Z badań doświadczalnych wynika, że dla większości gazów Pr = 0.7 ÷ 0.9. Często przyjmuje się więc Pr ≈ 1 i wtedy równanie energii (9.57) przyjmuje analogiczną postać jak równanie ruchu (9.54a), w którym

(9.60)

Zatem, w przypadku gdy temperatura ścianki jest stała grubość warstwy przyściennej prędkości jest równa grubości warstwy przyściennej temperatury (jest bowiem
).

Jednym z możliwych rozwiązań równania (9.60) jest

(9.61)

co oznacza, że zamiast złożonego równania energii (9.54c) można wykorzystać równanie (9.56), z którego wynika warunek brzegowy (9.55) dla temperatury na ściance. Pełny układ równań opisujący przepływ w ściśliwej warstwie przyściennej będzie więc w tym przypadku następujący:

(9.62)

Oczywiście, taka forma równania energii nie odpowiada w pełni rzeczywistemu przepływowi gazu lepkiego w warstwie przyściennej i daje przybliżone wartości parametrów wyznaczających ten przepływ. Jednakże otrzymane wyniki okazują się być przydatne w wielu praktycznych obliczeniach oporów tarcia.

*

Wyprowadzimy jeszcze równanie termicznej warstwy przyściennej dla płaskiego przepływu cieczy lepkiej przyjmując:

Równanie energii dla płaskiego przepływu cieczy lepkiej zapiszemy w postaci (8.30) ÷ (8.31) uwzględniając, że

Po dokonaniu takich samych uproszczeń, jakie przyjęto w równaniu energii dla ściśliwej warstwy przyściennej (9.54), otrzymamy

Dla cieczy lepkiej równanie termicznej warstwy przyściennej jest niezależne od równania Naviera-Stokesa; dla jednego pola prędkości można więc obliczać rozkłady temperatur w warstwie przyściennej, odpowiadające różnym warunkom brzegowym. Zauważmy jeszcze, że równanie to jest liniowe, co zezwala na analizowanie jego rozwiązań dla różnych funkcji dyssypacji, po jednorazowym odwróceniu operatora działającego na temperaturę T.

ĆWICZENIA

Przykład 9.1. Z małej szczeliny w płaszczyźnie (rys. 9.5) wypływa ciecz lepka w półprzestrzeń ograniczoną tą płaszczyzną i miesza się z otaczającą cieczą. Wyznaczyć rozkład prędkości cząstek cieczy przy założeniu symetrii ruchu, jeżeli dany jest strumień pędu cieczy w szczelinie.

Występujące w rozważanym przepływie zjawiska tarcia na granicy mieszania się wypływającej i otaczającej cieczy pozwalają na użycie równań warstwy przyściennej. W równaniach tych pomijamy gradient ciśnienia jako wielkość bardzo małą; dla
będzie więc:

(9.63)

Rozwiązanie tego układu równań powinno spełniać warunki brzegowe:

dla

dla

Rys. 9.5

Pomnóżmy drugie równanie z układu (9.63) przez u i dodajmy do pierwszego,
otrzymamy

Całkujemy to równanie względem y do 0 do ∞ (takie granice całkowania można przyjąć zgodnie z teorią warstwy przyściennej)

Ponieważ zachodzi proporcjonalność wyrazu po prawej stronie do naprężeń stycznych, a te w nieskończoności muszą być równe zeru, na mocy warunków brzegowych mamy

więc

(9.64)

tutaj P jest strumieniem pędu cieczy w kierunku osi x.

Zakładając samopodobny charakter przepływu możemy przyjąć, że prędkość u jest funkcją gdzie b jest szerokością strugi, proporcjonalną do Mamy więc dla funkcji prądu (tj. funkcji spełniającej równanie ciągłości i określonej zależnościami

wyrażenie

Wykładniki p i q dobieramy w taki sposób, aby wszystkie wyrazy pierwszego równania (9.63) były tego samego stopnia względem x oraz aby była spełniona zależność (9.64). Po obliczeniach znajdziemy:
Wprowadzając nową zmienną

wyrazimy funkcję prądu w postaci

Składowe prędkości będą równe:

(9.65)

tutaj „primem” oznaczono pochodną względem η.

