Lewandowski Krystian Grupa 11

Ćwiczenia nr. 3

WYZNACZANIE STAŁYCH MATERIAŁOWYCH

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie wartości podstawowych stałych charakteryzujących materiał sprężysto - plastyczny obciążany w zakresie stosowalności prawa Hook'a oraz przykład ich wykorzystania.

Do ćwiczenia wybrano wyznaczenie wartości modułu Younga E i liczby Poissona υ dla stali konstrukcyjnej w dwóch przypadkach obciążenia:

1. przy rozciąganiu

2. przy statycznym zginaniu

Podczas ćwiczenia zostały wykorzystane dwa układy pomiarowe:

1. techniczny - stosowany w pomiarach eksploatacyjnych

2. laboratoryjny - o bardzo wąskiej czułości i możliwym do stosowania jedyniw w pomieszczeniach odizolowanych.

odizolowanych pierwszej części ćwiczenia wykorzystuje się znormalizowaną dziesięciokrotną próbkę walcową o średnicy początkowej d_o=10 mm. Części uchwytowe próbki przystosowane są do mocowania w szczękach z podkładkami o powierzchniach kulistych, umożliwiającymi osiowe przyłożenie sił rozciągających. Na części roboczej naklejono zestaw czterech tensometrów oporowych, po dwa /rys. 1/

1. wzdłuż tworzących walcowej powierzchni próbki w przeciwległych punktach średnicy przekroju /ozn. T₁, T₂/

2. obwodowo w jednej płaszczyźnie przekroju /ozn. T₃, T₄/

Rysunek 1

1 - próbka, 2 - podkładka mocująca o powierzchni kulistej, T₁, T₂, T₃, T₄ - tensometry

Dodatkowo na płytce wykonanej z tego samego materiału co próbka naklejono dwa tensometry nazywane tensometrami kompensacyjnymi /ozn. K₁, K₂/ o takich samych charakterystykach jak tensometry T₁-T₄ naklejone na próbce. W czasie ćwiczenia tensometry K1 i K2 nie podlegają obciążeniom mechanicznym.

W części drugiej ćwiczenia próbkę stanowi prosty pręt pryzmatyczny o przekroju prostokątnym o wymiarach 1300/20/10 mm. W zakresie długości roboczej l_o = 1000mm, w części środkowej, naklejono układ pomiarowy składający się z czterech tensometrów tensometrów o jednakowych charakterystykach. /rys. 2/

Rysunek 2

1 - pret pryzmatyczny, T₁, T₂, T₃, T₄ - tensometry /dwa z nich T₁, T₂ naklejono wzdłuż pręta a T₃, T₄ prostopadle do osi pręta/

ZESTAWIENIE WYNIKÓW

Etap 1

Pomiary i obliczenia dla próbki poddanej obciążeniom rozciągającym.

Średnica początkowa d_o = 10mm

i	P [kG]	P [N]	σ [MPa]	εI [% ]	εm2 [% ]	εII [% ]	E [MPa]*10^5	υ [-]
1	0	0	0	0	0	0	0	0
2	200	1962	24,993	0,127	0,147	0,02	1,967	0,157
3	400	3924	49,987	0,259	0,308	0,049	1,930	0,189
4	600	5886	74,980	0,380	0,495	0,115	1,973	0,302
5	800	7848	99,974	0,502	0,654	0,152	1,991	0,302
6	1000	9810	124,968	0,636	0,835	0,199	1,964	0,312
7	1200	11772	149,961	0,756	0,998	0,242	1,983	0,320
8	1400	13734	174,995	0,882	1,158	0,276	1,984	0,312
9	1600	15696	199,949	1,006	1,288	0,282	1,987	0,280
10	800	7848	99,974	0,505	0,643	1,138	1,979	0,2732
11	0	0	0	0,003	0,007	0,004	-	-

Naprężenia normalne (średnie) zostały obliczone ze wzoru:

gdzie:

S_o - pole przekroju początkowego

d_o - średnica początkowa

Moduł rzeczywistych wartości względnego wydłużenia próbki w kierunku poprzecznym obliczono ze wzoru:

ε_Iii = ε_m2I - ε_Ii [% ]

gdzie:

ε_m2 - wartość odczytana ze wskaźnika mostka przy połączeniu drugiego obwodu pomiarowego

ε_I - wartość odczytana ze wskaźnika mostka przy połączeniu pierwszego obwodu pomiarowego

