniesienia (który sam może być ruchomy) względem którego v(-)=0

(brak ruchu względnego) dv/dt = 0

0 = (-)F_mj-1/ρ gradp - równanie statyki

Modyfikacja

d(-)υ/dt = (-)F_mj-1/ρ gradp N-S mówi o tym ze gdy płyn jest nielekki to stosowane jest równanie zmodyfikowane

Założenia: 1) mi=0 , 2) ruch ustalony , 3) płyn barotropowy ro=f(p) , Fmj = grad - siły masowe powodują potencja

4.Jakie ogólne warunki powinno spełniać doświadczenie na modelu jakiegoś zjawiska hydraulicznego, aby jego wyniki można było „przeliczyć” jego wyniki na zjawisko w `naturze'?

Warunki, jakie powinny być spełnione to:

- schematyzacja - nie wszystko odtwarzamy, decyduje to, który parametr jest istotny

- wybór kryteriów podobieństwa (te, które chcemy i możemy zachować)

- ustalenie wielkości podobieństwa, model duży jest lepszy, pewniejszy, ale wymaga dużo miejsca i jest kosztowniejszy, oceniamy o ile możemy go zmniejszyć, aby otrzymać sensowne wyniki badań

- dobór odpowiednich (pod względem dokładności) technik pomiarowych

- projekt i budowa modelu

- doświadczenia polegające na testowaniu i weryfikacji modelu

- właściwe badania powinny być przeprowadzone przy zachowaniu odpowiednich warunków (np. temperatura powietrza, cieczy)

- otrzymywane wyniki powinny być łatwe i do interpretacji, a ona sama jednoznaczna

5.Podaj, co to jest i od czego zależy wg Prandtla turbulentne naprężenie styczne. Objaśnij pojęcie „drogi mieszania”?

Założenia teorii Prandtla.

- ruch płaski, nie ma prędkości w trzecim kierunku oraz zmian prędkości

- prędkości w kierunku x są dużo większe od prędkości w kierunku y.

- zmiany czegokolwiek w kierunku y są o wiele większe niż w kierunku x.

Teoria Prandtla mówi o związku pomiędzy naprężeniami turbulentnymi a prędkością uśrednioną.

Zgodnie z teorią, w przepływach płynu charakteryzujących się dużymi wartościami Re, siły lepkości nie odgrywają istotnej roli i mogą być pominięte (przy pominięciu nie uwzględniamy warunków brzegowych). Prędkość płynu na powierzchni ścianki ograniczającej przepływ, wskutek sił adhezji jest równa zero. Tuż przy ściance, w pewnym obszarze o niewielkiej grubości δ prędkość narasta. Obszar ten nazywany jest warstwą przyścienną. Intensywne zmiany prędkości w kierunku poprzecznym do głównego kierunku ruchu wywołują silne naprężenia styczne τ, zarówno lepkie τ_l, jak i turbulentne τ_t. W warstwie przyściennej występuje przeważająca część oporów ruchu. Przy samej ściance prędkość elementów płynu są na tyle małe, że występuje tam przyścienna warstwa laminarna. Jej grubość δ_L jest ,mała ale w istotny sposób oddziałuje na przepływ. Wewnątrz tej warstwy decydujący wpływa mają naprężenia lepkie. Strefa buforowa gdzie wpływ obu naprężeń jest porównywalny. W warstwie turbulentnej występują naprężenia turbulentne τ_t>τ_l.

- naprężenie turbulentne.

Przy pominięciu wpływu warstwy buforowej będzie rozpatrywane oddziaływanie poprzecznych ruchów pulsacyjnych w warstwie turbulentnej na naprężenia styczne rys.

Wielkość l jest nazywana drogą mieszania PRANDTLA. Przyjmuje się, że l wzrasta liniowo wraz z odległością od ścianki, co pozwala na znalezienie rozkładu prędkości przy założeniu, że w warstwie granicznej τ = const.

---