Wykład 20

Pole magnetyczne

Pole magnetyczne. Wektor indukcji magnetycznej. Siła Lorentza

Do XIX - go wieku pod nazwą magnetyzm rozumieli zbiór zjawisk, związanych głownie ze zdolnością pewnych minerałów (magnetyków) przyciągać kawałki żelaza. W starożytności było zauważone, że Ziemia też posiada właściwości magnetyczne i właśnie to odkrycie dało możliwość zbudować kompas.

W roku 1820 Oersted jako pierwszy odkrył, że prąd płynący w przewodzie może wywoływać efekty magnetyczne podobne do efektów które wywołują minerały magnetyczne. Na przykład prąd płynący w przewodniku może zmieniać orientację igły kompasu. Jeżeli wyłączymy prąd, przewodnik traci swoje właściwości magnetyczne. Prąd elektryczny jest związany z uporządkowanym ruchem ładunków, a zatem łatwo dojść do wniosku, że zjawiska magnetyczne są związane z ruchem (makroskopowym, uporządkowanym) ładunków elektrycznych. Ampère na podstawie podobnych rozumowań doszedł do wniosku, że właściwości magnetyczne minerałów magnetycznych muszą również być związane z wewnętrznymi prądami molekularnymi, które istnieją w tych minerałach.

Ponieważ przewodnik z prądem wykazuje swoje właściwości magnetyczne w dowolnym punkcie z otoczenia przewodnika, mówimy, że prąd elektryczny wytwarza w otaczającej przewodnik przestrzeni pole magnetyczne . Podstawową charakterystyką pola magnetycznego stanowi wektor indukcji magnetycznej
. Ten wektor, podobnie jak wektor natężenia pola elektrycznego, możemy określić mierząc siłę z którą pole magnetyczne działa na przykład na igłę kompasu. Okazało się, że pole magnetyczne nie działa na nieruchome ładunki elektryczne.

Z doświadczeń natomiast wynika, że na ładunek elektryczny poruszający się z prędkością działa siła . (XX.1)

Siła
jest zawsze skierowana prostopadle do prędkości
ładunku, a więc 1) ta siła nie może zmienić wielkości bezwzględnej prędkości ładunku, a jedynie zmienia jej kierunek; 2) siła
nie wykonuje pracy ponieważ
.

Jeżeli w miejscu gdzie znajduje się ładunek, oprócz pola magnetycznego istnieje pole elektryczne o natężeniu
, siła z którą działają na ładunek pole elektryczne i pole magnetyczne jest równa

. (XX.2)

Siłę
nazywamy siłą Lorentza. Pierwszy człon we wzorze (XX.2) (
) nazywa się elektryczną składową siły Lorentza, drugi wyraz zaś (
) nazywa się magnetyczną składową siły Lorentza.

Pole magnetyczne poruszającego się ładunki elektrycznego. Prawo Biota - Savarta

Z doświadczeń wynika, że poruszający się z prędkością
(
, gdzie
- prędkość światła w próżni) ładunek elektryczny
wytwarza w dowolnym punkcie
pole magnetyczne o indukcji

. (XX.3)

Tu
jest wektorem określającym położenie punktu
. Początek wektora
pokrywa się z punktem, gdzie znajduje się ładunek
. Współczynnik
zależy od stosowego układu jednostek.

Pole magnetyczne poruszającego się ładunku zależy w każdym punkcie przestrzeni od czasu, ponieważ podczas ruchu ładunku zmienia się wartość i kierunek wektora
.

Korzystając ze wzoru (XX.3) łatwo obliczyć indukcję pola magnetycznego, wytwarzanego przez mały odcinek
przewodnika, w którym płynie prąd
.

Zgodnie ze wzorem (XIX.4) gęstość prądu jest równa , (XX.4) gdzie - koncentracja ładunków, - średnia prędkość uporządkowanego ruchu ładunków. Wielkość jest gęstością objętościową ładunków swobodnych, a zatem wzór (XX.4) możemy zapisać w postaci

. (XX.5)

Pomnóżmy obie strony równania (XX.5) przez objętość
elementu
przewodnika

. (XX.6)

Tutaj uwzględniliśmy, że
jest ładunkiem
elementu objętości
.

Podstawiając do wzoru (XX.7) człon
zamiast
otrzymujemy

. (XX.7)

Wprowadźmy wektor
, którego moduł równa się długości elementu
przewodnika, a kierunek pokrywa się z kierunkiem prądu elektrycznego. Ponieważ

, (XX.8)

ze wzoru (XX.7) znajdujemy

. (XX.9)

Wzory (XX.7) i (XX.9) są znane jako prawo Biota - Savarta. Prawo Biota - Sawarta daje możliwość znaleźć indukcję
pola magnetycznego prądu, płynącego w przewodniku o skończonych wymiarach i dowolnym kształcie.

