Obwód rezonansowy

Obwód rezonansowy jest obwodem elektrycznym, składającym się z kondensatora i cewki. W obwodzie tym zachodzi rezonans prądów (w równoległym) lub napięć (w szeregowym). Rezonans następuje wtedy, gdy reaktancje cewki X_L i kondensatora X_C są sobie równe co do wartości bezwzględnej, (X_L = -X_C)^[1].

Rysunek po prawej stronie pokazuje schemat obwodów rezonansowych: szeregowego i równoległego. Kondensator i cewka są biernymi elementami elektrycznymi, które charakteryzują się między innymi opornością zależną od częstotliwości i przesunięciem fazowym pomiędzy napięciem i prądem równym 90°, z tym, że dla cewki impedancja rośnie ze wzrostem częstotliwości, a dla kondensatora maleje, oraz przeciwnym znakiem przesunięcia fazy.

Gdy cewka i kondensator połączone są szeregowo i zasilane prądem przemiennym I, to w elementach tych występuje spadek napięcia - U_C na kondensatorze, a U_L na cewce. Ponieważ kierunki przesunięcia faz napięcia względem prądu są przeciwne, to napięcia te znoszą się wzajemnie. Dla pewnej określonej częstotliwości, gdy napięcie na cewce zrówna się z napięciem na kondensatorze to napięcia te zniosą się zupełnie - zachodzi dla tej częstotliwości rezonans napięć. Szeregowy obwód rezonansowy ma dla tej częstotliwości zerową oporność, gdyż dla każdej wartości natężenia prądu I' napięcie U jest równe 0 (napięcie na cewce i na kondensatorze są różne od zera i mogą osiągać bardzo duże wartości).

Dla obwodu rezonansowego równoległego zachodzi rezonans prądów. Gdy układ taki zasilany jest napięciem zmiennym U, to popłyną przez elementy prądy: I_C przez kondensator, a I_L przez cewkę. Ponieważ prądy te mają przeciwne fazy to znoszą się wzajemnie i sumaryczny prąd I jest mniejszy od sumy prądów I_C i I_L. Dla pewnej częstotliwości, gdy prąd cewki równa się prądowi kondensatora prądy te zniosą się zupełnie i prąd I będzie równy zeru - zachodzi rezonans prądów, a obwód rezonansowy przestaje pobierać prąd ze źródła - staje się przerwą w obwodzie, czyli ma nieskończenie dużą oporność (prądy w kondensatorze i cewce nie są jednak równe zeru i mogą osiągać duże wartości).

Częstotliwość rezonansowa [edytuj]

Częstotliwość rezonansową obwodu LC określa wzór Thomsona:

Gdzie:

• f - częstotliwość obwodu w Hercach

• L - indukcyjność cewki w henrach

• C - pojemność kondensatora w faradach

• ω - częstość kołowa w radianach/sekundę.

Obwody rezonansowe znajdują szerokie zastosowania w radiotechnice, dzięki faworyzowaniu jednej częstotliwości używane są jako filtry selektywne (środkowoprzepustowe) do wydzielania jednej, odbieranej częstotliwości spośród wszystkich dochodzących z anteny.

Obwód RLC

RLC jest skrótowym oznaczeniem dla obwodów elektrycznych (w tym elektronicznych) składających się tylko z trzech podstawowych elementów pasywnych:

• rezystora, oznaczanego przez R (rezystancja)

• cewki, oznaczanej przez L (indukcyjność)

• kondensatorów, oznaczanych przez C (pojemność)

Natężenie prądu w szeregowym obwodzie RLC z doprowadzonym napięciem sinusoidalnie zmiennym wynosi:

I = I₀sin(ωt)

Napięcie na zaciskach źródła:

gdzie φ jest różnicą faz między natężeniem prądu i napięciem. Dodatkowo tangens przesunięcia fazowego równa się ilorazowi różnicy reaktancji cewki i kapacitancji kondensatora przez opór omowy:

Zawadą szeregowego obwodu RLC nazywamy całkowity opór takiego obwodu:

Mogą zajść następujące przypadki:

• 
  - obwód ma charakter indukcyjny, kąt przesunięcia fazowego jest większy od zera, więc natężenie prądu spóźnia się w fazie w stosunku do napięcia na zaciskach źródła

• 
  - obwód ma charakter pojemnościowy, kąt przesunięcia fazowego jest mniejszy od zera, napięcie na zaciskach źródła spóżnia się w fazie w stosunku do natężenia prądu

• 
  - zachodzi rezonans napięć, kąt przesunięcia fazowego jest równy zero, napięcie na zaciskach źródła jest zgodne w fazie z natężeniem prądu. W tym przypadku zawada obwodu jest najmniejsza, więc natężenie prądu osiąga największą wartość. Analogicznie dla równoległego obwodu RLC wystąpić może rezonans prądów. Obydwa te zjawiska mogą być bardzo groźne dla całości układu (może wystąpić uszkodzenie elementów). W mieszanych układach występować może wielokrotny rezonans częściowy.