Moduł Younga obliczmy został ze wzoru:

gdzie:

σ_i - naprężenia normalne (średnie)

Wartość liczby Poissona w i-tym pomiarze została obliczona ze wzoru:

Pomiary i obliczenia dla pręta poddanego obciążeniom zginającym.

a = 250 mm

i	P [kG]	P [N]	Mg [Nmm]	σ [MPa]	εm1 [-]	εI [% ]	εm2 [% ]	εII [% ]	E [MPa]*10^5	υ [-]	frz [mm]
1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
2	2	19,68	2460	7,38	0,1	0,031	0,030	0,0094	2,380	0,303	0,83
3	4	39,24	4905	14,715	0,201	0,063	0,059	0,018	2,335	0,285	1,66
4	6	58,86	7357,5	22,07	0,294	0,093	0,090	0,028	2,373	0,301	2,50
5	8	78,48	9810	29,43	0,396	0,125	0,112	0,035	2,354	0,280	3,34
6	10	98,1	12262,5	36,78	0,493	0,156	0,155	0,049	2,357	0,314	4,18
7	12	117,72	14715	44,145	0,586	0,185	0,187	0,059	2,386	0,319	5,04
8	14	137,34	17167,5	51,50	0,683	0,216	0,218	0,069	2,384	0,319	5,89
9	15	147,15	18339,75	55,18	0,744	0,244	0,235	0,074	2,261	0,303	6,32
10	0	0	0	0	0,001	0,0003	0	0	-	-	0,005

Wartość momentu gnącego w i-tym pomiarze policzona została ze wzoru:

gdzie:

a -odległość przyłożonej siły od podpory

P_i - siła obciążająca

Maksymalne naprężenia normalne obliczone zostały ze wzoru:

Wartość wydłużenia względnego kierunku osi wzdłużnej została obliczona ze wzoru:

gdzie:

(ε_m2)_i - odczyt z woltomierza cyfrowego

Wartość modułu Younga (E) i liczby Poissona (υ) w i-tym pomiarze zostały obliczone analogicznie jak przy rozciąganiu.

Etap 2

Wyznaczenie wartości średnich stałych materiałowych E i υ dla próbki Rozciąganej.

1. obliczając średnią arytmetyczną z wyników uzyskanych w kolejnych pomiarach ( w etapie 1)

2. odczytując wartości katów nachylenia prostych (z wykresu)

Kat nachylenia:

α₁ = 44°

E_śr = μ_s ∙ tg α₁ = 1,9313 ∙ 10⁵ [MPa]

Kąt nachylenia:

β₁ = 39°

υ_śr = μ_s ∙ tg β₁ = 0,3239 [-]

c) Określając współczynnik funkcji liniowych typu y = ax + b aproksymujących

zależności σ = σ(ε) oraz ε_II = ε_II(ε_I).

σ = σ(ε) - rozciąganie

i	x	x^2	y	xy
1	0,127	0,0161	24,993	3,1741
2	0,259	0,0670	49,987	12,9466
3	0,380	0,1444	74,980	28,4924
4	0,502	0,2520	99,974	50,1869
5	0,636	0,4044	124,968	79,4796
6	0,756	0,5715	149,961	113,3705
7	0,882	0,7779	174,995	154,3455
8	1,006	1,0120	199,949	201,1486
Σ	4,548	3,2453	899,807	643,1442
Σx∙Σy = 4 092,3222		nΣx^2 = 25,9624	nΣxy = 5145,1536
(Σx)^2 = 20,684		Σx^2∙ Σy = 2920,1436	Σx∙ Σxy = 2925,0198

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8
xi	0	0,127	0,259	0,380	0,502	0,636	0,756	0,882	1,006
yi	0,9238	26,25	52,58	76,71	101,05	127,78	151,78	176,84	201,52

Moduł Younga wynosi:

E_śr = μ_E ∙ a_E = 1,9946 ∙ 10⁵ [MPa]

ε_II = ε_II (ε_I)

i	x	x^2	y	xy
1	0,127	0,0161	0,02	0,0025
2	0,259	0,0670	0,049	0,0126
3	0,380	0,1444	0,115	0,0437
4	0,502	0,2520	0,152	0,0763
5	0,636	0,4044	0,199	0,1265
6	0,756	0,5715	0,242	0,1829
7	0,882	0,7779	0,276	0,2434
8	1,006	1,0120	0,282	0,2836
Σ	4,548	3,2453	1,335	0,9715
Σx∙Σy = 6,0715		nΣx^2 = 25,9624	nΣxy = 7,772
(Σx)^2 = 21,0130		Σx^2∙ Σy = 4,3324	Σx∙ Σxy = 4,4183

a_υ = 0,3435

b_υ = 0,0173

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8
xi	0	0,127	0,259	0,380	0,502	0,636	0,756	0,882	1,006
yi	0,173	0,060	0,106	0,147	0,189	0,235	0,277	0,320	0,362