Podstawiając wzór (9.65) do (9.63) mamy

(9.66)

Dla nowych zmiennych warunki brzegowe przyjmą postać:

Całkując równanie (9.66) z uwzględnieniem powyższych warunków brzegowych otrzymamy

Po wprowadzeniu nowych zmiennych:

gdzie α jest dowolną stałą, będziemy mieli

warunki brzegowe są określone zależnościami:

Całkując powyższe równanie otrzymamy

Założyliśmy tutaj bez zmniejszania ogólności rozważań, że Można przyjąć takie założenie, ponieważ już wcześniej wprowadziliśmy stałą dowolną α. Wynikiem następnego całkowania z uwzględnieniem warunków brzegowych jest funkcja

którą podstawiamy do pierwszego równania (9.68)

Stałą całkowania α możemy wyznaczyć z warunku (9.64); mianowicie

Składowe prędkości cząstek cieczy są więc określone zależnościami:

gdzie

Badany przepływ nosi nazwę płaskiej strugi zatopionej.

Przykład 9.2. Z obszaru zawartego między dwiema małymi, płaskimi kołowymi równoległymi płytkami (rys. 9.6) wypływa ciecz lepka w przestrzeń nieograniczoną wypełnioną tą samą cieczą. Określić rozkład prędkości w cieczy otaczającej płytki.

Rys. 9.6

Do rozważanego przepływu można stosować uproszczenia wynikające z teorii warstwy przyściennej. Równania ruchu po pominięciu gradientu ciśnienia stanowią układ równań:

(9.67)

którego rozwiązanie musi spełniać warunki brzegowe:

Mnożąc równanie ciągłości przez u i dodając do pierwszego równania (9.67) pomnożonego przez r otrzymamy

Całkując tę zależność w poprzek warstwy (względem z) znajdziemy

Na brzegach warstwy przyściennej jest
oraz na mocy warunków brzegowych i założenia regularności prędkości w dla wszystkich z otrzymamy:

gdzie P jest pewną stałą wielkością odpowiadająca strumieniowi pędu w strudze płynącej cieczy. Przy założeniu samopodobieństwa przepływu dla funkcji prądu mamy:

Składowe prędkości będą równe:

Po podstawieniu tych wyrażeń do pierwszego równania (9.67) uzyskamy równanie różniczkowe dla wyznaczenia nieznanej funkcji f

Warunki graniczne dla funkcji f mają postać:

Przeprowadzając dalej analogiczne rozumowanie jak w przykładzie 9.1, dostaniemy wyrażenia dla składowych prędkości:

gdzie

Przykład 9.3. Jeżeli na płaskiej płycie (rys. 9.7), opływanej ze stałą prędkością wystąpi odsysanie z prędkością normalną to za odcinkiem rozbiegowym ustali się przepływ o stałej grubości warstwy przyściennej δ. Wówczas dla prędkość i ciśnienie będą niezależne od x. Wyprowadzić równanie opisujące profil prędkości jaki utworzy się na odcinku l.

Rys. 9.7

Prędkość V i ciśnienie p w warstwie przyściennej na odcinku l są niezależne od współrzędnej x, zatem równania różniczkowe Prandtla (9.4) możemy uprościć do następującej postaci:

Ponieważ
przeto

czyli

(9.68)

Przy założeniu
równanie charakterystyczne

ma dwa pierwiastki rzeczywiste:
a zatem całka ogólna równania (9.68) ma następującą postać

(9.69)

Stałe całkowania wyznaczymy z następujących warunków brzegowych:

Po podstawieniu stałych całkowania do równania (9.69) i przekształceniu otrzymamy zależność opisującą profil prędkości

Przykład 9.4. Wyznaczyć przy wykorzystaniu wzoru całkowego Karmana (9.43) warstwę przyścienną na płaskiej płytce, rozciągającej się wzdłuż dodatniej półosi x i umieszczonej w jednorodnym polu prędkości.

Rozkład prędkości (9.44) w warstwie przyściennej można przyjąć w postaci

zapewniającej spełnienie czterech podstawowych warunków nakładanych na składową prędkości
:

dla y = 0 oraz

dla y = δ.

Po obliczeniu miary liniowej straty pędu

i naprężenia stycznego
na ściance

z uproszczonego wzoru

otrzymujemy równanie

z którego wynika grubość warstwy przyściennej (δ = 0 dla x = 0)

Jak widać, grubość warstwy przyściennej wzrasta parabolicznie ze zmianą współrzędnej x.

Grubość warstwy przyściennej określa już jednoznacznie naprężenie styczne na ściance

i opór tarcia obu stron płytki - przypadający na jej długość l, mierzoną od krawędzi natarcia

Zwraca uwagę duża dokładność przybliżonych wzorów uzyskanych metodą Pohlhausena, gdyż w rozwiązaniu dokładnym zagadnienia (9.35) - (9.34) (rozwiązaniu Blasiusa) współczynnik występujący we wzorze na
jest równy 0.332, a we wzorze na
- 1.328.

280