Częstotliwość rezonansowa (czyli taka, przy której zachodzi rezonans napięć) wynosi:

W klasycznym, szeregowym obwodzie RLC, w dowolnej chwili t suma energii kondensatora, energii cewki oraz praca prądu w ciągu czasu t zamieniona na ciepło w oporze R (tzn. na ciepło Joule'a-Lenza) jest równa energii początkowej kondensatora i jest stała.

Q_m jest początkowym ładunkiem kondensatora.

Po zróżniczkowaniu obydwu stron powyższego równania względem czasu t otrzymamy:

Wiedząc, że:

oraz

możemy wyciągnąć I przed nawias i otrzymamy:

Aby to równanie było spełnione w dowolnej chwili t, wyrażenie w nawiasie powinno być równe 0. Po podzieleniu stronami przez L otrzymujemy:

Współczynnik przy Q jest kwadratem pulsacji drgań własnych swobodnych obwodu LC:

Współczynnik przy pierwszej pochodnej
oznaczamy przez 2β:

Równanie różniczkowe drgań elektrycznych gasnących:

Rozwiązaniem tego równania jest wzór:

Częstość drgań gasnących:

co oznacza, iż rozwiązanie równania różniczkowego drgań elektrycznych gasnących ma miejsce przy niezbyt dużym tłumieniu.

Zmiana napięcia na kondensatorze:

Natężenie prądu jest przesunięte w fazie w stosunku do ładunku i napięcia na kondensatorze:

Dodatkowo:

oraz

Zatem natężenie prądu zmienia się harmonicznie z amplitudą gasnącą wykładniczo, przy czym tangens przesunięcia fazowego natężenia prądu w stosunku do napięcia wynosi:

Dobroć obwodu, czyli wielkość proporcjonalna do liczby pełnych drgań N_e wykonywanych przez obwód w czasie, w ciągu którego amplituda maleje e razy.

Przy małym tłumieniu:

Wobec czego:

Prąd przemienny

• Prądnica prądu przemiennego jest urządzeniem wykorzystującym zjawisko indukcji elektromagnetycznej i służącym do wytwarzania prądu przemiennego. Jej schemat przedstawiono na rysunku.


Prąd wytwarzany w prądnicach jest prądem przemiennym. Prąd taki zmienia cyklicznie zwrot przepływu oraz wartość natężenia. Najczęściej spotykanym prądem przemiennym jest prąd sinusoidalny.
• Prąd sinusoidalny - zależności: natężenia prądu sinusoidalnego od czasu,
a także napięcia od czasu są opisane za pomocą matematycznej funkcji sinus:
I = I₀sinωt oraz U = U₀sinωt


gdzie: I₀ - wartość maksymalna (szczytowa) natężenia albo inaczej amplituda natężenia, U₀ - wartość maksymalna (szczytowa) napięcia albo inaczej amplituda napięcia, ω - tzw. częstość kołowa prądu przemiennego; jest to wielkość równa prędkości kątowej, z jaką obraca się wirnik prądnicy wytwarzającej dany prąd przemienny.


Podstawowymi parametrami charakteryzującymi prąd przemienny są:
- okres T - czas jednego pełnego cyklu zmian wartości natężenia prądu;
- częstotliwość f - liczba pełnych cykli zmian natężenia prądu w jednostce czasu;
- amplituda I₀ - zwana też wartością szczytową, oznacza maksymalną wartość natężenia prądu;
- wartość skuteczna I_sk - odpowiada takiej wartości prądu stałego, który przepływając przez odbiornik o oporze R, powoduje wydzielenie takiej samej mocy, która wydzieliłaby się przy przepływie przez ten sam opór danego prądu przemiennego. Między wartością skuteczną natężenia prądu (napięcia) a wartością maksymalną natężenia (napięcia) następuje zależność:

                                                                                                                 


Prąd przemienny sinusoidalny w sieci miejskiej posiada następujące wartości parametrów:
f = 50 Hz, T = 0,02 s, U₀ = 325 V, U_sk = 230 V.
• Moc średnią prądu przemiennego obliczamy ze wzorów:

