Rozdział V

Różniczkowanie numeryczne

Odwracam się z przerażeniem

i ze wstrętem od tej żałosnej

plagi funkcji ciągłych

nie mających pochodnej.

Charle Hermite

5.1. Uwagi ogólne.

Zagadnienie różniczkowania numerycznego powstaje kiedy funkcja
jest określona przez tablicę albo zależność
jest bardzo skomplikowana.

Rozpoczniemy od wzoru, który bezpośrednio wynika z definicji pochodnej

,

gdzie
i
.

Oszacujemy błąd tego przybliżenia stosując trzecią postać wzoru Taylor'a

,

gdzie
. Wynika stąd, że pierwsza pochodna może być zapisana w postaci

.

Pierwszy składnik
jest wartością przybliżoną pochodnej funkcji
, wówczas drugi składnik
jest błędem przybliżenia (ten składnik jeszcze nazywają błędem obcięcia).

Przykład 5.1. Dla
znaleźć przybliżoną wartość pochodnej funkcji
w punkcie
i oszacować błąd tej wartości.

Z powyższego rozważania gdy by wynika, że zawsze czym mniejsze
tym mniejszy jest błąd przybliżenia. Niestety, nie jest to „zawsze” tak. Rozważmy następny przykład.

Przykład 5.2. Znaleźć zależność przybliżonej wartości pochodnej funkcji
w punkcie
i jej błędu od wartości
. Uwzględnić, że
,
oraz
.

W tym przykładzie występuje charakterne zjawisko: czym mniejsza wartość
tym mniejsze liczb znaczących utrzymuje różnica
. Więc dla małych wartości
wątpliwe jest otrzymanie dobrych przybliżeń dla pochodnej
.

Wzory dla różniczkowania numerycznego przede wszystkim wykorzystuje się przy rozwiązaniu numerycznym równań różniczkowych. Dokładność przybliżenia odpowiednich pochodnych ocenia się używając tak zwanego wykładnika
w czynniku
błędu.

Np. Dla poprzedniego omówionego wzoru obliczenia pochodnej

,

mamy, że wykładnik
.

Przybliżoną wartość pochodnej
funkcji
może być określona w różny sposób.

Rozważmy dla przybliżenia pochodnej następujący wzór

.

Ocenimy błąd tego przybliżenia. Ponieważ z trzeciej postaci wzoru Taylor'a mamy

,

to dla rozważanego przybliżenia znajdziemy

,

gdzie
i
. Jeśli trzecia pochodna jest ciągła, to zawsze istnieje takie
, że

,

i wówczas

.

W rozważanym przypadku wykładnik tego przybliżenia będzie
.

Dla określenia przybliżonej wartości drugiej pochodnej możemy postępować analogiczne. Mianowicie, zapisujemy

.

W podobny sposób z wykorzystaniem trzeciej postaci wzoru Taylor'a dla drugiej pochodnej znajdziemy

,

gdzie
.

Przykład 5.3. Znaleźć zależność przybliżonej wartości pochodnej funkcji
w punkcie
i jej błędu od wartości
na podstawie drugiego wzoru dla pochodnej. Uwzględnić, jak i wcześniej, że
,
oraz
.

5.2. Ekstrapolacja Richardsona.

Skorzystamy teraz dwa razy z szeregu Taylor'a dla funkcji
i
. Mamy

i

.

Odejmujemy tę wyrażenia stronami. Stadniki z parzystymi
skracają się. Z otrzymanego wyrażenia wyznaczamy pierwszą pochodną

.

Otrzymane wyrażenie będziemy traktować jako pewne równanie typu

,

gdzie
oznacza pierwszą pochodną, a
jej przybliżenie, np.

.

Wówczas sumę

można rozumieć jako błąd tego przybliżenia. Jeśli
, to dla małych
składnik
dominuje nad pozostałymi. Spróbujemy go usunąć.

Dokonamy podstawienia
i otrzymany wynik pomnożymy przez 4

.

Od tego wyrażenia odejmujemy wyjściową postać, tzn.

,

i wynik dzielimy przez 3

.

Przejście do tego wyrażenia jest pierwszym krokiem ekstrapolacji Richardsona.

