OGÓLNE SFORMUŁOWANIE MES DLA ZAGADNIEŃ MECHANIKI CIAŁA STAŁEGO

W mechanice ciała stałego metoda elementów skończonych może być formułowana:

• w ujęciu przemieszczeniowym,

• naprężeniowym

• mieszanym (hybrydowym).

Powszechnie stosowana jest MES w ujęciu przemieszczeniowym i można ją uznać za podstawę w zagadnieniach mechaniki konstrukcji.

W wersji przemieszczeniowej aproksymacji w obszarze elementu podlega pole przemieszczeń.

Niewiadome w węzłach (parametry węzłowe) : uogólnione przemieszczenia.

Pole naprężeń określane jest na podstawie obliczonego pola przemieszczeń. Równania równowagi i warunki brzegowe w naprężeniach spełnione są tylko w przybliżeniu (dla całego układu).

Dla wersji przemieszczeniowej , równania MES można uzyskać w sposób następujący:

• w podejściu bezpośrednim, wykorzystując definicję macierzy sztywności w metodzie przemieszczeń

• w oparciu o zasadę prac wirtualnych,

• w oparciu o energię potencjalną układu i sformułowanie problemu minimalizacji funkcjonału na bazie twierdzenia Lagrange'a o minimum energii potencjalnej układu.

SFORMUŁOWANIE MES W OPARCIU O ENERGIĘ POTENCJALNĄ UKŁADU

W celu sformułowania równań rozważa się w kartezjańskim układzie współrzędnych
ciało o objętości
i brzegu
, ograniczone więzami i poddane działaniu sił masowych i powierzchniowych

Ciało trójwymiarowe poddane działaniu sił masowych i powierzchniowych

Odkształcając się pod wpływem powoli wzrastających obciążeń ciało gromadzi pewien zasób energii zwanej energią potencjalną:

,

gdzie:
- wektor stanu naprężenia,

- wektor stanu odkształcenia,

- wektor stanu przemieszczenia,

- wektor stanu przemieszczenia powierzchni,

- wektor sił masowych,

- wektor sił powierzchniowych.

W warunkach równowagi statycznej obszaru dla kinematycznie dopuszczalnych pól przemieszczeń funkcjonał energii potencjalnej osiąga minimum.

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcjonału jest zerowanie się wariacji funkcjonału zgodnie z zależnością:

W celu wykorzystania funkcjonału energii potencjalnej do wyprowadzenia równań MES dyskretyzuje się obszar
, dzieląc go na
nie pokrywających się elementów:

Funkcjonał energii potencjalnej jako skalar może być wówczas przedstawiony w postaci sumy odpowiednich składników:

Analogicznie można przedstawić warunek stacjonarności :

.

Odnosząc wektory występujące w funkcjonale do elementu „e”, przyjmuje się standardową aproksymację MES pola przemieszczenia w obszarze elementu:

,

gdzie:
oraz:

- macierz funkcji kształtu o wymiarze
,
- wektor parametrów węzłowych elementu.

Związki geometryczne i fizyczne liniowej teorii sprężystości odniesione do elementu mają postać:

,

gdzie
i
są macierzami odpowiednio operatorów różniczkowych i modułów sprężystości.

Uwzględniając że
otrzymuje się:

,

gdzie
jest macierzą odkształceń (opisuje odkształcenia w każdym punkcie elementu, spowodowane jednostkowym przemieszczeniem kolejnych stopni swobody węzłów).

Podstawiając do funkcjonału odniesionego do elementu
związki na
i
otrzymuje się:

Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcjonału prowadzi do równań:

Podstawiając za
otrzymuje się:

Przyjmując oznaczenia:

- macierz sztywności elementu - wektor równoważnych sił węzłowych od obciążeń masowych i powierzchniowych elementu,

otrzymuje się:

SĄ TO RÓWNANIA MES RÓWNOWAGI ELEMENTU.

Warto zwrócić jeszcze uwagę na aproksymację pola przemieszczenia

Występujące w niej funkcje kształtu powinny spełniać warunek ciągłości i zupełności.

W odniesieniu do rozważanego problemu warunek ciągłości oznacza, że przemieszczenia wewnątrz elementu i na jego brzegach powinny być ciągłe.

Dotyczy to przemieszczeń uogólnionych, a więc zarówno przesuwów (translacyjne stopnie swobody) - ciągłość klasy
, jak również obrotów (rotacyjne stopnie swobody) - ciągłość klasy
(jeżeli kąty obrotu wyrażają się jako pochodne funkcji przemieszczeń).

Warunek zupełności wiąże się natomiast z wymogiem, aby funkcje przemieszczeń elementu mogły reprezentować jego ruch sztywny oraz stan stałych odkształceń.

Elementy spełniające powyższe kryteria nazywane są elementami dostosowanymi, w przeciwieństwie do elementów niedostosowanych, dla których nie jest spełniony warunek ciągłości (na przykład. niektóre elementy płytowe), a które także są z powodzeniem stosowane.