Zasada superpozycji pól magnetycznych

Zasada superpozycji pól magnetycznych odgrywa bardzo ważną role przy obliczeniu pola magnetycznego. Zgodnie z zasadą superpozycji pól magnetycznych indukcja
w dowolnym punkcie pola magnetycznego przewodnika, przez który przepływa prąd
, równa się sumie wektorowej indukcji
, elementarnych pól magnetycznych wytwarzanych przez poszczególne odcinki
tego przewodnika

. (XX.10)

Jeżeli będziemy powiększać w sposób nieograniczony liczbę
odcinków, to w granice
ze wzoru (XX.10) otrzymujemy

. (XX.11)

Jako przykład zastosowania prawa Biota-Savarta oraz zasady superpozycji pól magnetycznych, znajdziemy pole magnetyczne nieskończenie długiego przewodnika wzdłuż którego płynie prąd o natężeniu
. Zgodnie ze wzorem (XX.9) pole magnetyczne dowolnego odcinka
przewodnika jest prostopadłe do płaszczyzny rysunku, a zatem sumowanie wektorowe
możemy zamienić sumowaniem ich moduły. Z rysunku wynika, że

, (XX.12) gdzie - najkrótsza odległość rozważanego punktu od przewodnika; jest kąt między odcinkiem i wektorem ; - odległość odcinka od odcinka a. Uwzględniając (XX.12) ze wzoru (XX.9) znajdujemy . (XX.13)

Całkując wzór (XX.13) od
do
otrzymujemy

. (XX.14)

Linii pola magnetycznego i prawo Gaussa dla pola magnetycznego

Pole magnetyczne możemy, podobnie do pola elektrycznego, prezentować graficznie rysując tzw. linie pola magnetycznego czyli linie wektora indukcji magnetycznej. Na rysunku pokazane są linie pola magnetycznego wokół prostoliniowego przewodnika z prądem. Linie pola
wytwarzanego przez przewodnik są zamkniętymi współśrodkowymi okręgami w płaszczyźnie prostopadłej do przewodnika. Wektor
jest styczny do tych linii pola w każdym punkcie. To, że linie pola
są zamknięte stanowi fundamentalną różnicę między polem magnetycznym i elektrycznym, którego linie zaczynają się i kończą na ładunkach. Zamkniętość linii pola magnetycznego jest wynikiem faktu, że w przyrodzie nie występują "ładunki" magnetyczne.

Z faktu, że linie indukcji dowolnego pola magnetycznego tworzą krzywe zamknięte wynika, że strumień
pola magnetycznego przez dowolną powierzchnię zamkniętą równa się zeru

. (XX.15) Istotnie ponieważ linie pola magnetycznego są zamknięte ilość linii pola wchodzących do obszaru ograniczonego powierzchnia dokładnie jest równa ilości linii pola wychodzących z tego obszaru. Ponieważ wektor zawsze jest skierowany na zewnątrz powierzchni, iloczyny skalarne dla linii pola wychodzących będą dodatnie, a iloczyny skalarne dla linii pola wchodzących będą ujemne. Wypadkowy strumień natomiast będzie zerowy.

Skorzystajmy teraz z twierdzeniem Gaussa - Ostrogradskiego

. (XX.16)

Tu
- dowolne pole wektorowe.

Biorąc pod uwagę wzór (XX.16) ze wzoru (XX.15) otrzymujemy

. (XX.17)

Skąd

. (XX.18)

Wzory (XX.15) i (XX.18) wyrażają prawo Gaussa dla pola magnetycznego.

Cyrkulacja pola wektora
. Wirowy charakter pola magnetycznego. Prawo Ampère'a

Rozważmy nieskończenie długi przewodnik wzdłuż którego płynie prąd . Pole magnetyczne takiego przewodnika określa wzór (XX.14), a linie pola wytwarzanego przez przewodnik są zamkniętymi współśrodkowymi okręgami w płaszczyźnie prostopadłej do przewodnika. Wybierzemy jedną z linii pola o promieniu .

Wektor
jest styczny do tej linii pola w każdym punkcie i wynosi, zgodnie z (XX.14)

. (XX.19)

Obliczymy teraz całkę okrężną z wektora
wzdłuż okręgu o promieniu
(cyrkulację wektora
)

. (XX.20)

Widzimy, że cyrkulacja (krążenie) wektora
nie zależy od promienia
, a zależy jedynie od natężenia prądu, który przepływa przez powierzchnie rozpiętej na obwodzie
.

W elektrostatyce udowodniliśmy, że dla pola elektrostatycznego, które jest polem potencjalnym, cyrkulacja natężenia pola elektrycznego jest równa zeru (patrz wzór (XVI.31)

. (XX.21)

Ze wzoru (XX.20) wynika, że pole magnetyczne nie jest polem potencjalnym, a zatem nie możemy dla niego wprowadzić skalarną funkcję potencjalną.

