Sprawozdanie z ćwiczenia nr 9

Temat: II zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego brył

1. Wymagania do ćwiczenia

1. Wielkości charakteryzujące kinematykę i dynamikę ruchu postępowego i obrotowego bryły sztywnej.

Wielkości charakteryzujące ruch obrotowy można przedstawić w analogiczny sposób jak wielkości charakterystyczne dla ruchu postępowego i tak :

chwilowa prędkość liniowa: chwilowa prędkość kątowa:

przyśpieszenie chwilowe dla obu ruchów ma postać :

droga w ruchu postępowym i obrotowym :

znak „+'' dla ruchu przyśpieszonego,

„-'' dla ruchu opóźnionego.

2. Zasady dynamiki Newtona dla ruchu postępowego i obrotowego bryły sztywnej.

Zasady dynamiki dla ruchu:

a) postępowego

Jeżeli ciało o masie m porusza się z przyśpieszeniem
, to na ciało działa siła

b) obrotowego

Moment bezwładności I ciała względem osi O określamy następująco

Jeżeli ciało o momencie bezwładności I porusza się z przyśpieszeniem kątowym
, to na ciało działa moment siły

Równanie ruchu obrotowego bryły ma postać

gdzie:
- moment siły,

I - moment bezwładności,

- przyśpieszenie kątowe.

Równanie dynamiki dla ciała o masie m przedstawia zależność

gdzie:
- przyśpieszenie z jakim porusza się ciężarek o masie m,

- przyśpieszenie ziemskie,

- siła naciągu nici.

W omawianym przypadku moment siły wyraża się wzorem:

gdzie: r - ramię siły, czyli promień tej części walca na której nawija się nić.

Moment bezwładności układu I równy jest sumie momentów stałej części
i walców
.

Moment bezwładności walców I , zgodnie z prawem Steinera wynosi:

gdzie: I - moment bezwładności walca W względem osi przechodzącej przez środek ciężkości i równoległej do osi obrotu przyrządu,

M - masa walca W,

R - odległość środka ciężkości walca od osi obrotu.

Ze względów praktycznych odległość R zastępujemy odległością przeciwległych walców d (d = 2R).

Zatem całkowity moment bezwładności wyraża się wzorem:

Pierwsze dwa wyrazy po prawej stronie tego wyrażenia są wielkościami stałymi. Wprowadzamy więc oznaczenie:
i otrzymujemy:

Ze względu na to, że wektory
i
są prostopadle do osi obrotu, a wektor
jest do niej równoległy, możemy zaniedbać znaki wektorów.

Pamiętając że,
oraz
,

gdzie: h - wysokość spadania ciężarka o masie m,

t - czas spadania

i wykonując ponadto przekształcenia algebraiczne otrzymujemy:

W układzie współrzędnych, w którym na osi y odkładamy
, a na osi x,
, równanie jest równaniem prostej typu:

daje wartość rzędnej w punkcie, w którym prosta przecina oś rzędnych. Stromość otrzymanej prostej wyraża się poprzez:

Prostoliniowy przebieg zależności
jest dowodem słuszności równania ruchu obrotowego bryły. Zależność tę należy wyznaczyć doświadczalnie.

2. Metodologia wykonania pomiarów

1. Zmierzyć suwmiarką średnicę 2r₁ szpulki bez nici, a następnie nawinąć nić tak, aby ciężarek m znalazł się w górnym położeniu i zmierzyć średnicę 2r₂ szpuli wraz z nawiniętą nicią. Średnia arytmetyczna promienia
   jest ramieniem siły wypadkowej.

2. Włączyć przyrząd przyciskiem W₃.

3. Założyć (po uzgodnieniu z prowadzącym ćwiczenie) na końcu nici masę m i maksymalnie rozsunąć ciężarki o masie M na odległość d od osi siebie, zmierzyć d = 2R.

4. Zmierzyć określoną wysokość opadania h.

5. Przenieść ciężarki o masie m w górne położenie (ponownie nawinąć nić).

6. Wycisnąć wyłącznik W₁ w celu wyzerowania wskazań miernika.

7. Wycisnąć wyłącznik W₂ i odczytać czas opadania masy m.

8. Pomiary z punktów 5, 6, 7 powtórzyć 10 razy w celu oszacowania średniego czasu opadania.

9. Zmienić odległość d i powtórzyć pomiary zgodnie z punktami 5 - 8. Należy wykonać pomiary dla przynajmniej siedmiu różnych położeń d ciężarków o masie M.

