Wykład 4

Rozkład funkcji właściwej na ułamki proste

Zasadnicze twierdzenie algebry

Wielomian dowolnego stopnia można rozłożyć na czynniki stopnia co najwyżej 2-go, czyli

(1)

gdzie
,
,

TW. (o rozkładzie)

Niech
będzie właściwą funkcją o mianowniku postaci (1).

Wtedy

+

………………………………………

…………………………………………………………

Przykład. Rozłożyć na ułamki proste funkcję

Ponieważ
, to

Mnożymy przez wspólny mianownik
. Otrzymujemy wówczas

Porównujemy współczynniki przy odpowiadających potęgach

Rozwiązując układ równań otrzymujemy

,
,

.

Wykład 5

Całka oznaczona

Podział odcinka

Podziałem odcinka
na
części nazywamy zbiór
punktów

takich, że
.

Oznaczymy przez
- długość i-tego odcinka podziału

Niech
oznacza długość największego przedziału podziału
.

Ciąg
nazywamy średnicą podziału.
.

Podział nazywamy normalnym, jeżeli
.

Punkt
nazywamy punktem pośrednim
tego odcinka podziału
.

Przykład 1. Znaleźć współrzędne punktów podziału
, długość i -tego odcinka oraz średnicę podziału, jeżeli odcinek
dzielimy na n równych części

Przykład 2. Znaleźć współrzędne punktów podziału
, długość i -tego odcinka oraz średnicę podziału, jeżeli odcinek
dzielimy na 6 części w ten sposób, że punkty podziału tworzą ciąg geometryczny

Def. 1. ( sumy całkowej)

Niech funkcja
będzie określona i ograniczona na
oraz niech
będzie podziałem tego odcinka.

Sumą całkową funkcji
odpowiadającą podziałowi
oraz punktom pośrednim
, gdzie
tego podziału nazywamy liczbę

=

Interpretacja geometryczna sumy całkowej

Suma całkowa jest przybliżeniem pola obszaru ograniczonego wykresem funkcji
, osią
i prostymi

Def.2. (całki oznaczonej)

Niech
będzie ograniczona na
. Jeżeli istnieje granica właściwa ciągu
niezależna od sposobu podziału
przedziału
oraz niezależna od wyboru punktów pośrednich
,
, to granicę tę nazywamy całką oznaczoną z funkcji
na przedziale
i oznaczamy następująco

Ponadto przyjmujemy z definicji

(1)
(2)
(3)

Def.3 Jeżeli istnieje
, to funkcję
nazywamy całkowalną

Każda funkcja całkowalna jest ograniczona, ale nie każda funkcja ograniczona jest całkowalna.

Tw. 1. Funkcja ciągła na
jest na nim całkowalna..

Przykład 3. Obliczyć na podstawie def.

Przykład 4. Obliczyć na podstawie definicji

Z definicji całki oznaczonej wynika następująca interpretacja geometryczna całki oznaczonej

Jeśli
oznacza trapez krzywoliniowy ograniczony wykresem ciągłej nieujemnej funkcji
, osią
oraz prostymi
, to pole
trapezu krzywoliniowego wyraża się wzorem

Jeżeli
., to

Własności całek oznaczonych

Tw.2 ( o liniowości całki oznaczonej)

Jeżeli
są całkowalne , to

(1)

(2)
.

Tw. 3 (addytywność całki względem przedziałów całkowania)

Jeżeli
jest całkowalna na
oraz
, to

Tw. 4. ( o zachowaniu nierówności przy całkowaniu)

Jeżeli (1)
są całkowalne na

(2)
dla każdego
, to

.

Tw.5. ( o wartości średniej)

Jeżeli
jest ciągła na
, to

.

Def. 4. Liczbę
nazywamy wartością srednią.

Dwa podstawowe twierdzenia rachunku całkowego.

Tw. 6 (całka jako funkcja górnej granicy całkowania)

Jeżeli funkcja
jest ciągła na
, to funkcja
określona wzorem

, gdzie

ma w każdym punkcie przedziału
pochodną
.

Tw.7. (związek miedzy całką oznaczoną i nieoznaczoną)

Jeżeli

(1)
jest ciągła na

(2)
jest dowolna funkcją pierwotną funkcji
na
, to

Dowód tw.6.

Ponieważ funkcja
jest ciągła , to
ma funkcję pierwotną.

Niech
, to
.


=

Z tw. o wartości średniej wynika, ze
, gdzie
,czyli
,
.

Zatem
. Ostatnia równość wynika z ciągłości funkcji.

Dowód tw 7.

Niech
jest dowolną funkcją pierwotną
. Zdefiniowana w tw.6.
jest również funkcją pierwotną
. W takim razie

.

Jeśli

, to
. Jeśli
, to
. Stąd wynika teza twierdzenia.

Tw.8. (o całkowaniu przez części)

Jeżeli funkcje
maja ciągłe pochodne na
, to

Tw.9. ( o całkowaniu przez podstawianie)

Jeżeli

1. funkcja
   ma ciągłą pochodną na
   

2. 
   ,
   

3. Funkcja
   jest ciągła na
   ,

to