Wartość liczby Poissona wynosi:

υ_śr = μ_υ ∙ a_υ = 0,3435 [-]

Wyznaczenie wartości średnich stałych materiałowych E i υ dla próbki Zginanej.

1. Obliczając średnią arytmetyczną z wyników uzyskanych w kolejnych pomiarach (ETAP 1)

b) Odczytując wartości katów nachylenia prostych (z wykresu)

Kat nachylenia:

α₁ = 42°

E_śr = μ_s ∙ tg α₂ = 2,5749 ∙ 10⁵ [MPa]

Kąt nachylenia:

β₁ = 37°

υ_śr = μ_s ∙ tg β₂ = 0,3014 [-]

2. Określając współczynnik funkcji liniowych typu y = ax + b aproksymujących

zależności σ = σ(ε) oraz ε_II = ε_II(ε_I).

σ = σ (ε) - zginanie

i	x	x^2	y	xy
1	0,031	0,0009	7,38	0,2287
2	0,063	0,0039	14,715	0,9270
3	0,09,	0,0086	22,07	2,0525
4	0,125	0,0156	29,43	3,6787
5	0,156	0,0243	36,78	5,7376
6	0,185	0,0342	44,145	8,16,68
7	0,216	0,0466	51,50	11,1240
8	0,244	0,0595	55,18	13,4639
Σ	1,113	0,1936	261,20	45,3792
Σx∙Σy = 290,7156		nΣx^2 = 1,5488	nΣxy = 363,0336
(Σx)^2 = 1,2387		Σx^2∙ Σy = 50,3683	Σx∙ Σxy = 50,5070

a_υ = 0,3150

b_υ = 0,00096

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8
xi	0	0,031	0,063	0,093	0,125	0,156	0,185	0,216	0,244
yi	0,00096	0,011	0,021	0,030	0,040	0,050	0,059	0,069	0,778

Wartość liczby Poissona wynosi:

υ_śr = μ_υ ∙ a_υ = 0,3150 [-]

Etap 3

Wyznaczanie różnic wartości teoretycznych teoretycznych pomierzonych strzałek ugięcia dwupodporowej belki zginanej.

i	P [N]	frz [mm]	fo [mm]	∆f [mm]	δ [%]	∆ [mm]	∆^2 [mm^2]
1	0	0	0	0	0	-0,475	0,255
2	19,68	0,83	0,71	0,12	16,9	-0,355	0,126
3	39,24	1,66	1,44	0,22	15,27	-0,255	0,065
4	58,86	2,50	2,13	0,37	17,37	-0,105	0,011
5	78,48	3,34	2,86	0,48	16,78	0,05	0,00002
6	98,10	4,18	3,57	0,61	17,08	0,135	0,018
7	117,72	5,04	4,23	0,81	19,14	0,355	0,112
8	137,34	5,89	4,95	0,94	18,98	0,465	0,216
9	147,15	6,32	5,59	0,73	13,05	0,255	0,065
			Σ = 4,28		Σ = 0,838
						∆fśr = 0,475		S = 0,323

Teoretyczne wartości strzałki ugięcia zostały obliczone z wyprowadzonego dla tej belki wzoru:

gdzie:

P_i - siła obciążająca

E_i - moduł Younga

Różnica wartości teoretycznych teoretycznych pomierzonych obliczono ze wzoru:

∆f_i = f_rzi - f_oi

gdzie:

f_rz - rzeczywiste wartości strzałki ugięcia

fo - teoretyczne wartości strzałki ugięcia

Względne wartości błędów odniesienia do wartości teoretycznych obliczono ze wzoru:

Odchyłki różnic ∆f_i od wartości średniej obliczone zostały ze wzoru:

∆i = ∆f_i - ∆f_śr [mm]

gdzie:

∆f_śr - średnie wartości różnic ∆f_i liczona z n pomiarów wykorzystując wzór:

Wartość odchylenia standardowego od wartości średniej obliczone zostało ze wzoru:

5

---