Stwierdzamy, że prosta w obliczeniach kombinacja wartości funkcji
i
:

,

jest kolejnym przybliżeniem dla
, ale już z błędem
.

Na tej optymistycznej drodze możemy otrzymywać dalsze coraz lepsze oceny pochodnej.

Przykład 5.4. Znaleźć zależność przybliżonej wartości pochodnej funkcji
w punkcie
i jej błędu od wartości
z wykorzystaniem ekstrapolacji Richardsona. Uwzględnić, jak i wcześniej, że
,
oraz
.

Określimy wyrażenie

i wynik po pierwszym kroku ekstrapolacji Richardsona zapiszemy w postaci

,

gdzie wartości współczynników są oczywiste.

Dokonamy teraz znowu podstawienia
. Mamy

,

Mnożąc przez 16 i odejmując poprzednie wyrażenie dla pochodnej oraz dzieląc wynik przez 15, znajdziemy

,

Znowu, określając wyrażenie

,

zapisujemy

oraz przy
znajdziemy

Pełny schemat metody ekstrapolacji Richardsona możemy sformułować następująco:

• niech będzie określono równanie

,

• wybieramy
  (np.
  );

• obliczamy wielkości

,
;

• dla
  i
  stosujemy wzór rekurencyjny

;

• budujemy modyfikowane równanie dla pochodnej po
  krokach ekstrapolacji.

Twierdzenie. Przy ekstrapolacji Richardsona zachodzi równość

.

5.3. Różniczkowanie numeryczne za pocą wielomianów interpolacyjnych

Dla wyprowadzenia wzorów na różniczkowanie numeryczne zastępujemy w przedziale
daną funkcję
przez funkcję interpolującą
, a następne przyjmujemy

,

,

,

…………….

.

Podkreślimy, że jeśli nawet błąd interpolacji

,

jest mały, to z tego nie wynika, że błędy pochodnych

,

,

…………………

,

będą również małe.

A. Wielomiany interpolacyjne Newtona.

Ponieważ pierwszy wzór interpolacyjny Newtona ma postać

,

to dla pochodnych mamy

oraz

.

Przypomnimy, że
, gdzie
jest odległością pomiędzy węzłami.

Przy obliczaniu pochodnej w określonym punkcie
należę za
przyjąć najbliższą wartość tablicową argumentu.

Jeśli szukane pochodne tylko w węzłach interpolacji, to wtedy zawsze możemy tak wybrać
, żeby
. Wówczas odpowiednie wzory upraszczają się

oraz

.

Przykład 5.5. Dla funkcje określonej przez tablice obliczyć pierwszą i drugą pochodną w punkcje
.

1,0	1,1752	0,1605 0,1738 0,1889 0,2059	0,0133 0,0151 0,0170	0,0018 0,0019	0,0001
1,1	1,3357
1,2	1,5095
1,3	1,6984
1,4	1,9043

Według powyższych wzorów zapisujemy

(dokładna wartość 1,5431) oraz

(dokładna wartość 1,1752).

Podobnie dla drugiego wzoru interpolacyjnego Newtona

.

mamy

oraz

.

Dla pochodnych w węzłach interpolacji przy
otrzymamy

oraz

.

Przykład 5.6. Dla funkcje określonej przez tablice obliczyć pierwszą i drugą pochodną w punkcje
.

B. Wielomiany interpolacyjne Gaussa.

Podobnie określamy wzory dla pochodnych z wykorzystaniem wielomianów interpolacyjnych Gaussa.

Ponieważ pierwszy wzór interpolacyjny Gaussa ma postać

,

to dla pochodnych mamy

,

oraz

.

Dla pochodnych w węzłach interpolacji

oraz

.

Ponieważ pierwszy wzór interpolacyjny Gaussa ma postać

,

to dla pierwszej

i drugiej pochodnej

.

Przy
w węzłach mamy

oraz

.

C. Wielomiany interpolacyjne Lagrange'a.

Wygodnie jest skorzystać z następującej ogólnej postaci wielomianów Lagrange'a

,

gdzie

,

,

oraz
,
.

Przyjmując

,

pierwszą pochodną określamy wzorem

,

oraz drugą

.

---