Zadanie 17.

Twierdzenie na wyraz ogólny ciągu geometrycznego

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego ma postać:

[A]

gdzie
wyrazy ciągu

iloraz ciągu geometrycznego [B]

(żaden wyraz ciągu g. nie może być zerem)

Dowód indukcyjny wzoru [A]:

Dla n=1 wzór jest prawdziwy, gdyż po obu jego stronach mamy wówczas
(ponieważ
więc
).

Załóżmy, że wzór [A] jest prawdziwy dla pewnej liczby naturalnej n (
, gdyż ciąg jest k-wyrazowy).

Zgodnie z warunkiem [B] mamy więc

Liczby
i
określają ciąg geometryczny w zupełności.

QED

Przykład 1:

Wiadomo, że pierwszy wyraz ciągu wynosi 2, zaś iloraz jest równy 3. Obliczyć piąty i siódmy wyraz tego ciągu.

Rozwiązanie. Wystarczy skorzystać ze wzoru [A]:

Odp.:

Przykład 2:

Dane są trzeci i piąty wyraz ciągu geometrycznego
oraz

Obliczyć pierwszy wyraz oraz iloraz ciągu.

Rozwiązanie:

Ponieważ
oraz
więc
skąd

a więc
,

Teraz możemy obliczyć
, mianowicie

Odp.:
;
lub
;