                                                                                                      
lub


• Opory w obwodzie prądu przemiennego to elementy obwodu, takie jak opór omowy, kondensator czy zwojnica, których obecność w obwodzie ma wpływ na przebiegi czasowe napięcia przemiennego i na wartość natężenia prądu.                                         

Opór omowy R

opór omowy jest niezależny od częstotliwości prądu

opór przewodnika

Opór indukcyjny RL

opór indukcyjny zwojnicy wzrasta wraz ze wzrostem częstotliwości

opór zwojnicy RL = ωL RL = 2πfL

Opór pojemnościowy RC

opór pojemnościowy kondensatora rośnie wówczas, gdy maleje pojemność C lub gdy maleje częstotliwość f prądu przemiennego

opór kondensatora

• Obwód prądu przemiennego RLC - obwód składający się z szeregowo połączonych elementów: oporu omowego, zwojnicy i kondensatora.


Przez wszystkie elementy obwodu RLC płynie prąd o takim samym natężeniu I, natomiast chwilowe napięcie całkowite U jest równe sumie spadków napięć na poszczególnych elementach:
U = U_R + U_C + U_L
Opór całkowity obwodu RLC, zwany zawadą, oznaczamy symbolem Z i obliczamy ze wzoru:


Pomiędzy natężeniem prądu a napięciem całkowitym w obwodzie występuje przesunięcie fazowe φ, którego wartość wynosi:




Moc skuteczną prądu w obwodzie RLC obliczamy ze wzoru:


• Transformator służy do zmiany wartości napięć i natężeń prądów przemiennych. Schemat typowego transformatora przedstawiono na rysunku:


Transformator składa się z odpowiednio ukształtowanego rdzenia, wykonanego ze stali miękkiej, oraz z co najmniej dwóch uzwojeń: pierwotnego i wtórnego. Uzwojenia pierwotne i wtórne są od siebie odizolowane elektrycznie. Uzwojeniem pierwotnym transformatora jest to uzwojenie, do którego podłączone jest zasilanie (źródło prądu przemiennego). Zasada działania transformatora opiera się na wykorzystaniu zjawiska indukcji elektromagnetycznej. Przepływający przez uzwojenie pierwotne prąd przemienny wytwarza zmienny w czasie strumień magnetyczny. Strumień prawie w całości wnika w rdzeń i obejmuje swoim zasięgiem uzwojenie wtórne. W uzwojeniu wtórnym indukuje się siła elektromotoryczna indukcji
i w konsekwencji przy zamkniętym obwodzie wtórnym zaczyna płynąć w nim prąd indukcyjny. Napięcie zaindukowane w uzwojeniu wtórnym zależy od liczby zwojów w uzwojeniu pierwotnym n₁ i wtórnym n₂. Jeżeli n₂>n₁, to napięcie w uzwojeniu wtórnym U₂ jest większe od napięcia w uzwojeniu pierwotnym U₁. Jeżeli n₂ < n₁, to U₂ < U₁. W pierwszym przypadku transformator podwyższa napięcie, w drugim - obniża. Pomiędzy liczbą zwojów w obu uzwojeniach
a napięciami na nich zachodzi związek:


gdzie: k - przekładnia transformatora.
Pomiędzy natężeniami skutecznymi, a także maksymalnymi, prądów i napięć zachodzi związek (dla transformatora bez strat η = 100%):


Sprawność transformatora η jest definiowana następująco:


gdzie: P₁, P₂ - moce wydzielone na uzwojeniach: pierwotnym i wtórnym.

opór indukcyjny (reaktancja indukcyjna)

opór stawiany przez indukcyjność L prądowi zmiennemu. Powstająca w cewce siła elektromotoryczna indukcji przeciwstawia się płynącemu prądowi wywołując prąd indukcyjny płynący w kierunku przeciwnym. W efekcie skuteczna wartość prądu I_sk związana jest ze skuteczną wartością napięcia U_sk relacją I_sk = U_sk/X_L, gdzie X_L = ωL jest oporem indukcyjnym, ω - częstość prądu. Gdyby obwód elektryczny zawierał tylko cewkę o bardzo małej oporności, to faza prądu różniłaby się o -π/2 od fazy napięcia. Prąd ten nie wykonywałby pracy. W obwodzie nie byłoby strat energii.

opór pojemnościowy (reaktancja pojemnościowa)

pod wpływem napięcia o  skutecznej wartości U_sk i częstości ω przez kondensator o pojemności C po-płynie prąd o skutecznej wartości . Wielkość nazywana jest oporem pojemnościowym. Prąd płynący przez kondensator jest przesunięty w fazie o π/2 w stosunku do napięcia, w wyniku czego na idealnym kondensatorze nie ma strat energii.

---