Wykład 3, 24.03.2014 r.

Jak ustalić rząd P (głębokość)?

Ad. 1):

- reszty

Czy zawierają autokorelację?

NIE TAK

KONIEC trzeba dodać kolejne opóźnienie

Ad. 1:

rząd AR przy pomocy testu DW

Procedura niepoprawna, gdyż testu DW nie należy stosować tam, gdzie występuje opóźniona zmienna endogeniczna.

Polega na szacowaniu parametrów modeli coraz wyższych rzędów (1, 2, 3 itd.) i wyborze tego modelu, którego parametr przy najdalszym opóźnieniu jest istotny, zaś proces resztowy nie zawiera autokorelacji.

JAKIE SĄ HIPOTEZY I POSTAĆ TESTU DW?

Ad. 2:

Test Boxa-Ljunga (autokorelacja dowolnego rzędu)

H₀: brak autokorelacji

H₁: AR(p) lub MA(p)

r_j - współczynnik autokorelacji rzędu j

gdzie:
j ≤ p

Ad. 3:

Wyznaczanie współczynników autokorelacji cząstkowej.

Funkcja autokorelacji:

PACF - partial autocorrelation function (funkcja autokorelacji cząstkowej)

PACF =

Test Quenoille'a

Dla sprawdzenia istotności
.

H₀:

H₁:

Jeżeli:

wówczas współczynnik jest statystycznie istotny.

Zakłada się że:

.

Podstawiając do t mamy:

.

Jeżeli
, to następuje zanikanie autokorelacji cząstkowej, rząd modelu AR nie będzie większy od p. W przypadku modelu AR funkcja autokorelacji cząstkowej urywa się na odstępie p. p - ustala się na poziomie nie przekraczającym 20% długości szeregu.

Ad. 4:

Kryteria informacyjne

Kryt. Akaike'a

gdzie:

- logarytm funkcji wiarygodności

k - liczba szacowanych parametrów

W praktyce:

Kryt. Schwarza

W praktyce:

Wybiera się ten model, któremu odpowiadają minimalne wartości tych kryteriów, co oznacza najmniejszą stratę informacji.

Prognoza na przykładzie modelu AR(2)

Prognoza na okres n+h:

dla n+1:

(n - ostatnia obserwacja w szeregu)

dla n+2:

dla n+3:

itd.

Przy prognozowaniu na kolejne okresy wstawiamy prognozy wcześniej wyliczone. To oznacza, że następuje kumulacja błędów prognoz. Można wyliczyć błędy ex ante i ex post.

Modele AR wykorzystuje się do prognozowania na okresy krótkie. W okresach dłuższych, wartości prognoz zmierzają do poziomu stałego wyznaczonego przez
lub w przypadku braku wyrazu wolnego do zera.

Podsumowanie

- trend - prognoza na okres długi

- sezonowość - korekta prognozy na okres długi

- AR(p) lub ARMA(p,q) - prognoza na krótkie okresy

PROGNOZOWANIE NA PODSTAWIE OGÓLNEJ KLASY MODELI ARIMA

Modele ARIMA opisują procesy zintegrowane (niestacjonarne).

- wielomian opóźnień autoregresyjnych (AR)

- różnica rzędu d (zintegrowanie rzędu d) - I

Jeżeli:

• d=0 - proces jest stacjonarny w wariancji a model przyjmuje postać AR

• d={1,2,…,d} - proces jest niestacjonarny w wariancji, natomiast staje się stacjonarny po wyliczeniu różnic rzędu d

Np. d=1

zintegrowany w stopniu 1

stacjonarnych

wielkość d jest przedmiotem testowania za pomocą testu Dickeya Fullera (DF) lub rozszerzonego DF (ADF)

- wielomian opóźnień tzw. średniej ruchomej (MA) (co ważne: dotyczy opóźnień w składniku losowym)

- operator przesunięcia wstecz

gdzie:

ARIMA (p,d,q) zintegrowany (d) autoregresyjny (p) proces średniej ruchomej (q).

Interpretacja ARIMA (p,d,q):

[d - odpowiada tylko za stacjonarność (tzn. czy jest stacjonarność czy nie ma)]

ARMA (1,1)

MNW ← procedura iteracyjna estymacji (niestandardowa); metoda największej wiarygodności

- reprezentuje szoki które wystąpiły w przeszłości

Szczególny przypadek ARIMA (0,1,0) - proces błądzenia przypadkowego:

gdzie:
- biały szum

Jeżeli obliczymy różnicę rzędu I otrzymamy biały szum.

Parametry modelu ARMA szacuje się za pomocą metody największej wiarygodności.

Prognozowanie na podstawie modeli ARIMA wykorzystując równanie różnicowe.

Wyznaczam prognozę na h okresów wprzód:

Prognozę na h okresów wprzód wyznacza się jako warunkową wartość oczekiwaną:

czyli:

14

11

11