Automatyka i sterowanie - studia zaoczne, III rok, sem. VI

Zadania na ćwiczenia rachunkowe - zestaw 3

Układy nieliniowe

1. Wyznaczyć funkcje opisujące J(A) następujących układów nieliniowych:

a) opornika nieliniowego o charakterystyce prądowo-napięciowej

b) przekaźnika trójpołożeniwego

Odp. a)
, b)

2. Znaleźć charakterystykę statyczną F(e) bloku nieliniowego, dla której układ zamknięty z rys.1a ma wypadkową charakterystykę statyczną pokazaną na rys.1b. Współczynnik wzmocnienia liniowego wzmacniacza K=0.4. Rozważyć przypadki a/B>K oraz a/B<K.

a) b)

Rys.1

Odp.
dla odcinka liniowego charakterystyki.

3. Wyznaczyć wypadkową charakterystykę statyczną układu jak na rys.1a, gdzie w torze głównym znajduje się przekaźnik dwupołożeniowy o charakterystyce F pokazanej na rys.2, w zależności od współczynnika wzmocnienia K członu proporcjonalnego w torze sprzężenia zwrotnego. Dla jakiej wartości K niejednoznaczność charakterystyki przekaźnikowej zostanie usunięta (szerokość obszaru histerezy 2a= 0)?

Rys.2

Odp. Histereza zanika dla K=a/B.

Metoda funkcji opisującej

4. Zbadać zagadnienie drgań ustalonych, tzn. wyznaczyć ich pulsację i amplitudę pierwszej harmonicznej, w układzie przedstawionym na rys.3, gdzie elementem nieliniowym F jest idealny przekaźnik dwupołożeniowy bez histerezy o poziomach ±B, a część liniowa ma transmitancję:

Rys.3

Odp. Pulsacja drgań
, amplituda drgań

5. Zbadać zagadnienie stabilności układu zamkniętego z rys.3, w którym elementem nieliniowym jest idealny przekażnik trójpołożeniowy (patrz zad.1b), a część liniowa ma transmitancję z opóźnieniem:

w zależności od współczynnika wzmocnienia k>0.

Odp. Drgania o pulsacji
powstają dla
.

Linearyzacja i skalowanie

6. Nieliniowy układ dynamiczny z wyjściem y(t) jest opisany równaniem różniczkowym:

gdzie a,h są stałymi parametrami, a x(t) jest wymuszeniem. Wyznaczyć charakterystykę statyczną y=y(x) układu i zlinearyzować go w otoczeniu punktu równowagi (x₀, y₀) znajdującego się na charakterystyce statycznej. Równanie zlinearyzowane przeskalować do postaci, w której wszystkie współczynniki są równe 1.

Odp. Równanie zlinearyzowane:
, gdzie
,
są odchyleniami od punktu równowagi

Metoda płaszczyzny fazowej

7. Elementem nieliniowym w układzie regulacji jak na rys.3 jest idealny przekaźnik dwupołożeniowy , a część liniowa jest członem oscylacyjnym o transmitancji

gdzie Wyznaczyć portret fazowy układu wykreślając metodą izoklin tor fazowy będący odpowiedzią na wymuszenie skokowe o amplitudzie 10. Określić wielkość przeregulowania i przybliżony czas regulacji przy 5% strefie błędu.

Odp. Portret fazowy - patrz "Teoria sterowania w ćwiczeniach", Amborski, Marusak, PWN 1978, str.551-2. Przeregulowanie ok.30%, czas regulacji (ustalania) ok.10s.

Stabilność układów nieliniowych - metoda Lapunowa

8. Zbadać stabilność układu regulacji o strukturze jak na rys. 3, w którym elementem nieliniowym jest idealny przekażnik dwupołożeniowy , a członem liniowym - człon inercyjny I rzędu

.

Odp. Funkcja Lapunowa
. Jej pochodna
jest określona ujemnie dla k,T>0. Zatem układ zamknięty jest globalnie asymptotycznie stabilny.

9. Zbadać bezpośrednią metodą Lapunowa stabilność układu regulacji pokazanego na rys.4 (wielkość regulowana x), w którym elementami nieliniowymi są mnożarki realizujące iloczyn sygnałów. Oszacować amplitudę cyklu granicznego. Minusy oznaczają sprzężenia ujemne.

Rys.6

Wskazówka: sprowadzić schemat do układu równań (y - nowa zmienna):

i przyjąć funkcję Lapunowa postaci
.

Odp. Układ niestabilny w obszarze
, ale
dla
, zatem istnieje cykl graniczny (patrz "Teoria sterowania w ćwiczeniach", Amborski, Marusak, PWN 1978, str.601).

F(e)

K

x

y

e



-B

B

x

y

a

-a

y

-B

B

x

a

-a

F

x

y

e



G(j)

u

-B

y

i

u

NL

2

T

B

x

a

-a

(sumator)

(mnożarka)

m

z

r

x'

u

x

---