Pole, dla którego cyrkulacja wektora natężenia pola nie równa się zeru, nosi nazwę pola wirowego. Więc pole magnetyczne, w odróżnieniu od pola elektrostatycznego, jest polem wirowym, a nie potencjalnym.

Można wykazać, że wzór (XX.20) jest słuszny dla dowolnego obwodu , a także w przypadku gdy przez pole rozpięte na obwodzie przepływają kilku prądów . (XX.22) Tu przez oznaczyliśmy sumę algebraiczną prądów, które obejmuje obwód .

W równaniu (XX.22) prąd

-ego przewodnika przyjmuje się jako dodatni, jeżeli z końca wektora gęstości prądu, którego kierunek pokrywa się z osią przewodnika, a zwrot odpowiada zwrotowi prądu, obieg obwodu
widoczny jest jako zachodzący w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówki zegara (reguła korkociągu). W przypadku przeciwnego kierunku obiegu
lub przeciwnego kierunku prądu w przewodniku prąd
przyjmuje się jako prąd ujemny. Wzór (XX.22) wyraża tak zwane prawo Ampère albo prawo przepływu prądu.

Rotacja wektora
. Twierdzenie Stokesa

Rozważmy cyrkulację z dowolnego pola wektorowego

.

Prowadźmy teraz dowolną krzywą łączącą dwa dowolne punkty krzywej . Bez trudu spostrzegamy, że suma cyrkulacji wokół konturów i równa się cyrkulacji wokół początkowego obwodu .

Istotnie przy całkowaniu po
i
poruszamy się w przeciwnych kierunkach wzdłuż krzywej
a zatem
.

Tworząc dalej w ten sam sposób szereg zamkniętych konturów
otrzymujemy

. (XX.23)

Wybierzmy przy dość dużym kontur i oznaczmy przez wektor, moduł którego jest równy polu elementu powierzchni rozpiętej na konturze , a kierunek pokrywa się z wektorem normalnym do tej powierzchni .

Okazuje się, że graniczna wartość stosunku
do pola
zachowuje się tak samo jak rzut wektora na kierunek określony jednostkowym wektorem
. Wektor ten nazywa się rotacją wektora
i oznacza się symbolem
. A zatem

. (XX.24)

Dla tego żeby znaleźć składowe wektora wybierzemy kartezjański układ współrzędnych i wybierzemy na płaszczyźnie mały kontur w postaci prostokąta. Załóżmy, że pole wektora w środku prostokąta czyli w punkcie ( ) ma składowe .

Oznaczmy przez
i
średnie wartości składowej
na odcinkach 1 i 3, a przez
i
- średnie wartości składowej
na odcinkach 2 i 4. Wtedy dla cyrkulacji wektora
wzdłuż obwodu
możemy zapisać

. (XX.25)

Jeżeli prostokąt jest mały, to dla składowych
możemy w dobrym przybliżeniu zapisać

,
(XX.26)

W podobny sposób dla składowych
możemy zapisać

,
. (XX.27)

Po podstawieniu (XX.26) i (XX.27) do wzoru (XX.25) znajdujemy

. (XX.28)

Dzieląc cyrkulację (XX.28) przez
znajdujemy zgodnie z (XX.24)
- składową wektora

. (XX.29)

Postępując w podobny sposób znajdujemy dla
i
- składowych wektora
następujące wzory

, (XX.30)

, (XX.31)

Biorąc pod uwagę wzory (XX.29) - (XX.31), wektor
możemy zapisać w postaci

, (XX.32)

gdzie
są jednostkowymi wektorami wzdłuż osi
.

Wprowadzając operator nabla (patrz Wykład 16, wzór (XVI.7))

,

wzór (XX.32) możemy zapisać w postaci

. (XX.33)

Powróćmy teraz do równania (XX.23) i zapiszmy to równanie w postaci

. (XX.34)

W granice
i
nieskończenie mała pole
przechodzi w
, wyraz w nawiasach staje się (
), suma zaś przechodzi a całkę powierzchniową po powierzchni
rozpiętej na krzywej

. (XX.35)

Twierdzenie (XX.35) nosi nazwę twierdzenia Stokesa.

Różniczkowa postać prawa Ampère'a

Zastosujemy teraz twierdzenie Stokesa do pola magnetycznego
. Całkowity prąd
płynący przez powierzchnie rozpiętą na krzywej
możemy wyrazić jako całkę powierzchniową z gęstości prądu

. (XX.36)

Podstawiając (XX.36) do prawa Ampère'a (XX.22)

. (XX.37)

Porównując (XX.37) z twierdzeniem Stokesa (XX.35) otrzymujemy różniczkową (lokalną) postać prawa Ampème'a.

Na zakończenie porównujemy różniczkowe równania dla pola magnetycznego i pola elektrostatycznego w próżni:

,
;

,
.

W ostatnim równaniu stała
4
·10 ^{- 7} N/A² nazywa się stałą magnetyczną albo przenikalnością magnetyczną próżni.

68

---