3. 
   Obliczenia

1. Korzystając z uzyskanych danych wykreślić na papierze milimetrowym zależność
   .

2. Metodą najmniejszych kwadratów wyznaczyć współczynniki A i B prostej
   , przyjmując jako zmienną niezależną
   , a zmienną zależną
   .

3. Wyznaczyć moment bezwładności
   wykorzystując wyznaczona wartość współczynnika B i masę walca M korzystając z wartości współczynnika A.

4. Dla każdej wartości d obliczyć moment bezwładności I wahadła Oberbecka.

5. Określić niepewność standardową wysokości u(h) metodą typu B na podstawie wielkości działki elementarnej.

6. Oszacować niepewność standardową promienia szpuli u(r) metodą typu B na podstawie zakresu zmian promienia
   .

7. Obliczyć z metody najmniejszych kwadratów (metoda typu A) niepewności standardowe wyznaczonych parametrów prostej. Odchylenie standardowe parametru A i B określają zależności:

,

gdzie
i
.

8. Z prawa przenoszenia niepewności wyznaczyć niepewności standardowe typu A momentu bezwładności I_c,
   

oraz masy M
.

9. Porównać podaną masę walca M z masą wyznaczoną z wykresu. Zgodność

tych mas świadczy o poprawności przyjętego założenia o liniowej zależności
.IV. Opracowanie wyników pomiarów

Tabela pomiarowa:

M	m	h	r	d		t	t^2		I
[kg]	[kg]	[m]	[m]	[m]	[m^2]	[s]	[s^2]	[kg·m^2]	[kg·m^2]
0.193	0.135	0.463	0.0835	0.462	0.213	3.686	13.587
														3.692	13.631
														3.659	13.388
														3.619	13.097
														3.588	12.838
														3.661	13.403
														3.664	13.423
														3.663	13.418
														3.661	13.403
														3.659	13.388
												0.402	0.162	3.233	10.452
														3.306	10.930
														3.301	10.896
														3.277	10.738
														3.252	10.575
														3.299	10.883
														3.248	10.549
												0.342	0.116	2.799	7.834
														2.823	7.969
														2.801	7.845
														2.795	7.812
														2.805	7.868
														2.815	7.924
												0.302	0.091	2.553	6.158
														2.570	6.605
														2.591	6.713
														2.540	6.452
														2.558	6.543
														2.582	6.666
												0.262	0.067	2.285	5.221
														2.268	5.143
														2.270	5.153
												0.222	0.049	2.039	4.157
														2.016	4.064
												0.182	0.033	1.803	3.250
														1.779	3.164

Zależność t²(d²)

a=56,811 s²/m²
u(a)=0,541

b=1,336 s²
u(b)=0,065

Moment bezwładności I_c:

po przekształceniach

Masa walca:

po przekształceniach

Momenty bezwładności I wahadła Oberbecka:

Błędy pomiarów:

r₁=0,04175 m r₂=0,04275m

=
[kg·m²]

M= 0.145+0.002 [kg]

Wnioski :

Możemy wyznaczyć wartość współczynnika kierunkowego prostej z zależności t²(d²), który wynosi A=56,811 s²/m². Mając tą wartość można wyznaczyć masę M walca. Z obliczeń otrzymujemy iż ona jest równa M=0,145 kg, natomiast wiemy, że masa danego walca wynosi 0,195 kg. Jest to znaczna różnica masy, niemieszcząca się nawet w granicach niepewności, która wynosi u(M)=0,014 kg. Należy zatem zastanowić się gdzie tkwi błąd, jakie czynniki wpłynęły na pomiar lub z jaka dokładnością zostały wykonywane. Po sprawdzeniu poprawności obliczeń i namyśle możemy dojść do wniosku, że na rezultat doświadczenia miało wpływ z jaką prędkością początkową lub z jakiej wysokości zostawał spuszczany walec. Prędkość początkowa różna od 0 mogąca wynikać z niesprawności sprzętu a także niedokładność w wykonywaniu ćwiczenia mogła spowodować taki błąd w zgodności tych mas. Nie możemy zatem powiedzieć czy prostoliniowy przebieg zależności t2=f(d2) świadczy o słuszności równania ruchu obrotowego.